有限溫度下腔光機(jī)械系統(tǒng)中N個(gè)二能級(jí)原子的相變和熱力學(xué)性質(zhì)*

劉妮 黃珊 李軍奇 梁九卿

(山西大學(xué)理論物理研究所, 量子光學(xué)與光量子器件國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 太原 030006)

研究了含有非線性相互作用的腔機(jī)械系統(tǒng)中N個(gè)二能級(jí)原子在有限溫度下的相變和相關(guān)的熱力學(xué)性質(zhì), 采用虛時(shí)路徑積分方法推導(dǎo)出系統(tǒng)的配分函數(shù),求得系統(tǒng)的有效作用量.通過(guò)對(duì)有效作用量進(jìn)行變分得到系統(tǒng)的熱力學(xué)平衡方程和原子布居數(shù)期待值的解析表達(dá)式, 重點(diǎn)研究了原子-場(chǎng)耦合強(qiáng)度、非線性原子-光相互作用、非線性聲子-光子相互作用等影響下系統(tǒng)的相變, 發(fā)現(xiàn)除了會(huì)發(fā)生由正常相到超輻射相的二階相變外, 還會(huì)出現(xiàn)正常相和亞穩(wěn)的超輻射態(tài)共存的現(xiàn)象,同時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)三相(正常相、超輻射相、亞穩(wěn)的超輻射態(tài))共存點(diǎn).有限溫度的升高, 會(huì)使正常相到超輻射相的二階相變點(diǎn)向原子-場(chǎng)耦合強(qiáng)度增大的方向移動(dòng); 當(dāng)非線性原子-光相互作用(正或負(fù))增強(qiáng)時(shí), 相變點(diǎn)會(huì)向原子-場(chǎng)耦合強(qiáng)度弱的方向移動(dòng); 聲子-光子相互作用會(huì)導(dǎo)致出現(xiàn)超輻射不穩(wěn)定態(tài); 有限溫度下, 在正常相區(qū)熵為定值, 而在超輻射相區(qū)熵隨原子-場(chǎng)耦合強(qiáng)度的增強(qiáng)迅速遞減為零.

1 引 言

腔光機(jī)械系統(tǒng)在探索經(jīng)典系統(tǒng)和量子力學(xué)系統(tǒng)之間的界限發(fā)揮了重要作用[1].值得一提的是:該混合系統(tǒng)中, 光腔模產(chǎn)生的光子和納米機(jī)械振子產(chǎn)生的聲子之間的新型非線性相互作用是通過(guò)輻射壓誘導(dǎo)產(chǎn)生[2,3].目前, 這種非線性聲子-光子相互作用是實(shí)現(xiàn)高精度測(cè)量和量子信息處理的一種重要資源[4].隨著電磁自由度和機(jī)械自由度相干耦合技術(shù)的進(jìn)步, 實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)了一種新的前沿量子領(lǐng)域:腔光機(jī)械[5].光機(jī)械腔內(nèi)可實(shí)現(xiàn)許多有趣的物理現(xiàn)象, 例如光學(xué)冷卻[6]、光學(xué)區(qū)域中的雙穩(wěn)態(tài)和光學(xué)非線性[7]以及壓縮[5]等.目前實(shí)驗(yàn)上將玻色-愛(ài)因斯坦凝聚體(BEC)與超精細(xì)光腔進(jìn)行耦合,并且在橫向注入了泵浦光[8], 這種將超冷原子系綜與高精細(xì)腔模相互作用系統(tǒng)是典型的腔量子電動(dòng)力學(xué)系統(tǒng), 它在研究量子光學(xué)和冷原子物理領(lǐng)域具有重要的參考價(jià)值[9,10].基于此, 實(shí)驗(yàn)上還將BEC囚禁在光機(jī)械腔中, 這對(duì)于探索奇異的量子現(xiàn)象是非常有意義的.

