“九宮圖”巧解PISA題

王睿潔

摘要：PISA是學(xué)生能力國際評價的簡稱。PISA測試義務(wù)階段完成以后，學(xué)生在閱讀、數(shù)學(xué)和學(xué)科方面便具備了應(yīng)用知識、技能和解決問題的能力，為各國和地區(qū)政策分析和研究提供有價值的參考。PISA測試已得到世界大多數(shù)國家和地區(qū)的認(rèn)可，加強(qiáng)對PISA試題的認(rèn)識與研究，勢在必行。本文從認(rèn)識與研究PISA試題的必要性，PISA試題的一般解法，“九宮圖”巧解PISA試題的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)等，做以下論述。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué) ??PISA ???九宮圖

一、從認(rèn)識與研究PISA試題的必要性

PISA是“國際學(xué)生評估項目”的簡稱，是國際經(jīng)濟(jì)合作與發(fā)展組織發(fā)起的學(xué)生能力國際比較研究，測評大約15歲的學(xué)生是否掌握了全面參與社會所需要的問題解決能力和終身學(xué)習(xí)能力，聚焦在閱讀素養(yǎng)、數(shù)學(xué)素養(yǎng)和科學(xué)素養(yǎng)上。PISA自2000年首次開始評價，之后每3年進(jìn)行一次，包含書面測試和問卷調(diào)查兩種評測方法。其評價理念具有前瞻性，評價技術(shù)先進(jìn)，評價過程嚴(yán)密，評價結(jié)果有效，得到了世界上越來越多的國家和地區(qū)的認(rèn)同和參與，現(xiàn)已發(fā)展成為國際上最具影響力的學(xué)業(yè)評價。

數(shù)學(xué)素養(yǎng)測試是PISA的一個主要方面。數(shù)學(xué)是現(xiàn)代文化的重要組成部分，對人的可持續(xù)發(fā)展具有重要意義。在思考數(shù)學(xué)對個人的意義時，必須考慮到他們對數(shù)學(xué)知識掌握和理解的程度，以及他們激活數(shù)學(xué)能力以解決生活問題的可能程度。PISA對數(shù)學(xué)的這種看法與傳統(tǒng)的學(xué)校中的數(shù)學(xué)有所不同，對學(xué)生的評價主要指向?qū)W生的學(xué)科素養(yǎng)，或者說是考查學(xué)生使用學(xué)科語言的能力。PISA主要向?qū)W生呈現(xiàn)發(fā)生在現(xiàn)實(shí)情境中的問題，其問題設(shè)計的方式就是要表明數(shù)學(xué)的各個方面對于解決問題都具有真實(shí)的效用。從PISA產(chǎn)生的背景、基本情況，及數(shù)學(xué)素養(yǎng)測試的框架可以看出，PISA具有先進(jìn)的評價理念、科學(xué)的理論框架、靈活的題目設(shè)計、規(guī)范的操作程序、可比的評價結(jié)果。PISA數(shù)學(xué)素養(yǎng)測試及其結(jié)果，尤其是我國從2009年開始參與其中之后，對于教育相關(guān)領(lǐng)域具有重大的意義和價值。

PISA認(rèn)為學(xué)生不僅需要知道如何去閱讀或理解特定的數(shù)學(xué)公式或概念，而且還要知道如何利用這些知識和技能在未來面臨的不同的生活實(shí)際中加以應(yīng)用。因此，PISA試題突破以往考試模式，表現(xiàn)出新穎、靈活的特點(diǎn)，測試中往往把測試內(nèi)容巧妙地融合到真實(shí)的問題情境中，從而在學(xué)生解決問題的過程中考查學(xué)生知識和技能的水平。

由于PISA測試的是在義務(wù)階段完成后進(jìn)行的，即考查初中畢業(yè)生的學(xué)業(yè)完成情況，就如我們的初中學(xué)業(yè)考試——中考，因此，浙江省寧波市于2009年便開始在中考試題中加入PISA試題。要想學(xué)生在閱讀、數(shù)學(xué)和學(xué)科方面具備應(yīng)用知識、技能和解決問題的能力;要想提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng);要想學(xué)生會利用閱讀或理解特定的數(shù)學(xué)公式或概念等知識和技能在未來面臨的不同的生活實(shí)際中加以應(yīng)用，認(rèn)識與研究PISA試題具有重要意義。

