一類擾動(dòng)Kadomtsev-Petviashvili方程的雅可比橢圓函數(shù)解的收斂性探討*

焦小玉 賈曼 安紅利

1)(南京財(cái)經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院,南京 210023)

2)(寧波大學(xué)物理與技術(shù)學(xué)院,寧波 315211)

3)(南京農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院,南京 210095)

為構(gòu)造一類擾動(dòng)Kadomtsev-Petviashvili(KP)方程的級(jí)數(shù)解,利用同倫近似對(duì)稱法求出三種情形下具有通式形式的相似解以及相應(yīng)的相似方程.而且,對(duì)于第三種情形下的前幾個(gè)相似方程,雅可比橢圓函數(shù)解亦遵循共同的表達(dá)式,這可以產(chǎn)生形式緊湊的級(jí)數(shù)解,從而為收斂性的探討提供便利:首先,對(duì)于擾動(dòng)KP方程的微擾項(xiàng),給定u關(guān)于變量y的導(dǎo)數(shù)階數(shù)n,若n≤1(n≥3),則減小(增大)|a/b|致使收斂性改善;其次,減小ε,|θ-1|以及|c|均有助于改進(jìn)收斂性.在更一般情形下,僅當(dāng)微擾項(xiàng)的導(dǎo)數(shù)階數(shù)為偶數(shù)時(shí),擾動(dòng)KP方程才存在雅可比橢圓函數(shù)解.

1 引 言

對(duì)于源于現(xiàn)實(shí)問題中各種現(xiàn)象的非線性方程,人們通常研究其數(shù)值解.除去數(shù)值解之外,近似解析解也有助于非線性方程的研究.非線性方程附加了微擾項(xiàng)則變成擾動(dòng)非線性方程,這類方程的近似解析解可以利用擾動(dòng)理論[1,2]結(jié)合精確求解方法進(jìn)行構(gòu)造.

作為非線性方程的一類精確解析解,群不變解可以通過李群或者李對(duì)稱理論[3,4]中的經(jīng)典或非經(jīng)典李群法[5]、李對(duì)稱方法與直接法[6]進(jìn)行求解.這些方法通過減少自變量的個(gè)數(shù)實(shí)現(xiàn)偏微分方程的化簡.作為直接法的一種修正,改進(jìn)的直接法[7,8]貌似與李群理論無關(guān),但是卻可以重構(gòu)李對(duì)稱群甚至離散變換群.

經(jīng)典李群法用于延拓方程組而不是原偏微分方程可以得到更多的約化,非經(jīng)典李群法實(shí)質(zhì)為經(jīng)典李群法應(yīng)用于原偏微分方程與不變曲面條件組合成的延拓方程組.延拓方程組也可以通過引入輔助變量并且將非局域?qū)ΨQ局域化[9]而產(chǎn)生,這套方案引領(lǐng)了諸如孤立子、cnoidal周期波與Painlevé波等不同類型非線性波之間相互作用的研究[10,11].

擾動(dòng)理論和李群理論兩種方式結(jié)合為近似對(duì)稱法: Baikov等[12]提出的近似對(duì)稱法實(shí)際上是對(duì)稱群的近似,因?yàn)閷?duì)稱群生成元推廣至擾動(dòng)形式;而Fushchich等[13]提出的近似對(duì)稱法則是基于擾動(dòng)方程近似子方程的精確對(duì)稱.文獻(xiàn)[14,15]對(duì)兩種方法進(jìn)行了比較,說明第二種方法優(yōu)于第一種方法.文獻(xiàn)[16,17]進(jìn)一步推廣了第二種近似對(duì)稱法,得到了通式形式的約化方程.第二種近似對(duì)稱法甚至可以求出擾動(dòng)非線性方程的級(jí)數(shù)解[18].近似直接法[16]改為利用直接法求解這些子方程,則可以得到與近似對(duì)稱法相同的約化結(jié)果.