量子相變是零溫下量子多體系統(tǒng)相互作用時(shí)發(fā)生的定性修正, 是耦合強(qiáng)度或其他外部參數(shù)的變化引起的系統(tǒng)量子漲落[11].Dicke模型的量子相變就是最典型的例子, 它通過(guò)改變?cè)?場(chǎng)耦合強(qiáng)度產(chǎn)生由正常相(NP)到超輻射相(SP)的二階相變.該自旋玻色模型描述的是N個(gè)二能級(jí)原子系綜與單模量子化玻色場(chǎng)的耦合[12,13].從20世紀(jì)70年代開(kāi)始, 虛時(shí)路徑積分方法被用來(lái)研究有限溫度下Dicke模型在熱力學(xué)極限N→∞ 和弱耦合下的相變特性[14].

目前, 機(jī)械振子與光腔耦合系統(tǒng)已被大量研究[15?17].在N→ ∞ 極限下, 利用平均場(chǎng)近似方法(如:Holstein-Primakoff變換方法、自旋相干態(tài)變分方法)對(duì)零溫下光學(xué)機(jī)械腔中囚禁的BEC的基態(tài)特性和相關(guān)量子相變(QPT)已進(jìn)行了廣泛的研究[15].現(xiàn)在我們采用虛時(shí)路徑積分的方法來(lái)研究囚禁BEC的腔機(jī)械系統(tǒng)在有限溫度下的相變和相關(guān)的熱力學(xué)性質(zhì).模型是光機(jī)械腔中囚禁BEC, 哈密頓量中引入了原子-光非線性相互作用.用虛時(shí)路徑積分方法可以方便地討論熱漲落起主導(dǎo)作用下, 溫度對(duì)系統(tǒng)相變的影響, 而平均場(chǎng)近似下只能討論零溫極限下的量子相變.本文用該虛時(shí)路徑積分方法推導(dǎo)出系統(tǒng)的熱力學(xué)平衡方程、原子布居數(shù)、平均光子數(shù)和平均能量、自由能的表達(dá)式, 并計(jì)算出熵的表達(dá)式, 并將得到的相圖與零溫下的量子相變等特性進(jìn)行比較, 進(jìn)而探討溫度對(duì)光機(jī)械系統(tǒng)的影響[15,18].我們發(fā)現(xiàn):原子-光非線性相互作用會(huì)使相變點(diǎn)移動(dòng), SP區(qū)域范圍改變; 當(dāng)原子-光非線性相互作用絕對(duì)值達(dá)到一定值時(shí), SP區(qū)域會(huì)完全消失; 強(qiáng)的非線性聲子-光子耦合強(qiáng)度可以出現(xiàn)超輻射不穩(wěn)定態(tài)(NUS).

2 模型以及哈密頓量

根據(jù)文獻(xiàn)[19]中提出的實(shí)驗(yàn)裝置, 我們考慮如圖1的冷原子系統(tǒng):四能級(jí)原子組被囚禁在頻率為ωc的高精度光腔內(nèi), 且一束頻率為ωp的橫向泵浦光被垂直注入光腔; 通過(guò)輻射壓力將高質(zhì)量的機(jī)械振蕩器與腔模進(jìn)行耦合.超冷原子將泵浦光相干地散射到與位置相關(guān)的腔模中.通過(guò)泵浦激光器和腔模的光散射兩種平衡拉曼通道, 在色散極限下, 原子的兩個(gè)激發(fā)態(tài)能級(jí)可以絕熱地消除進(jìn)而來(lái)獲得一個(gè)有效的二能級(jí)原子[2,20].相應(yīng)的二次量子化的哈密頓量表示為(考慮自然單位

圖1 將超冷原子囚禁在超精細(xì)的光腔內(nèi), 在 z 方向注入一束泵浦光, 并且在x方向外加一個(gè)與光腔發(fā)生相互作用的納米機(jī)械振子Fig.1.Experimental setup for an ultra-cold atoms trapped inside a high-finesse optical cavity driven by a pump laser in the z direction.While, a nanomechanical oscillator interacts with the optical cavity in the x direction.

