洛倫茲破缺理論與Vaidya黑洞彎曲時(shí)空中的Dirac粒子隧穿輻射特征*

蒲瑾 楊樹(shù)政 林愷

1) (西華師范大學(xué)物理與空間科學(xué)學(xué)院, 南充 637002)

2) (電子科技大學(xué)物理學(xué)院, 成都 610054)

3) (中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(武漢)地球物理與空間信息學(xué)院, 地球內(nèi)部多尺度成像湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 武漢 430074)

4) (Escola de Engenharia de Lorena, Universidade de Sao Paulo, 12602-810, Lorena, Sao Paulo, Brazil)

本文把平直時(shí)空中的洛倫茲對(duì)稱性破缺的Dirac方程推廣到動(dòng)態(tài)Vaidya黑洞彎曲時(shí)空中.由于動(dòng)態(tài)Vaidya黑洞的表觀視界與類(lèi)時(shí)極限面重合, 根據(jù)霍金輻射量子效應(yīng)理論, 我們?cè)赩aidya黑洞的表觀視界ra= 2M(v)處研究了洛倫茲破缺理論對(duì)Dirac粒子Hawking隧穿輻射特征的影響.我們通過(guò)gamma矩陣的對(duì)易性質(zhì)和半經(jīng)典近似得到了一個(gè)新的洛倫茲對(duì)稱性破缺的Dirac-Hamilton-Jacobi方程, 并利用這一修正的Dirac-Hamilton-Jacobi方程研究了Dirac粒子隧穿輻射的特征, 討論了洛倫茲對(duì)稱性破缺對(duì)動(dòng)態(tài)球?qū)ΨQVaidya黑洞的熱力學(xué)參數(shù)的影響.結(jié)果發(fā)現(xiàn), 洛倫茲破缺理論中僅有類(lèi)以太修正項(xiàng)會(huì)對(duì)黑洞熱力學(xué)性質(zhì)帶來(lái)修正.同時(shí), 還發(fā)現(xiàn)修正Hawking溫度與類(lèi)以太矢量修正項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)有關(guān), 而我們之前應(yīng)用洛倫茲破缺理論研究標(biāo)量粒子的修正Hawking溫度也是與類(lèi)以太矢量修正項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)有關(guān)的.

1 引 言

物理學(xué)發(fā)展至今, 幾乎完美地解釋了所有物理實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)的各種物理現(xiàn)象.在天體物理和宇宙尺度下, 廣義相對(duì)論可以很好地解釋“我們所處的宇宙為什么會(huì)是如此”的問(wèn)題; 在微觀領(lǐng)域, 量子場(chǎng)論則完美地闡述了各種微觀物理現(xiàn)象.隨著科學(xué)研究的不斷深入, 當(dāng)今的物理學(xué)依然面臨著一些前沿?zé)狳c(diǎn)問(wèn)題的挑戰(zhàn), 在天文觀測(cè)上, 人們發(fā)現(xiàn)星系周?chē)嬖谥罅康陌滴镔|(zhì), 同時(shí)宇宙還在某種暗能量的驅(qū)動(dòng)下加速膨脹.在微觀高能領(lǐng)域中, 量子引力理論則遲遲無(wú)法完美地建立起來(lái).這些未解之謎深深地困惑著當(dāng)今的理論物理學(xué)和天文學(xué)的研究者.由于廣義相對(duì)論是一個(gè)不可重整化的引力理論, 因此幾種修正的引力理論被提出了, 有人猜測(cè), 構(gòu)成廣義相對(duì)論基石的“洛倫茲對(duì)稱性”在高能下可能會(huì)產(chǎn)生破缺.在這個(gè)基本假設(shè)下, 人們提出了各種洛倫茲對(duì)稱性破缺的引力模型[1?3].洛倫茲對(duì)稱性破缺的理論原則上可以解決引力不可重整化的難題, 另外關(guān)于這些洛倫茲對(duì)稱性破缺的模型的一些研究顯示暗物質(zhì)可能只是洛倫茲對(duì)稱性破缺的理論模型的一個(gè)效應(yīng)[4].在弦論[5]、電動(dòng)力學(xué)[6]、非阿貝爾理論[7]等方面的研究中, 洛倫茲對(duì)稱性的破缺也得到了廣泛地關(guān)注.近年來(lái), 人們通過(guò)引入類(lèi)以太場(chǎng)項(xiàng), 給出了平直時(shí)空中洛倫茲對(duì)稱性破缺的Dirac方程, 并對(duì)這個(gè)理論中的以太場(chǎng)項(xiàng)的量子修正進(jìn)行了研究[8,9].在這個(gè)理論中, 類(lèi)以太場(chǎng)的存在導(dǎo)致時(shí)空的洛倫茲對(duì)稱性的消失, 可能會(huì)在高能情況下表現(xiàn)出和洛倫茲對(duì)稱性的理論不同的性質(zhì)來(lái).

