初中生對mv²/2的猜想

尚元

摘 要：科學(xué)猜想與假說是通向真理的橋梁。科學(xué)猜想是在觀察與實驗的基礎(chǔ)上，根據(jù)科學(xué)原理和客觀事實，進行理性分析歸納以后，對未知的自然現(xiàn)象及其規(guī)律所做出的一種推斷設(shè)想。猜想與假設(shè)可以是正確的，也可能是錯誤的。本論文探討初中生在已有的物理和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上對動能的表達式進行的一些科學(xué)假設(shè)與猜想。

關(guān)鍵詞：牛頓第一定律 力 質(zhì)量 運動狀態(tài)的改變 動能

一、牛頓第一定律的解讀及一個思想實驗

恩格斯評價牛頓：“借助于對力的本性的認(rèn)識而創(chuàng)造了科學(xué)的力學(xué).” 我們沒有捷徑，唯一的出發(fā)點就是寶貴的“牛頓第一定律”。牛頓在《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》中的原始表述是這樣的：任何物體都要保持勻速直線運動或靜止?fàn)顟B(tài)，直到外力迫使它改變運動狀態(tài)為止。也就是說，力是使物體運動狀態(tài)發(fā)生改變的原因。我們現(xiàn)在要做的是猜想牛頓所說的這個“力”該怎樣定量的去表述出來呢？從因果律來講，我們得從描述“運動狀態(tài)的改變”開始;另外，牛頓第一定律也叫慣性定律，質(zhì)量大的物體，慣性大，質(zhì)量小的物體慣性較小。對慣性大小，我們的解讀是：“改變物體運動狀態(tài)的難易程度”，也就是說質(zhì)量越大的物體，由于它慣性大，要使它運動狀態(tài)發(fā)生明顯的改變，就需要我們施加更大的力，據(jù)此猜想：力在改變物體運動狀態(tài)過程中應(yīng)該還和質(zhì)量有關(guān)。到此，我們似乎找到了描述力需要的兩個特征：質(zhì)量、運動狀態(tài)的改變。我們不妨進行這樣一個思想實驗：

在一個絕對光滑的平面上，靜止放置一個鉛球和一個乒乓球，用相同力度分別向兩個球輕輕吹一口氣。憑經(jīng)驗，我們覺得該是看到怎樣的現(xiàn)象呢？明顯乒乓球立馬就運動起來了，而一旁的鉛球幾乎沒有運動起來，忽略空氣阻力，從此它們永遠(yuǎn)勻速直線運動下去…

二、對力和質(zhì)量關(guān)系的猜想

而我們要思考的是，為什么相同的力會有不同的運動效果，容易想到這正是之前說的，質(zhì)量不同，慣性不同，運動狀態(tài)的改變也不同。也即質(zhì)量越大的物體要達到相同的運動效果所需要的力也就越大，進一步猜測：F∝m（力正比于質(zhì)量），這一點數(shù)學(xué)的直覺或許我們可以聯(lián)想到重力公式：G=mg來佐證。

三、對“運動狀態(tài)的改變”的量化猜想

到此，還剩下“運動狀態(tài)的改變”需要我們?nèi)チ炕?。在《機械運動》章節(jié)中，我們就已經(jīng)學(xué)習(xí)過了“速度”是用來描述物體運動狀態(tài)的。在這個思想實驗中，最終乒乓球和鉛球的速度確實一大一小，也就是速度的改變量是不一樣的，咋一看，這不就是我們要找的“運動狀態(tài)的改變”嗎？我們暫且記作速度的改變量分別為Δv1和Δv2。相同的力F，m1Δv2，難道我們要找的力就是F=mΔv？即F=m1Δv1;F=m2Δv2。我們似乎忽略了一點，“相同力度吹一口氣”我們只關(guān)注了力的大小，沒有注意到這個力作用在兩個小球上的時間。力的作用時間不同會不會同樣讓物體的運動狀態(tài)改變不一樣呢？答案是肯定的。也即我們可以用相等的力讓Δv1=Δv2，這就和F=mΔv相矛盾了。只不過這個時候“力的作用時間”是不同的。看來對“力”的描述應(yīng)該還離不開“力的作用時間”。