公式(2)中的哈密頓量是標(biāo)準(zhǔn)Dicke模型的哈密頓量[21,22], 其中a?(a) 是有效光場(chǎng)的產(chǎn)生(湮滅)算符,b?(b) 是聲子的產(chǎn)生 (湮滅)算符,ω0是原子的有效頻率,ω0=ωa?ωp是有效的原子頻率,ωa是原子的共振頻率,ω=?c+5U/2 是有效的腔頻率, 其中 ?c=ωc?ωp是光腔的頻率ωc和泵浦激光頻率ωp之間的失諧 (?c>0 為紅失諧, ?c<0 為藍(lán)失諧),U=NU0/4 代表的是原子-光非線性相互作用, 其中代表的是單個(gè)原子-場(chǎng)耦合強(qiáng)度,g代表原子-場(chǎng)集體耦合強(qiáng)度,N是原子數(shù)目.ωb是納米機(jī)械振子的頻率,是機(jī)械振子產(chǎn)生的聲子和腔模產(chǎn)生的光子通過(guò)輻射壓產(chǎn)生的非線性相互作用, 其中l(wèi)是光腔的長(zhǎng)度,M為納米機(jī)械振子的質(zhì)量.是原子集體贗自旋算符,S±=(Sx±iSy)和Sz滿足角動(dòng)量對(duì)易關(guān)系[S+,S?]=2Sz和 [Sz,S±]= ±S±.值得一提的是:在哈密頓量中我們忽略了三體相互作用項(xiàng), 僅考慮兩體 (光子, 聲子)輻射壓相互作用[23?25].引入兩組費(fèi)米算符, 定義費(fèi)米算符的產(chǎn)生和湮滅算符為且費(fèi)米算符滿足反對(duì)易關(guān)系.將贗自旋算符轉(zhuǎn)換為雙模費(fèi)米子算符則我們可以得到哈密頓量(1)的費(fèi)米子算符形式:

我們通過(guò)配分函數(shù)來(lái)研究系統(tǒng)的基態(tài)特性和熱力學(xué)性質(zhì), 所采用的方法是虛時(shí)路徑積分法[26].系統(tǒng)的配分函數(shù)表示為

其中β=1/(kBT) ,kB是玻爾茲曼常數(shù), [dη] 是積分度量.

將系統(tǒng)哈密頓量寫(xiě)入配分函數(shù), 則其詳細(xì)表達(dá)式為:

利用高斯積分公式

可見(jiàn), 利用積分公式將配分函數(shù)中的機(jī)械振子b?(b) 變量去掉了, 只剩下變量a?(a).將(9)式代入(5)式, 則配分函數(shù)可以化簡(jiǎn)為

由路徑積分方法求得的配分函數(shù)也可表示為

則系統(tǒng)的歐幾里得作用量可以表示為

利用凝聚態(tài)場(chǎng)論的方法, 我們先積分掉費(fèi)米子部分, 則我們得到一個(gè)有效的作用量:

接下來(lái), 我們分別對(duì)玻色場(chǎng)a(τ) 和費(fèi)米場(chǎng)Φi進(jìn)行傅里葉變換, 即

由于玻色場(chǎng)滿足周期邊界條件即fn=2πn/β; 費(fèi)米場(chǎng)滿足反周期邊界條件gn=(2n+1)π/β, 其中n為整數(shù),fn和gn分別為玻色場(chǎng)和費(fèi)米場(chǎng)的Matsubara頻率.采用定態(tài)位相微擾方法, 所有溫度對(duì)穩(wěn)態(tài)的影響可以忽略不計(jì), 即a與虛時(shí)τ無(wú)關(guān), 則上式可以化簡(jiǎn)為

上式關(guān)于gn求和, 也可以轉(zhuǎn)化為復(fù)平面的環(huán)路積分.得到的穩(wěn)態(tài)解滿足的熱力學(xué)平衡方程為

3 溫度對(duì)二階相變點(diǎn)參數(shù)的影響

3.1 Dicke相變[26]和平均光子數(shù)

根據(jù)方程(18), 圖2給出了平均光子數(shù)隨原子-場(chǎng)集體耦合強(qiáng)度變化的示意圖.給定的參數(shù)是ω0=0.047(MHz),ω=ωb=20(MHz).