另一方面, 在彎曲時(shí)空中, 霍金證明黑洞視界附近由于劇烈的量子效應(yīng), 可能輻射出霍金輻射[10,11].霍金輻射的存在巧妙地把引力論、量子論、熱力學(xué)有機(jī)地聯(lián)系到了一起[12?14], 因此研究者期望通過(guò)對(duì)黑洞霍金輻射的研究來(lái)理解量子引力理論的動(dòng)力學(xué)行為.我們可以用隧穿的觀點(diǎn)來(lái)解釋黑洞的霍金輻射效應(yīng):黑洞視界可以被視為一個(gè)勢(shì)壘, 黑洞視界內(nèi)的虛粒子有概率通過(guò)量子效應(yīng)穿過(guò)此勢(shì)壘,并在視界外實(shí)化成實(shí)粒子形成霍金輻射.研究人員利用隧穿理論提出了計(jì)算黑洞霍金溫度和黑洞熵的方法[15?23], 隨后通過(guò)把標(biāo)量場(chǎng)方程化為Hamilton-Jacobi方程的方法簡(jiǎn)化了隧穿輻射的研究[24,25].2008年開(kāi)始, 研究人員逐漸對(duì)黑洞的費(fèi)米子隧穿輻射感興趣[26?33], 2009年我們提出了用半經(jīng)典近似求得費(fèi)米子的Hamilton-Jacobi方程, 并進(jìn)一步研究了高維和旋轉(zhuǎn)時(shí)空的霍金輻射特征[34?36].

目前, 在利用洛倫茲破缺理論研究黑洞的隧穿輻射特征方面, 研究人員只對(duì)靜態(tài)情況下標(biāo)量粒子的Hawking隧穿輻射進(jìn)行了研究[37], 而對(duì)于在動(dòng)態(tài)彎曲時(shí)空中洛倫茲破缺理論對(duì)旋量粒子Hawking隧穿輻射的修正的研究還未有報(bào)道.因此, 在動(dòng)態(tài)彎曲時(shí)空中研究洛倫茲破缺理論對(duì)Dirac粒子量子隧穿輻射特征的修正, 是一個(gè)有意義的前沿研究課題.本文針對(duì)這一課題, 研究動(dòng)態(tài)黑洞時(shí)空中洛倫茲對(duì)稱性破缺的Dirac隧穿輻射.由于黑洞時(shí)空是極端引力的時(shí)空, 在黑洞視界附近各種引力和量子效應(yīng)更加明顯, 因此對(duì)黑洞視界處黑洞熱力學(xué)的研究將有助于人們更深刻地理解洛倫茲對(duì)稱性破缺帶來(lái)的各種量子效應(yīng).在第2節(jié)中, 我們將根據(jù)文獻(xiàn)[8]的思路, 構(gòu)造一個(gè)彎曲時(shí)空中的洛倫茲對(duì)稱性破缺的Dirac方程, 然后我們運(yùn)用半經(jīng)典近似把這個(gè)Dirac方程進(jìn)行化簡(jiǎn), 得到一個(gè)變形的Dirac-Hamilton-Jacobi方程.