擾動(dòng)理論也可以結(jié)合同倫理論以產(chǎn)生同倫分析法[19-21],該方法通過將非線性方程分解為無窮多線性子方程實(shí)現(xiàn)非線性方程的化簡與求解.此方法適用于非擾動(dòng)方程,因而較擾動(dòng)理論優(yōu)越,甚至能夠求出擾動(dòng)方法、人工參數(shù)法[22]、δ擾動(dòng)展開法[23]以及Adomian分解法[24]求解的級(jí)數(shù)解.

若近似對(duì)稱法引入同倫,則同倫分析法的諸多優(yōu)點(diǎn)能夠得以保留,產(chǎn)生的同倫近似對(duì)稱法[25]與同倫分析法的主要區(qū)別在于,同倫近似對(duì)稱法將非線性方程分解為無窮多非線性子方程.類似地,同倫結(jié)合近似直接法可以得到同倫近似直接法[26].

本文的主要目的是探討擾動(dòng)非線性方程的雅可比橢圓函數(shù)級(jí)數(shù)解的存在性以及收斂性.在第2節(jié),對(duì)于具有相似微擾項(xiàng)的一類擾動(dòng)Kadomtsev-Petviashvili(KP)方程,根據(jù)同倫近似對(duì)稱法,無窮多約化方程以及約化解的通式形式得以構(gòu)造.前幾個(gè)約化方程的雅可比橢圓函數(shù)解亦具有通式形式.第3節(jié)主要涉及級(jí)數(shù)解的收斂性的討論.第4節(jié)是結(jié)論部分,針對(duì)更加廣泛的微擾項(xiàng),討論了擾動(dòng)KP方程雅可比橢圓函數(shù)級(jí)數(shù)解的存在性.

2 擾動(dòng)KP方程的同倫近似對(duì)稱

擾動(dòng)KP方程形如

是通過如下KP方程[27]添加微擾項(xiàng)εE(u)而產(chǎn)生的:

通常,微擾項(xiàng)的補(bǔ)充可以使模型方程對(duì)實(shí)際問題的刻畫更為貼切.為方便起見,本文采用諸如ux3=uxxx的記號(hào).

擾動(dòng)KP方程的同倫模型

在同倫參數(shù)q由0變到1時(shí),逐漸由KP方程轉(zhuǎn)變?yōu)閿_動(dòng)KP方程,這體現(xiàn)了由簡單到復(fù)雜的漸變過程.其中,θ/=1是輔助參數(shù).暫取定一類特殊微擾項(xiàng)εE(u)=εux6-nyn,(n=0,1,···,6),即因變量關(guān)于空間變量{x,y}的所有六階導(dǎo)數(shù).關(guān)于同倫參數(shù)q的級(jí)數(shù)展開

可以將該同倫模型分解為一系列近似子方程

其中u-1=0.本文所有負(fù)指標(biāo)量均取0.這些近似子方程的線性化方程為

其中函數(shù)形式的點(diǎn)對(duì)稱為

其中{X,Y,T,Uk(k=0,1,···)}的變量為{x,y,t,uk(k=0,1,···)}.

(5)式—(7)式聯(lián)立用于決定{X,Y,T,Uk}(k=0,1,···).取定n,將(7)式代入(6)式,利用(5)式消去uk,xt,并且將uk的所有導(dǎo)數(shù)系數(shù)取0,得到關(guān)于{X,Y,T,Uk(k=0,1,···)}的無數(shù)方程組成的決定方程組.為簡化求解,僅考慮(5)式的前幾個(gè)方程.例如限定(5)式中的k的范圍k∈{0,1,2}.易知{X,Y,T,U0,U1,U2}的變量減少為{x,y,t,u0,u1,u2},嘗試不同的n的取值,反復(fù)求解決定方程組,可以推斷決定方程組的解形如

其中,C1，C2都是任意常數(shù);f(t)是關(guān)于t的任意函數(shù).滿足δ0,0=1以及δk,0=0,(k/=0)的記號(hào)δi,j亦適用于下文.令(7)式中的所有σk取0,求解相應(yīng)的特征方程,則可以確定(5)式的相似解.