圖2(b)給出有限溫度T=140(nK) 和聲子-光子的耦合強(qiáng)度ξ=0(MHz) (機(jī)械振子影響不存在)時(shí), 在不同的原子-光場(chǎng)非線性相互作用影響(U=0(MHz) (黑 線)、U=?20(MHz) (紅 線)和U=?30(nK)(藍(lán)線))下平均光子數(shù)隨原子-場(chǎng)集體耦合強(qiáng)度g變化的示意圖.我們發(fā)現(xiàn):原子-光場(chǎng)非線性相互作用會(huì)使NP到SP發(fā)生二階相變的相變點(diǎn)移動(dòng).同時(shí)當(dāng)原子-光場(chǎng)非線性相互作用較大時(shí), 當(dāng)原子-場(chǎng)集體耦合強(qiáng)度g增加到一定值時(shí), 平均光子數(shù)會(huì)顯著增強(qiáng)(U=?30(nK) (藍(lán)線)).對(duì)照?qǐng)D2(a)和圖2(b)中的黑線(零溫和有限溫度), 我們發(fā)現(xiàn):有限溫度會(huì)導(dǎo)致NP到SP的二階相變向原子-場(chǎng)耦合強(qiáng)度強(qiáng)的方向移動(dòng).

圖2 平均光子數(shù)隨原子-場(chǎng)的集體耦合強(qiáng)度 g 變化的示意圖Fig.2.The average photon numberas a function of the atom-field coupling strength g.

圖2(c)是在原子-光場(chǎng)的非線性相互作用不存在、且給定有限溫度T=140(nK) 時(shí), 不同的聲子-光子非線性相互作用影響下平均光子數(shù)隨原子-場(chǎng)集體耦合強(qiáng)度g變化的示意圖, 分別給出了ξ=0(MHz) (黑 線)、ξ=30(MHz) (紅 線)和ξ=50(MHz)(藍(lán)線) 三種情況.該圖主要體現(xiàn):給定溫度下, 機(jī)械振子對(duì)Dicke相變的影響.我們發(fā)現(xiàn)聲子-光子耦合強(qiáng)度不會(huì)影響相變點(diǎn), 對(duì)NP不會(huì)產(chǎn)生影響, 但會(huì)使平均光子數(shù)增大, 即增強(qiáng)宏觀集體激發(fā), 并且除了會(huì)發(fā)生從NP到SP的變化外,還會(huì)在全區(qū)域出現(xiàn)NUS, 即圖中的彩色點(diǎn)劃線.

圖2(d)是在給定有限溫度T=140(nK) 和負(fù)的原子-光場(chǎng)非線性相互作用U=?30(MHz) 時(shí), 在不同的非線性聲子-光子相互作用ξ=0(MHz) (黑線)、ξ=30(MHz) (紅 線)和ξ=50(MHz) (藍(lán)線)影響下平均光子數(shù)隨原子-光場(chǎng)的集體耦合強(qiáng)度g變化的示意圖.與圖2(c) 比較, 負(fù)的原子-光場(chǎng)非線性相互作用會(huì)導(dǎo)致二階相變點(diǎn)向右移動(dòng), 仍然出現(xiàn) NUS.圖2(e)是給定有限溫度T=140(nK)和正的原子-光場(chǎng)非線性相互作用U=30(MHz)時(shí), 在不同的非線性聲子-光子相互作用ξ=0(MHz) (黑線)、ξ=30(MHz) (紅線)和ξ=50(MHz)(藍(lán)線)下平均光子數(shù)隨原子-場(chǎng)集體耦合強(qiáng)度g變化的示意圖.與圖2(c)比較, 正的原子-光場(chǎng)非線性相互作用會(huì)導(dǎo)致相變點(diǎn)向左移動(dòng), 同時(shí)也出現(xiàn)了NUS.圖中的NUS對(duì)應(yīng)的是不穩(wěn)定的非零光子數(shù)解, 所謂的不穩(wěn)指的是對(duì)應(yīng)的能量二階導(dǎo)數(shù)大于零.

