放縮法在高中數(shù)學(xué)數(shù)列中的應(yīng)用

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摘 要：數(shù)列與不等式在高中數(shù)學(xué)中占有舉足輕重的地位，它可以考察學(xué)生邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力。為了更好地掌握此部分相關(guān)內(nèi)容，本文就通過高考的一些經(jīng)歷經(jīng)驗(yàn)，以數(shù)列和不等式作為探討對象，以放縮法作為基本方法，通過對高中數(shù)列與不等式的分析，闡述放縮法在其中的巧妙應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：放縮法;高中數(shù)列;不等式運(yùn)用

對放縮法的應(yīng)用把握就是指對放縮力度的大小，以及放縮精細(xì)的程度，以達(dá)到預(yù)定的標(biāo)準(zhǔn)[1]。通過對迅速的找到解題突破口，逐漸培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃伎寄芰蛯W(xué)習(xí)興趣，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中數(shù)列不等式的內(nèi)在魅力，認(rèn)識(shí)到放縮法在解決此類問題中的有效性。

1.放縮法在數(shù)列中的分類應(yīng)用

1.1取舍的放縮形式

在實(shí)際計(jì)算中可以通過觀察題目取舍一些項(xiàng)的放縮形式來達(dá)到預(yù)期結(jié)果，例如在使用放縮法處理多項(xiàng)式的過程中，就可以采用增添或舍去項(xiàng)的放縮形式來進(jìn)行結(jié)果運(yùn)算。

1.2通項(xiàng)公式的放縮形式

利用式子中通項(xiàng)式子的基本特點(diǎn)對式子的每一項(xiàng)進(jìn)行放縮達(dá)到化簡求和的目的。

1.3逐步放縮的形式

假如面臨的是多個(gè)不同樣式的放縮結(jié)果，并且出現(xiàn)了結(jié)果之間的互異性，最簡便的辦法就是對計(jì)算逐步進(jìn)行，這種放縮方式可以最大限度的提升放縮的精度大小。

1.4部分放縮形式

為了避免在放縮過程中出現(xiàn)超出預(yù)期效果的大小范圍，就采用了一部分另部分進(jìn)行相應(yīng)變化的部分放縮形式。

1.5利用基本不等式的放縮形式

基本不等式的放縮主要就是利用運(yùn)算過程中存在可以推導(dǎo)得出的等式，或是利用已經(jīng)存在的等式，對存在組合性質(zhì)的元素進(jìn)行等式重構(gòu)，并對殘留的部分執(zhí)行放縮過程?；静坏仁降姆趴s形式最大的優(yōu)勢就是對精度的提升，方便解題的準(zhǔn)確性和便捷性。

1.6放縮法及常見的放縮技巧

放縮法總結(jié)以及實(shí)際題目中經(jīng)常用到的放縮技巧。

放縮法：實(shí)則就是放寬或縮小不等式值的范圍的方法。常用在多項(xiàng)式中“舍掉一些正（負(fù)）項(xiàng)”而使不等式各項(xiàng)之和變?。ù螅?，或“在分式中放大或縮小分式的分子分母”，或“在乘積式中用較大（較小）因式代替”等效法，而達(dá)到其按要求證明題目的目的。

2函數(shù)單調(diào)性的放縮法形式

參照具體的題目類型和所提供的信息，對不等式架構(gòu)進(jìn)行重構(gòu)，得到新的單調(diào)函數(shù)，并對其進(jìn)行下一步放縮，從而得到結(jié)果。比如說：在某例題中為求任何正整數(shù)對于等式都成立的問題，就可以對其進(jìn)行單調(diào)函數(shù)放縮，因?yàn)橹苯幼霾?，難以找到切入點(diǎn)，而得到該函數(shù)的單調(diào)性能卻是比較容易的，定義域的范圍為正整數(shù)范圍，排除導(dǎo)數(shù)的可能性，通過計(jì)算可以找到解題思緒，但是依然困難重重，很難下手。但是，數(shù)列有著特殊的函數(shù)性質(zhì)，它呈現(xiàn)的是一種單調(diào)狀態(tài)，就會(huì)得到函數(shù)存在的單調(diào)特點(diǎn)。[2]

以上例題運(yùn)用了函數(shù)單調(diào)性來證明數(shù)列不等式，把數(shù)列轉(zhuǎn)化為函數(shù)，通過求函數(shù)的單調(diào)性來呈現(xiàn)數(shù)列增減的特點(diǎn)，然后放縮達(dá)到證明的目的。

