借助于“運(yùn)動(dòng)” 架設(shè)好“橋梁”
——例說(shuō)全等三角形的構(gòu)造

文丁建生

證明三角形全等或通過證明三角形全等進(jìn)而證明線段、角等之間的關(guān)系是這一章中典型的問題。當(dāng)全等三角形的條件很具體、直接、明顯時(shí)，這類問題很好解決，只需要我們識(shí)別圖形并規(guī)范、認(rèn)真作答，做到步步有據(jù)即可。然而，有時(shí)題目中的全等三角形不是一眼就能看出來(lái)的，需要我們挖掘、構(gòu)造。構(gòu)造的過程其實(shí)就是在原有圖形的基礎(chǔ)上適當(dāng)連接、添加輔助線的過程，輔助線的作用恰似“橋梁”。而構(gòu)造全等三角形必須要有方向。從圖形的運(yùn)動(dòng)（平移、旋轉(zhuǎn)、翻折）出發(fā)，是一種有效、可行的方法，下面舉例說(shuō)明。

一、運(yùn)用平移構(gòu)造全等

例1如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O。若梯形的面積為1，試求以AC、BD、AD+BC的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形的面積。

圖1

【解析】要解決這個(gè)問題，應(yīng)構(gòu)造一個(gè)三角形，使三邊的長(zhǎng)度與AC、BD、AD+BC相同。平移AC至DE，即過點(diǎn)D作DE∥AC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E。由于AD∥BE，不難證得△ADC≌△ECD（ASA），所以AD=EC，AC=ED。故BE=BC+CE=BC+AD。

又因?yàn)椤鰽BD與△ACD等積，所以△CDE與△ABD等積。所以△BDE的面積=梯形ABCD的面積=1。

例2 如圖2，正方形ABCD中，EF與MN相交于點(diǎn)O，EF=MN，求∠EON。

圖2

圖3

【解析】本題如果是填空或選擇題，可考慮特殊狀態(tài)：EF∥AB，MN∥BC（甚至更特殊的是EF、MN分別與AB、BC重合），則∠EON=90°。

在一般狀態(tài)下，可聯(lián)想到基本圖（如圖3）。正方形ABCD中，若AG=BH，則AG⊥BH；若AG⊥BH，則AG=BH。故在圖2中，過B作BH∥MN交CD于H，過A作AG∥EF交BC于G，AG交BH于K，此時(shí)不難證明EF=AG，MN=BH，∠AKH=∠EON，這就轉(zhuǎn)變成了圖3的問題。故得∠EON=90°。

【反思】平移就是將線段（或圖形）平行移動(dòng)，自然就得到同位角、內(nèi)錯(cuò)角相等，平移前后的線段相等。通過平移，將角、線段實(shí)行了轉(zhuǎn)移，使分散的條件相對(duì)集中，構(gòu)成了全等三角形，促使問題得到迅速解決。

二、運(yùn)用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等

例3如圖4，△ABC中，AB=AC，M、N為BC上兩點(diǎn)，∠BAM+∠CAN=∠MAN，BM=2，CN=3，求MN的取值范圍。

圖4

【解析】根據(jù)兩角和的條件，設(shè)法將兩角拼在一起。因?yàn)锳B=AC，故將△ANC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至△APB處，則△ANC≌△APB。∠CAN=∠BAP，AN=AP，CN=BP，易證得△AMN≌△AMP，所以MN=MP。又因?yàn)椤鰾MP中，BP=3，BM=2，所以 1＜MP＜5。故1＜MN＜5。

例4 如圖5，已知AC∥BD，AE平分∠CAB且E為CD中點(diǎn)，求證：AB=AC+BD。

圖5

【解析】本題的結(jié)論是要求兩線段的和AC+BD，故首先要作出或找到AC+BD的線段。因?yàn)锳C∥BD，所以∠C+∠D=180°，所以將△ACE繞E旋轉(zhuǎn)180°至△FDE處。此時(shí)△ACE≌△FDE，所以∠C=∠EDF，∠CAE=∠DFE，AC=FD。所以 ∠CDB+∠EDF=∠CDB+∠C=180°，BF=DF+BD=AC+BD。又因?yàn)锳E平分∠CAB，所以∠CAF=∠BAF。故在△ABF中，∠F=∠BAF，所以AB=BF，所以AB=AC+BD。

【反思】旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形是全等的。例3中，通過旋轉(zhuǎn)將分散但有關(guān)系的兩個(gè)角“合并”在一起，這樣才能運(yùn)用題目條件求解相關(guān)問題。例4中的旋轉(zhuǎn)有兩個(gè)前提：CE=DE，∠C+∠D=180°，這才保證了△ACE≌△FDE，∠BDF=180°，這樣的旋轉(zhuǎn)才有價(jià)值。在圖5中，若連接BE，則能得到其他一些結(jié)論。同學(xué)們，你有什么發(fā)現(xiàn)？

三、運(yùn)用翻折構(gòu)造全等

例5 如圖6，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC平分∠BAD，AB＞AD，試比較AB-AD與CB-CD的大小。

【解析】因?yàn)锳C平分∠BAD，所以∠BAC=∠DAC。又因?yàn)锳B＞AD，故將△CAD沿AC翻折至△CAE處，點(diǎn)E落在AB上。顯然△CAD≌△CAE，所以AD=AE，CD=CE，AB-AD=AB-AE=BE。在△BCE中，根據(jù)三邊關(guān)系得BE＞BC-CE，所以AB-AD＞CB-CD。

圖6

圖7

例6如圖7，已知△ABC中，∠A=60°，BE、CD分別平分∠ABC、∠ACB，P為BE、CD的交點(diǎn)，求證：BD+CE=BC。

【解析】所求結(jié)論是較長(zhǎng)線段等于兩條較短線段的和，常規(guī)方法是“截長(zhǎng)”或“補(bǔ)短”。

因?yàn)镃D平分∠ACB，故將△CPE沿CP翻折，使E落在BC上為點(diǎn)F（這就是截長(zhǎng)），剩下只要證明BF=BD。

【反思】翻折前后的圖形一定是全等的。上面兩題中的翻折可換一種說(shuō)法：例5是在線段AB上截取AE=AD；例6是在線段BC上截取CF=CE。在例5中，通過翻折將相關(guān)線段AD、CD實(shí)行了轉(zhuǎn)移，使問題轉(zhuǎn)化為△BCE的三邊關(guān)系的問題。在例6中，通過翻折將線段和的問題轉(zhuǎn)化為證明線段相等的問題。

平移、旋轉(zhuǎn)、翻折是圖形的三種“運(yùn)動(dòng)”，它是解決幾何問題的有力工具和重要方法。兩個(gè)全等三角形組成的圖形都可以看成是由一個(gè)三角形經(jīng)過適當(dāng)?shù)摹斑\(yùn)動(dòng)”而得到的。