3.2 有限溫度相圖

圖3給出不同的原子-光場(chǎng)非線性相互作用影響下, 平均光子數(shù)隨原子-場(chǎng)集體耦合強(qiáng)度和溫度變化的相圖 (g?T).圖3(c)為有限溫度影響下Dicke模型的相圖, 溫度會(huì)導(dǎo)致標(biāo)準(zhǔn)Dicke模型(T=0(nK))的二階相變的相變點(diǎn)向原子-場(chǎng)耦合強(qiáng)度增大方向平移.將圖3(a)和圖3(d)與圖3(c)進(jìn)行比較, 我們發(fā)現(xiàn):負(fù)的原子-光非線性相互作用((a)U=?30(MHz))會(huì)使相變點(diǎn)右移, SP區(qū)域減小; 而正的原子-光非線性相互作用 ((d)U=30(MHz))會(huì)使相變點(diǎn)左移, SP區(qū)域有所增大.當(dāng)原子-光非線性相互作用絕對(duì)值達(dá)到一定值時(shí) ((b)U=?50(MHz) 和 (e)U=50(MHz)), SP 區(qū)域會(huì)完全消失, 被 NUS代替, 也就是由 NP到SP二階相變不再存在, 光子數(shù)沒(méi)有穩(wěn)定激發(fā)解.雖然白色區(qū)域有非零光子數(shù)解, 但卻不是穩(wěn)定的超輻射態(tài).

圖3 原子-光場(chǎng)非線性相互作用影響下, 平均光子數(shù)隨原子-場(chǎng)集體耦合強(qiáng)度和溫度變化的相圖 (g?T) , 其中聲子-光子耦合強(qiáng)度ξ=0(MHz)Fig.3.The average photon number’s phase diagram of the atom-field collective coupling strength and the temperature for different atom-light nonlinear interaction strength with the disappeared phonon-photon coupling constant ξ=0(MHz).

3.3 機(jī)械振子影響下的相圖

圖4中 (a1)—(c1)是零溫 (T=0(nK))時(shí),不同的原子-光非線性相互作用影響下, 平均光子數(shù)關(guān)于原子-場(chǎng)集體耦合強(qiáng)度和聲子-光子非線性相互作用(g?ξ平面)的相圖.對(duì)比圖4(a1)和圖4(b1)或圖4(c1)和圖4(b1), 我們發(fā)現(xiàn):原子-光非線性相互作用為負(fù)值(U=?30(MHz))時(shí), 相變點(diǎn)右移, NP 到 SP 的二階相變推遲, 且 SP 減小; 反之,原子-光非線性相互作用為正值(U=30(MHz))時(shí), 相變點(diǎn)左移, NP 到 SP 的二階相變提前, 且SP區(qū)域增大.同時(shí)我們發(fā)現(xiàn):當(dāng)強(qiáng)的聲子-光子非線性相互作用存在時(shí), 除了會(huì)出現(xiàn)由NP到SP的二階相變外, 還會(huì)出現(xiàn)NUS白色區(qū)域, 此區(qū)域沒(méi)有穩(wěn)定的光子數(shù)解.同時(shí)我們發(fā)現(xiàn)弱的原子-光非線性相互作用會(huì)使NUS區(qū)域明顯增大.圖4(a2)—(c2)是有限溫度(T=140(nK))下, 在不同的原子-光非線性相互作用影響下, 平均光子數(shù)關(guān)于原子-場(chǎng)集體耦合強(qiáng)度和聲子-光子非線性相互作用((g?ξ) 平面)的相圖.將圖4(1)與圖4(2)進(jìn)行對(duì)比可以發(fā)現(xiàn):零溫時(shí)的SP區(qū)域比有限溫度的區(qū)域要大, 這說(shuō)明溫度會(huì)使NP到SP的二階相變發(fā)生推遲, 相變點(diǎn)右移.