情形1:當(dāng)C1/=0時(shí),不失一般性,做變換使得如下的相似解不會(huì)出現(xiàn)C1

此時(shí),(5)式約化為統(tǒng)一形式

情形2:當(dāng)C1=0,C2/=0時(shí),不失一般性,做變換求解特征方程,可以得出相似解

此時(shí),(5)式約化為統(tǒng)一形式

情形3:當(dāng)C1=0,C2=0,C3/=0時(shí),將C3改寫為a,可得相似解

此時(shí),(5)式約化為統(tǒng)一形式

若指標(biāo)k給定,且{P0,P1,···,Pk-1}已知,以上三種情況的相似方程顯然是關(guān)于Pk的四階偏微分方程.

考慮(14)式中約化方程的諸如雅可比橢圓函數(shù)形式的特解,做出假設(shè)

其中{fk,i,g}是關(guān)于所含變量的待定函數(shù).所有fk,i都不是{sni(g(ξ,t),m),i=0,1,2,···}的線性組合.由于(14)式中的系數(shù)包含f(t)及其導(dǎo)數(shù),所以這些系數(shù)的化簡可以通過假設(shè)f(t)為一個(gè)常數(shù)b實(shí)現(xiàn).此時(shí),這些系數(shù)退化為常數(shù).

類似文獻(xiàn)[18]中關(guān)于各階約化方程的求解過程,(15)式中Pk的確定也是通過分步求解過程實(shí)現(xiàn)的.在第k步中,將已知解{P0,P1,···,Pk-1}以及未知解Pk代入(14)式中的k階方程,再取所有含有{sn(g(ξ,t),m),cn(g(ξ,t),m),dn(g(ξ,t),m)}的各項(xiàng)系數(shù)為0,則可以得到(15)式中各項(xiàng)系數(shù)fk,i(ξ,t)的方程組.通過求解這些方程組,再回代入(15)式,即可得到約化方程(14)中的前幾個(gè)方程的雅可比橢圓函數(shù)解(見附錄).

3 擾動(dòng)KP方程的級(jí)數(shù)解

在q=1條件下,將(13)式以及附錄中的雅可比橢圓函數(shù)解代入(4)式,提取關(guān)于sn(cξ+h,m)的不同冪次的系數(shù),可以將級(jí)數(shù)解重新表示為如下緊湊形式

其中ak,i與bk,i只包含常數(shù)m.容易驗(yàn)證,若θ=0,該級(jí)數(shù)解一定是近似對(duì)稱法所得級(jí)數(shù)解.

已知每個(gè)雅可比橢圓函數(shù)取值于區(qū)間[-1,1],所以,為了確保(16)式的收斂性,須滿足顯而易見,當(dāng)k增加時(shí),減小?,|θ-1|或者|c|有助于減小|Ak|.任意常數(shù)a和b對(duì)于收斂性的影響需另當(dāng)別論.尤其需要注意Ak之中[a/(6b)][(2-n)i+n]的冪次[(2-n)i+n].當(dāng)n≥3時(shí),對(duì)于i≥k有(2-n)i＜0,僅當(dāng)|a/(6b)|＞1時(shí),成立,此時(shí)增大|a/b|可改善收斂性;當(dāng)n=2時(shí),(2-n)i+n=2.任意常數(shù)a和b與收斂性之間沒有明顯關(guān)系;當(dāng)n≤1時(shí),(2-n)i＞0.僅當(dāng)|a/6b|＜1時(shí),=0成立.此時(shí),減小|a/b|改善收斂性.

當(dāng)t=0且y=0時(shí),取α=1,h(t)=t,m=0.5,c=1以及ε=0.1,在圖1—圖4中對(duì)截?cái)嗉?jí)數(shù)解關(guān)于變量x做圖,這些圖可以說明輔助參數(shù)θ與比值|a/b|如何影響級(jí)數(shù)解的收斂性.實(shí)線、虛線、點(diǎn)線、點(diǎn)劃線分別表示k取值{0,1,2,3}情形下的級(jí)數(shù)解在這些截線圖中,相鄰曲線之間相對(duì)距離的變化趨勢可用于研究級(jí)數(shù)解的收斂性.當(dāng)k增加時(shí),若相鄰曲線之間的相對(duì)距離顯著減少,則收斂性得以保證,相應(yīng)區(qū)域可視為收斂域.從這些截線圖容易看出,相鄰曲線之間最大相對(duì)距離的區(qū)域恰好是波峰與波谷區(qū)域.發(fā)散區(qū)域可以從波峰與波谷區(qū)域中尋找.