二、PISA試題的一般解法

為了使學(xué)生在閱讀、數(shù)學(xué)和學(xué)科方面具備應(yīng)用知識、技能和解決問題的能力，為了使學(xué)生會利用閱讀或理解特定的數(shù)學(xué)公式或概念等知識和技能在未來面臨的不同的生活實(shí)際中加以應(yīng)用，為了使學(xué)生提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，PISA試題表現(xiàn)出新穎、靈活的特點(diǎn)。PISA試題一般情況下有兩種解法：一、設(shè)元法;二、創(chuàng)新思維法。

例：（2016寧波中考）如圖是一個由5張紙片拼成的平行四邊形，相鄰紙片之間互不重疊也無縫隙，其中兩張等腰直角三角形紙片的面積都為，另兩張直角三角形紙片的面積都為，中間一張正方形紙片的面積為，則這個平行四邊形的面積一定可以表示為（ ???）

本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)和整式的運(yùn)算。

解法一：設(shè)元法。設(shè)等腰直角三角形的直角邊長為、正方形的邊長為，則根據(jù)直角三角形的面積公式，得，。根據(jù)正方形的面積公式，得。平行四邊形的面積為，則本題正確答案為。

解法二：創(chuàng)新思維法。利用幾何知識，通過觀察發(fā)現(xiàn)平行四邊形中心對稱這一重要性質(zhì)以及兩平行線間三角形同底等高面積相等這一特點(diǎn)來解題。如圖：

連接中間正方形對角線并延長，即可得，

所以，則本題正確答案為。

三、“九宮圖”巧解PISA試題模型

“九宮圖”起源于洛書，河圖與洛書是中國古代流傳下來的兩幅神秘圖案，被譽(yù)為“宇宙魔方”，河圖是伏羲時代，黃河里有龍馬躍出，身上有圖案，伏羲根據(jù)這個圖案畫出八卦，后稱此圖為河圖;而洛書相傳是大禹治水時代，洛水中浮出一只神龜，龜背上有星星點(diǎn)點(diǎn)組成的圖案，大禹得到啟發(fā)而治水成功，后稱此圖為洛書。后來為了直觀，就把星星點(diǎn)點(diǎn)轉(zhuǎn)化成了數(shù)字和九宮格的形式。而我發(fā)現(xiàn)對于PISA試題中的一類，我們可以借用“九宮圖”來幫助我們解題。通過上面我們了解到，PISA試題一般情況下有兩種解法，作為我們教師與學(xué)生，解PISA題的常規(guī)解法是我們必須要去探究并掌握的。

模型：

如圖，當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)該P(yáng)ISA題是以九宮圖為圖形背景的時候，我們就可以利用該模型解題。

我們可以通過設(shè)元法，在圖形中設(shè)這6個未知數(shù)，我們就可以將圖形中的所有線段表示出來，那我們就可以求出圖中所有矩形的周長以及面積，然后根據(jù)題目要求進(jìn)行解題。

例、（2017寧波中考）一個大矩形按如圖方式分割成九個小矩形，且只有標(biāo)號為①和②的兩個小矩形為正方形.在滿足條件的所有分割中，若知道九個小矩形中n個小矩形的周長，就一定能算出這個在大矩形的面積，則n的最小值是（ ??）

A.3 ???????????B.4 ????????????C.5 ?????????????D.6

解題思路：按照九宮圖模型，由于①和②是正方形，本題只需設(shè)這4個未知數(shù)即可。則，因?yàn)棰俸廷谑钦叫?，所以單?dú)的或可以確定圖形①和②的周長。

因此思路一：確定單獨(dú)的，則將、看成一個整體，、、分別可以確定下圖中2，4，9這3個矩形的周長;思路二：確定單獨(dú)的，則將、看成一個整體，、、分別可以確定下圖中3，5，7這3個矩形的周長，因此只需知道這3個小矩形的周長就能求出大矩形的面積，則本題正確答案為。