圖4 原子-光非線性相互作用影響下, 平均光子數(shù)關(guān)于原子-場(chǎng)耦合強(qiáng)度和聲子-光子非線性相互作用強(qiáng)度 (g? ξ) 的相圖, 其中有限溫度分別為 T=0(nK) (1)和 T=140(nK) (2)Fig.4.The phase diagram about the average photon number of atom-field collective coupling strength and the nonlinear photonphonon interaction for different atoms-light nonlinear interaction strength with different finite temperature T=0(nK) (1) and T=140(nK)(2).

3.4 溫度和非線性原子-光相互作用影響的相變特性

通過(guò)對(duì)平均光子數(shù)進(jìn)行數(shù)值求解, 圖5給出了(U?T)平面的相圖.對(duì)于給定的原子-場(chǎng)集體耦合強(qiáng)度g=0.7(MHz) (a)和g=0.75(MHz) (b)以及非線性聲子-光子相互作用ξ=50(MHz) 時(shí), 我們比較不同參數(shù)下平均光子數(shù)隨原子-光非線性相互作用U和溫度T變化的相圖.我們發(fā)現(xiàn):當(dāng)原子-場(chǎng)集體耦合強(qiáng)度較大(g=0.75(MHz))時(shí), 圖中的NUS會(huì)增加, 此區(qū)域內(nèi)沒(méi)有穩(wěn)定的非零光子數(shù)解.將圖5與圖4相比較, 我們發(fā)現(xiàn)除了有NP和SP,在NP和SP區(qū)域還有一個(gè)不穩(wěn)定的非零解, 從圖5可以明顯看到.

如圖5黑線T=80(nK) 所示, 圖6給出了溫度為80(nK)時(shí), 平均光子數(shù)隨原子與光子的非線性相互作用U變化的示意圖.其他給定的參數(shù)是:非線性聲子-光子相互作用ξ=50(MHz)和原子-場(chǎng)耦合強(qiáng)度g=0.7(MHz)(a),0.75(MHz)(b).隨著非線性原子-光相互作用U的變化, 系統(tǒng)出現(xiàn)了豐富的平均光子數(shù)的解.從圖6(a)可以發(fā)現(xiàn):除了出現(xiàn)正常相NP和超輻射相SP, 還出現(xiàn)一種新的超輻射不穩(wěn)定態(tài)NUS.該NUS態(tài)隨能量變化的二階導(dǎo)數(shù)是小于零的, 為能量極大值, 固不穩(wěn)定.圖6(b)中當(dāng)原子-場(chǎng)耦合強(qiáng)度變大為g=0.75(MHz)且非線性U達(dá)到一定值時(shí)還出現(xiàn)了光子數(shù)的無(wú)解區(qū), 對(duì)應(yīng)圖5中空白部分, 此時(shí)沒(méi)有穩(wěn)定的光子數(shù)解.

圖5 在不同的原子-場(chǎng)集體耦合強(qiáng)度下, 平均光子數(shù)關(guān)于原子-光非線性相互作用和溫度(U ?T)的相圖, 其中聲子-光子非線性相互作用ξ=50(MHz)Fig.5.The phase diagram about the average photon number of the atoms-light nonlinear interaction and temperature for different atoms-field collective coupling strength, where the nonlinear photon-phonon interaction ξ=50(MHz).