圖1—圖4中的每個(gè)子圖(a),(b),(c),(d)分別對(duì)應(yīng)參數(shù) θ 取值0.90,0.99,1.01,1.10.圖1和圖2取值 n=1 ,而圖3和圖4取值 n=3.圖1和圖3取定 a=2b ,而圖2和圖4取定 a=b/2.從每個(gè)圖的各個(gè)子圖之間的比較易知,θ=0.99以及θ=1.01兩種情形的級(jí)數(shù)解的收斂性明顯強(qiáng)于θ=0.90以及 θ=1.10 兩種情形.于是,輔助參數(shù)愈接近1,級(jí)數(shù)解的收斂性愈好.

圖1和圖2的唯一區(qū)別是常數(shù)a和b.比較圖1和圖2的對(duì)應(yīng)圖形可得,a=b/2情形的收斂性強(qiáng)于 a=2b 情形.同樣方式,圖3和圖4的唯一區(qū)別也是常數(shù)a和b.比較圖3和圖4的對(duì)應(yīng)圖形可得,a=2b 情形的收斂性強(qiáng)于 a=b/2 情形.由于圖1和圖2區(qū)別于圖3和圖4之處僅是微擾項(xiàng)中n關(guān)于變量y的導(dǎo)數(shù)階數(shù)n,這也可以說明,若 n ≤1 ,|a/b|取 值越小收斂性越好; 若 n ≥3 ,| a/b| 取值越大收斂性越好.

觀察級(jí)數(shù)解(16)的表達(dá)式,Ak中的表明,滿足且減小可以改善級(jí)數(shù)解的收斂性.減小 c2,ε,|θ-1|對(duì)收斂性的改善效果基本相同,但是三者應(yīng)區(qū)分對(duì)待.首先,擾動(dòng)參數(shù) ε 是小參數(shù),表明實(shí)際問題中微擾因素的強(qiáng)弱,具體取值取決于實(shí)際問題.其次,在同倫模型(3)式中,θ 越接近1,該模型越接近KP方程而不是擾動(dòng)KP方程,從而級(jí)數(shù)解(16)式更好地刻劃KP方程而不是擾動(dòng)KP方程.最后,減小 |c|有利于改善收斂性,但是,|c| 并不是越小越好,顧及(13)式中的相似變量級(jí)數(shù)解(16)式可以化為

c的取值對(duì)級(jí)數(shù)解的形態(tài)有很大影響: 第一,減小|c|致使級(jí)數(shù)解的周期變大,波動(dòng)愈加平緩; 第二,減小 |c|時(shí) ,( b/a)(ht/c)會(huì)使級(jí)數(shù)解急劇增加或減小,級(jí)數(shù)項(xiàng)的系數(shù) c2會(huì)使級(jí)數(shù)解急劇減小.所以,減小|c|也 應(yīng)適度.此外,此級(jí)數(shù)解也表明: 減小 | a/b| 致使x軸方向周期變大.

4 總結(jié)與討論

級(jí)數(shù)解的收斂性依賴于任意常數(shù) { a,b,c} ,擾動(dòng)參數(shù) ε 以及輔助參數(shù) θ .然而,任意常數(shù){a,b,c}的調(diào)整會(huì)導(dǎo)致級(jí)數(shù)解的周期隨之顯著變化.所以,減小擾動(dòng)參數(shù) ε 是改進(jìn)收斂性最便捷最有效的手段.不同于任意常數(shù) { a,b,c} ,調(diào)整擾動(dòng)參數(shù)不會(huì)顯著影響級(jí)數(shù)解的形態(tài).

附錄 (14)式的雅可比橢圓函數(shù)解

其中c為任意常數(shù).