2 洛倫茲對(duì)稱性破缺的Dirac方程和修正的Hamilton-Jacobi方程

文獻(xiàn)[8]中給出了平直時(shí)空中的洛倫茲對(duì)稱性破缺的作用量, 我們將平直時(shí)空中的矩陣推廣到彎曲時(shí)空中的矩陣, 考慮到γμ矩陣的對(duì)易關(guān)系, 并應(yīng)用普通微商到協(xié)變微商的推廣, 即可得到彎曲時(shí)空中洛倫茲對(duì)稱性破缺的Dirac方程為

這里的Ψ是 Dirac方程的函數(shù), 而其中最后一項(xiàng)是旋聯(lián)絡(luò)項(xiàng),體現(xiàn)了彎曲時(shí)空中的旋量協(xié)變導(dǎo)數(shù)的性質(zhì).a、b、c項(xiàng)是很小的量, 因此這幾項(xiàng)滿足關(guān)系:a,b,c?m.在平直時(shí)空中的類(lèi)以太矢量uα是一個(gè)常量, 自然滿足條件

在彎曲時(shí)空中, 上述條件作為類(lèi)以太矢量uα需要滿足的條件出現(xiàn),uα不再一定是一個(gè)常量了.在Vaidya時(shí)空中, 我們定義其中平直時(shí)空中的gamma矩陣和彎曲時(shí)空中的gamma矩陣γμ分別滿足條件

為了研究Vaidya黑洞表觀視界處的隧穿輻射, 我們利用半經(jīng)典近似對(duì)彎曲時(shí)空中洛倫茲對(duì)稱性破缺的Dirac方程進(jìn)行處理, 因此可以假設(shè)

注意到Ψ在矩陣方程中是一個(gè)列矩陣函數(shù), 因此按照 (4) 式,ψ也是一個(gè)列矩陣函數(shù).把 (4) 式代入變形的Dirac方程(1)式, 并考慮到 ? 是一個(gè)小量,因此把 ? 的所有高階項(xiàng)都略去, 最后得到一個(gè)半經(jīng)典的矩陣關(guān)系:

然后, 考慮到gamma矩陣的反對(duì)易關(guān)系(3)式, 我們有

于是(5)式變成

(7)式的計(jì)算中, 我們已經(jīng)用到了a是小量的條件, 我們把a(bǔ)進(jìn)行展開(kāi)并忽略掉了高階項(xiàng), 在后面的運(yùn)算中, 我們始終把a(bǔ)、b、c視為小量, 在展開(kāi)式中忽略掉高階項(xiàng).接下來(lái), 我們可以把(7)式寫(xiě)成矩陣方程形式, 然后令矩陣的行列式為零即可得到修正的Dirac-Hamilton-Jacobi方程.但是根據(jù)(3)式, 我們可以用一個(gè)更簡(jiǎn)單的方法推導(dǎo)出這一修正的Dirac-Hamilton-Jacobi方程.通過(guò)把上式兩邊乘以 iγυS,υ, 即

于是我們得到

我們發(fā)現(xiàn)由洛倫茲對(duì)稱性破缺的Dirac方程在半經(jīng)典近似下得到的變形Dirac-Hamilton-Jacobi方程僅受a、c兩個(gè)修正項(xiàng)的修正, 其中a項(xiàng)僅僅對(duì)質(zhì)量項(xiàng)修正, 而c項(xiàng)則對(duì)S項(xiàng)前的函數(shù)進(jìn)行了修正.這暗示著, 只有c項(xiàng)修正會(huì)影響到霍金輻射的性質(zhì).我們將在第3節(jié)中利用這個(gè)Dirac-Hamilton-Jacobi方程對(duì)Vaidya黑洞表觀視界處的熱力學(xué)性質(zhì)進(jìn)行研究.

3 Vaidya黑洞的隧穿輻射及其修正

在宇宙空間中, 由于黑洞可以不斷吸積物質(zhì)或者由霍金輻射蒸發(fā)質(zhì)量, 因此真實(shí)的黑洞一定是動(dòng)態(tài)黑洞.最簡(jiǎn)單的動(dòng)態(tài)黑洞是球?qū)ΨQ不帶電的Vaidya黑洞, 其線元可以寫(xiě)為

由于動(dòng)態(tài)Vaidya黑洞的表觀視界ra=2M(v)與類(lèi)時(shí)極限面(無(wú)限紅移面)重合, 因此可以把表觀視界ra視為Vaidya黑洞的邊界, 根據(jù)霍金輻射量子效應(yīng)理論, 穿越這一邊界的粒子到達(dá)類(lèi)時(shí)區(qū).所以, 我們研究了Vaidya黑洞表觀視界處的霍金隧穿輻射修正.Vaidya黑洞的逆變度規(guī)張量為