圖6 平均光子數(shù)隨原子-光非線性相互作用 U 變化的示意圖, 給定的參數(shù)是:原子-場(chǎng)耦合強(qiáng)度.(a) g=0.7(MHz) 和(b) g=0.75(MHz) , 溫度 T=80(nK) 和光子-聲子非線性耦合強(qiáng)度 ξ=50(MHz)Fig.6.Variations of the average photon numberwith respect to the atom-light nonlinear interaction U.The given parameters are the atom-field coupling strength (a) g=0.7(MHz) and (b) g=0.75(MHz) , the temperature T=80(nK) and the photon-phonon nonlinear coupling strength ξ=50(MHz).

4 熱力學(xué)性質(zhì)

根據(jù)系統(tǒng)的配分函數(shù), 我們得到平均能量的定義式

通過(guò)計(jì)算可以得到有限溫度下NP和SP的平均能量為

且發(fā)現(xiàn)在T=0(nK) 時(shí), 正常相和超輻射相的平均能量為

依據(jù)(21)式, 圖7刻畫(huà)了平均能量隨原子-場(chǎng)耦合強(qiáng)度的變化.圖7(a)是給定有限溫度T=140(nK)和原子-光非線性相互作用U=?30(MHz) , 在不同聲子-光子耦合強(qiáng)度影響下, 平均能量Eg隨原子-場(chǎng)集體耦合強(qiáng)度g變化的示意圖.從圖可見(jiàn):當(dāng)聲子-光子耦合強(qiáng)度ξ=0(MHz) (黑線)和ξ=30(MHz)(紅線)時(shí), 隨著原子-場(chǎng)耦合強(qiáng)度的增大, 平均能量的曲線基本重合, 說(shuō)明較小的聲子-光子耦合強(qiáng)度作用不會(huì)影響平均能量; 但是當(dāng)聲子-光子耦合強(qiáng)度達(dá)到ξ=50(MHz) (藍(lán)線)時(shí), 平均能量在原子-場(chǎng)耦合強(qiáng)度增大時(shí)會(huì)出現(xiàn)偏差.可見(jiàn), 無(wú)論聲子-光子耦合強(qiáng)度和原子-場(chǎng)耦合強(qiáng)度如何變化都不會(huì)影響NP的平均能量, 而在原子-場(chǎng)強(qiáng)耦合下SP區(qū)有不明顯的影響.圖7(b)是給定聲子-光子耦合強(qiáng)度ξ=50(MHz)和原子-光非線性相互作用U=?30(MHz)時(shí), 平均能量Eg在不同的溫度影響下隨原子-場(chǎng)集體耦合強(qiáng)度g變化的示意圖.我們發(fā)現(xiàn):當(dāng)有限溫度T=140(nK) (藍(lán)線)時(shí), NP的平均能要高于較低的有限溫度T=0(nK) (黑線)和T=50(nK) (紅線)時(shí)的平均能量, 同時(shí)當(dāng)原子-場(chǎng)集體耦合強(qiáng)度增大到一定值時(shí), 有限溫度下的平均能量都會(huì)和零溫時(shí)的平均能量趨近于一致.總之, 溫度在NP區(qū)對(duì)能量影響明顯, SP區(qū)也有顯著影響; 但當(dāng)原子-場(chǎng)耦合達(dá)到較大值時(shí), 影響幾乎為零.

在熱力學(xué)極限N→∞ 下, 每個(gè)原子的自由能定義為由此我們計(jì)算得到有限溫度下NP和SP的自由能:

從平均能量和自由能的表達(dá)式我們可以看出:在NP時(shí), 平均能和自由能是常數(shù).根據(jù)表達(dá)式S=E?F/T還可以求得熵的表達(dá)式為

圖7 平均能量 E g 隨原子-場(chǎng)集體耦合強(qiáng)度 g 的變化Fig.7.The average energy E g as a function of the atom-field collective coupling strength.