放縮變形在根本上區(qū)別于恒等變形，放縮變形無論是在形式上，還是空間上都給人們提供了更多的可能性，可以自由的創(chuàng)造更大空間和添加更多計(jì)算的局部內(nèi)容。使得放縮后的計(jì)算形式達(dá)到簡化效果，結(jié)構(gòu)明了，具體一定的規(guī)律性，從而很好的解決問題，實(shí)現(xiàn)放縮形式作用的最大化。

3采用放縮形式的注意事項(xiàng)和方法

首先對于放縮法，我們要做到對于放縮的大小和方向要心中有數(shù)，無論是放大還是縮小都必須是根據(jù)要證明的結(jié)論而言，針對的大小數(shù)值呈現(xiàn)反向狀態(tài)，也就是計(jì)算結(jié)果大于標(biāo)準(zhǔn)項(xiàng)則進(jìn)行縮小，小于標(biāo)準(zhǔn)項(xiàng)則進(jìn)行擴(kuò)大。除此之外，針對放縮的項(xiàng)數(shù)可以分別從第一、二、三等項(xiàng)開始，也可以不必是針對所有的存在項(xiàng)進(jìn)行統(tǒng)一放縮。在放縮法的一般形式與常用技巧中，第一種是對于根式的放縮形式;第二種是對于分式分子分母的大小縮放，適用的規(guī)律一般是真分?jǐn)?shù)分子分母一起減掉同樣的正數(shù)，呈現(xiàn)變大趨勢，假分?jǐn)?shù)的分子分母一起減掉某個(gè)正數(shù)，呈現(xiàn)的是遞減趨勢;第三種是在傳統(tǒng)不等式的基礎(chǔ)上進(jìn)行放縮操作，第四種是對于二項(xiàng)式的定理收縮形式，第五種是針對特殊情況采用添加或者舍棄某些項(xiàng)數(shù)來達(dá)到證明的目的。

高中階段所學(xué)習(xí)的證明數(shù)列不等式的方法包括：重要不等式法（例如運(yùn)用均值不等式解決）、作差比較法（一般用于兩個(gè)不能直接求出單調(diào)性的數(shù)列函數(shù)）、先求和再放縮（一般用于基本有規(guī)律的數(shù)列不等式求和）、先放縮再求和（一般用于直接可以看出放縮范圍的兩個(gè)數(shù)列通項(xiàng)）、數(shù)學(xué)歸納法、構(gòu)造數(shù)列法，函數(shù)單調(diào)性法等等，都是基于“放縮”即放大和縮小的基礎(chǔ)之上，對不等式進(jìn)行變形，對原式子進(jìn)行化簡，以至得到我們想要的結(jié)果。所以，“放大”與“縮小”的“度”應(yīng)該要做到不多不少，恰到好處。數(shù)學(xué)是精密而準(zhǔn)確的學(xué)術(shù)學(xué)科，需要我們對于數(shù)學(xué)的一切講究“有理可循，有據(jù)可依”，放縮法對數(shù)列不等式的證明是鍛煉我們的思維能力和邏輯推理能力，需要我們嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S和精密的計(jì)算能力。“放大”與“縮小”的“度”，更是我們思維是否嚴(yán)謹(jǐn)，計(jì)算是否精密的一個(gè)直觀體現(xiàn)。

4結(jié)束語

綜上所述，正確把握收縮尺度的大小，對于放縮法的正確運(yùn)用具有極其重要的意義。必須通過不斷的思考鍛煉和思維邏輯訓(xùn)練，認(rèn)識(shí)到題目本質(zhì)的考察方向特性，才能對計(jì)算流程和放縮過程有一個(gè)足夠的認(rèn)識(shí)，把復(fù)雜的解題過程規(guī)?；⒔Y(jié)構(gòu)化。比如說在構(gòu)建函數(shù)的過程中，如果前后的不等號(hào)出現(xiàn)差別，無法對其單調(diào)性進(jìn)行準(zhǔn)確判斷，這時(shí)運(yùn)用單調(diào)函數(shù)這個(gè)方法去解決該類問題就顯得不合時(shí)宜。進(jìn)行略微的調(diào)整，在同樣的中心問題下，可以采取利用不同的方式進(jìn)行解決不同的問題。

參考文獻(xiàn)：

[1]朱占奎.放縮應(yīng)適度證明就有路[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2007（03）：23-25.

[2]董入興.放縮“失控”的調(diào)整初探[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2007（01）：64-68.