四、“九宮圖”巧解PISA試題應(yīng)用

應(yīng)用一：如圖所示，矩形ABCD被分割成五個矩形，且MH=PF，則下列等式中：

①②可以判斷甲、乙兩個矩形面積相等的是（）

A。①②都不可以 ??????B。僅①可以

C。僅②可以 ??????????D。①②都可以

思路：該題雖然沒有分為9個矩形，不是九宮圖，但是我們通過輔助線，同樣可以將圖形轉(zhuǎn)化為“九宮圖”模型進(jìn)行解題。

解：將該圖形變?yōu)榫艑m圖，如圖所示，由于MH=PF，因此設(shè)這5個未知數(shù)。

則由①可得，，，

由②可得，，

而，，

則本題正確答案為。

應(yīng)用二：如圖，大長方形是由一張周長為正方形紙片①和四張周長為、、、長方形紙片②，③，④，⑤拼成，若大長方形周長是定值，則下列各式中為定值的是（ ???）

A. ????????B. ???????C. ???????D.

思路：該題雖然沒有分為9個矩形，不是九宮圖，但是我們通過輔助線，同樣可以將圖形轉(zhuǎn)化為“九宮圖”模型進(jìn)行解題。

解：將該圖形變?yōu)榫艑m圖，如圖所示，由于正方形紙片①，設(shè)這5個未知數(shù)。大長方形周長是定值可得是定值，而，，

，則本題正確答案為。

應(yīng)用三：如圖，一個大平行四邊形被分割成5個小平行四邊形，其中⑤為菱形，若知道其中兩個小圖形的周長，可以不通過度量就能知道大平行四邊形周長，這兩個圖形可以是（ ???）

A.①② ???????B.①③ ???????C.②③ ???????D.④⑤

思路：該題與前幾題不一樣，不是我們熟悉的矩形，但是我們通過輔助線，將這個圖形就行轉(zhuǎn)換，同樣可以將圖形理解為傾斜的“九宮圖”模型進(jìn)行解題。

解：將該圖形變?yōu)榫艑m圖，如圖所示，由于⑤為菱形，設(shè)這5個未知數(shù)。則，，，，

，而，則已知①③可以求出大平行四邊形周長，則本題正確答案為。

五、點(diǎn)滴感悟

隨著PISA研究進(jìn)入國內(nèi)后，我們通過各種相關(guān)介紹了解到PISA數(shù)學(xué)素養(yǎng)的測試主要考查學(xué)生為了“適應(yīng)未來社會而需具備的數(shù)學(xué)能力”。PISA試題所要測評的數(shù)學(xué)素養(yǎng)不僅包含對數(shù)學(xué)基本知識和技能等方面的理解，還包括在不同情境下正確、合理地使用數(shù)學(xué)的能力。本文旨在使學(xué)生能夠理解并掌握PISA題的一般解法，尤其是能夠發(fā)現(xiàn)并運(yùn)用“九宮圖”模型巧解PISA試題。

總之，為了減輕學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)，提高了學(xué)習(xí)效率，找到通向解決學(xué)生學(xué)習(xí)問題的橋梁是我們作為一名教師的本職工作。要成為一個有激情、有真情、有才情的教師，就要成為一名學(xué)習(xí)型教師，不斷學(xué)習(xí)，不斷反思，不斷總結(jié);要成為一名研究型教師，研究教育，研究教學(xué)，研究學(xué)生，就要成為一名創(chuàng)新型教師，不斷創(chuàng)新思想，創(chuàng)新理念，創(chuàng)新方法;要成為一名擔(dān)當(dāng)型教師，面對遠(yuǎn)離本真的教育現(xiàn)狀，就要時刻提醒自己必須從學(xué)生的發(fā)展出發(fā)，不人云亦云，敢于挑戰(zhàn)與突破現(xiàn)實(shí)，做一個有良心負(fù)責(zé)任的敢于擔(dān)當(dāng)?shù)慕處?。對于PISA試題，我將會繼續(xù)進(jìn)行探索、研究、總結(jié)、反思。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉達(dá)，徐煒蓉，陳吉.基于PISA2012數(shù)學(xué)素養(yǎng)測評框架的試題設(shè)計一例[M].上海教育出版社，2014

[2]周鴻.初中畢業(yè)生數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試命題初探——來自PISA測試的啟示.

[3]黃華.從PISA數(shù)學(xué)素養(yǎng)測試對國內(nèi)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示，PISA數(shù)學(xué)素養(yǎng)測試與上海市初中畢業(yè)統(tǒng)一學(xué)業(yè)考試數(shù)學(xué)測試之比較[J].上海教育科研，2010

[4]高鳳萍.PISA數(shù)學(xué)素養(yǎng)測試對中國基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育的啟示[M].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2015