根據(jù)(24)式, 圖8給出了熵隨原子-場(chǎng)耦合強(qiáng)度的變化.

圖8分別給出了藍(lán)失諧((a)?c=?20(MHz))、共振((b)?=0(MHz))和紅失諧((c)?c=20(MHz))時(shí), 有限溫度T=140(nK) (紅線)和T=100(nK)(藍(lán)線)下熵隨原子-場(chǎng)集體耦合強(qiáng)度變化示意圖.其他給定參數(shù)是ξ=50(MHz) ,ω0=0.047(MHz) ,U=20 (MHz).我們發(fā)現(xiàn):無(wú)論 NP 還是 SP 時(shí),有限溫度高(T=140(nK))時(shí)對(duì)應(yīng)的熵值都要比溫度低(T=100(nK))時(shí)高, 并且在高的有限溫度下相變會(huì)發(fā)生推遲.同時(shí)隨著原子-場(chǎng)耦合強(qiáng)度增大, 不同的有限溫度下熵最后都會(huì)趨近于零, 這也說(shuō)明強(qiáng)集體耦合激發(fā)態(tài)是高度有序的, 在我們考慮的溫度范圍內(nèi)不受熱漲落所影響, 但是從圖8(c)可看出, 藍(lán)失諧下熵變趨于零會(huì)發(fā)生推遲.

圖8 熵 S 隨原子-場(chǎng)集體耦合強(qiáng)度 g 的變化Fig.8.Entropy S as a function of the atom-field coupling strength g.

5 結(jié) 論

我們利用虛時(shí)路徑積分方法討論了含有原子-光非線性相互作用的BEC-腔光機(jī)械系統(tǒng)在有限溫度下的相變和相關(guān)的熱力學(xué)性質(zhì).通過(guò)虛時(shí)路徑積分方法計(jì)算出配分函數(shù), 從而推導(dǎo)出系統(tǒng)的熱力學(xué)平衡方程和原子布居數(shù)表達(dá)式.根據(jù)熱力學(xué)平衡方程, 我們對(duì)平均光子數(shù)進(jìn)行數(shù)值求解并且進(jìn)行穩(wěn)定性分析, 最終發(fā)現(xiàn):隨著不同非線性耦合強(qiáng)度的變化, 系統(tǒng)除了會(huì)發(fā)生由NP到SP的二階相變外,還會(huì)出現(xiàn)無(wú)穩(wěn)定光子數(shù)解的NUS.同時(shí),本文也通過(guò)計(jì)算熱力學(xué)熵討論了系統(tǒng)的熱力學(xué)性質(zhì), 發(fā)現(xiàn):溫度越高, 熵越大; NP 時(shí)熵為常數(shù), 相變點(diǎn)之后隨著原子-場(chǎng)耦合強(qiáng)度的增加, 熵迅速減為零.我們還發(fā)現(xiàn):負(fù)的原子-光非線性相互作用會(huì)使二階相變點(diǎn)向原子-場(chǎng)耦合強(qiáng)度g增大的方向移動(dòng), SP區(qū)域減小; 而正的原子-光非線性相互作用會(huì)使二階相變點(diǎn)向原子-場(chǎng)耦合強(qiáng)度g減小的方向移動(dòng), SP域增大些.當(dāng)原子-光非線性相互作用絕對(duì)值達(dá)到一定值時(shí), SP區(qū)域會(huì)完全消失, 也就是由 NP到SP的二階量子相變不再存在, 光子數(shù)沒(méi)有穩(wěn)定激發(fā)解.雖然NUS有非零光子數(shù)解, 但卻不是穩(wěn)定的超輻射態(tài).強(qiáng)的非線性聲子-光子耦合強(qiáng)度可誘導(dǎo)NUS.