這里M(v) 是黑洞的質(zhì)量, 在真實(shí)宇宙中由于黑洞對(duì)周?chē)镔|(zhì)的吸積作用, 動(dòng)態(tài)黑洞的質(zhì)量可能增加, 也可能由于量子隧穿輻射效應(yīng)的蒸發(fā)而導(dǎo)致黑洞質(zhì)量的減少.另一方面, 靜態(tài)球?qū)ΨQ史瓦西黑洞的表觀視界、事件視界和無(wú)限紅移面是重合在一起的, 然而在Vaidya黑洞中, 表觀視界和事件視界不再重合.近來(lái)的一些研究顯示, 把動(dòng)態(tài)黑洞表觀視界視為霍金輻射的源區(qū)更加合理[38?40].接下來(lái),我們?cè)诒碛^視界處研究黑洞的霍金輻射.

這里的CL是分離變量常數(shù).于是我們有

(14)式中, 我們已經(jīng)在表觀視界處用到了Kodama矢量條件同時(shí)在表觀視界附近, 我們有F(r→ra)→0 , 所以

因此, 在表觀視界處的黑洞隧穿率是

其中, 霍金溫度是

這里的Th是未修正的史瓦西黑洞事件視界處的霍金溫度, 而修正后的霍金溫度TH則與相關(guān).因此我們發(fā)現(xiàn)類(lèi)以太矢量項(xiàng)只有c項(xiàng)可以修正霍金溫度, 但是零靜止質(zhì)量粒子時(shí),修正項(xiàng)消失.同時(shí), 我們發(fā)現(xiàn)總是大于零, 這意味著當(dāng)c大于零時(shí)候, 修正霍金溫度變高; 而當(dāng)c小于零時(shí)候, 修正霍金溫度降低.也就是說(shuō), 修正霍金溫度與類(lèi)以太矢量修正項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)有關(guān).而我們之前的研究中也發(fā)現(xiàn), 應(yīng)用洛倫茲破缺理論研究標(biāo)量粒子的修正霍金溫度也是與類(lèi)以太矢量修正項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)有關(guān)的[37].

另一方面, 我們也可以研究了uα=(0,0,uθ,0)和uα=(0,0,0,uφ) 的情況, 其中前一種情況要求uθ ∝r?1, 而后一種情況要求uφ∝r?1sin?1θ, 所以u(píng)θ和uφ的修正只能影響角向部分, 而無(wú)法影響到作為黑洞徑向行為的霍金輻射的性質(zhì).

4 結(jié) 論

本文把洛倫茲對(duì)稱性破缺的Dirac方程推廣到彎曲時(shí)空中, 我們發(fā)現(xiàn)Dirac方程的洛倫茲對(duì)稱性被三項(xiàng)類(lèi)以太矢量項(xiàng)破缺.然而當(dāng)我們用半經(jīng)典近似得到Dirac方程的時(shí)候, 我們發(fā)現(xiàn)只有a和c項(xiàng)會(huì)影響Dirac-Hamilton-Jacobi方程的一階修正, 其中的a項(xiàng)影響方程的質(zhì)量項(xiàng),c項(xiàng)則修正S的系數(shù)項(xiàng).由于黑洞霍金輻射是黑洞時(shí)空的徑向性質(zhì), 因此我們發(fā)現(xiàn)只有c項(xiàng)會(huì)影響到黑洞的Dirac粒子隧穿輻射特征.

本文的研究只涉及到不帶電的動(dòng)態(tài)黑洞情況,宇宙中真實(shí)的黑洞通常是旋轉(zhuǎn)的, 在下一步的工作中我們將繼續(xù)研究旋轉(zhuǎn)動(dòng)態(tài)的黑洞時(shí)空中Dirac粒子的隧穿理論.另一方面, 2018年雙星合并所產(chǎn)生的引力波被首次直接觀測(cè)到, 這一成果不但證明了引力波的存在, 同時(shí)也是黑洞存在的直接證明.源于黑洞時(shí)空視界附近的引力輻射將攜帶許多極端引力場(chǎng)的引力性質(zhì).因此可以預(yù)期, 今后人們對(duì)黑洞性質(zhì)的研究將越來(lái)越有興趣.我們也將在今后的工作中對(duì)自旋為2的引力子霍金輻射以及自旋為3/2的引力費(fèi)米子霍金輻射進(jìn)行深入的研究.