回到最初的思想實驗，我們在都“輕輕吹一口氣”的情況下，是默認(rèn)了力的作用時間是一樣的，而最終兩球速度的改變量是不同的。實際上，還可以推測在這個吹氣過程中經(jīng)歷任意小的一段時間速度的改變量也是不一樣的。于是我們不妨猜測Δv/Δt是不一樣的，即相同時間內(nèi)物體速度的改變量不一樣。不應(yīng)該簡單描述成是Δv不一樣。因此我們猜測“物體運動狀態(tài)的改變”指的是Δv/Δt。

四、 對“力”的定量猜想

于是我們有F=mΔv/Δt，而不是F=mΔv。到這里，可以說我們的思想實驗得到了一個重要的結(jié)論。當(dāng)然，在此聲明，這個偉大的等式并不是這么簡單就得出來的，對于當(dāng)年的牛頓來說，他有巨大的對數(shù)學(xué)敏捷的思維直覺才能，以及在實驗上有高度的嚴(yán)格性和技巧，最后再用清晰的邏輯頭腦進行歸納?！?/p>

五、功與能的轉(zhuǎn)化以及對勻加速直線運動路程的討論

我們有了功的定義：W=Fs，并且了解了功能關(guān)系：做功是能量變化的量度。要找物體的動能，應(yīng)該要從力做功入手。在Δt時間段內(nèi)，Δs=vΔt，于是W=FΔs= mΔv/Δt·（vΔt），這里的v是一個是隨時間變化的函數(shù)?，F(xiàn)在問題是這個函數(shù)關(guān)系是什么樣子？經(jīng)驗告訴我們：重物的下落，我們在《測量平均速度》章節(jié)中做過的斜面小車的下滑等，物體在受一個力作用下速度是越來越快的。那具體速度是均勻在增加還是不均勻的增加？這里我們利用F=mΔv/Δt，恒定的力，在相等的Δt時間內(nèi)，Δv=F·Δt/m應(yīng)該是相等的，即速度均勻增加。

現(xiàn)在的問題是，速度v在Δt時間段內(nèi)是均勻增加的，它們的乘積Δs=vΔt該怎么計算呢？這里我們需要一點點微分的思想，我們又把Δt分成很多很小很小的時間段，由于這個時間段非常小，以至于這個時間段內(nèi)的速度我們可以近似看成恒定值，而這個很小時間段內(nèi)的路程就近似等于某一時刻對應(yīng)的速度值乘以小段時間，反映在圖象上：

圖中每個小矩形的面積大小即表示在這很小時間段內(nèi)的路程。可以看出，所有小矩形面積之和將無線趨近Δt內(nèi)圖象與t軸所圍面積（大三角形），小矩形越多，兩者差值越小。這就是積分的思想。即Δs=vΔt=Δt·v1·1/2。

于是，W=FΔs= mΔv/Δt·（vΔt）= m v1/Δt·Δt·v1·1/2= mv12/2.即一個物體受到一個恒力的作用從靜止開始運動，一段時間后速度增加到v，此時力所做的功轉(zhuǎn)化為物體的動能mv2/2。

結(jié)語

初中生接觸的物理多是對現(xiàn)象的簡單描述，是定性的，但對物理的初學(xué)者來說大膽的質(zhì)疑，科學(xué)的假設(shè)與猜想，嚴(yán)密的邏輯推理應(yīng)該是要慢慢去具備的一些思想品質(zhì)，當(dāng)然，結(jié)論或許只是哲學(xué)上的純思辨的產(chǎn)物，但也要經(jīng)得起經(jīng)驗的推敲，而后多去尋找事實真相，多去設(shè)計并創(chuàng)造實驗進行歸納總結(jié)，還要有較好的數(shù)學(xué)工具方能檢驗猜想的正確性。任何物理學(xué)的理論成果都必須有大量的事實與其相符合才能奉為真理。

參考文獻

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[4]牛頓，賽耶.牛頓自然哲學(xué)著作選[M].上海：上海人民出版社，1974：8-9.