利用微積分推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式

韓春禹

摘 要：隨著社會和科學(xué)技術(shù)的不斷進步，中學(xué)生對知識的渴求度越來越高，對知識的領(lǐng)悟能力越來越強，這就使高等數(shù)學(xué)的思想很自然地融入中學(xué)數(shù)學(xué)的課本與課堂。將微積分知識與微積分思想滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)是新課改的重要舉措。本文研究利用微積分推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式，充分體現(xiàn)微積分思想與中學(xué)數(shù)學(xué)的密切聯(lián)系，展現(xiàn)它在中學(xué)數(shù)學(xué)中的廣泛應(yīng)用。對數(shù)學(xué)教師的專業(yè)化培養(yǎng)具有重要作用，對拓寬中學(xué)生知識視野、培養(yǎng)創(chuàng)新能力具有促進作用。

關(guān)鍵詞：微積分 中學(xué)數(shù)學(xué) 等差數(shù)列

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，數(shù)列是重要內(nèi)容之一.涉及數(shù)列的問題很多，而且非常靈活，這對中學(xué)生來說理解和計算上都比較困難，計算量也比較大，所以對中學(xué)教師來說，既要讓學(xué)生對數(shù)列的相關(guān)問題感興趣，又要讓學(xué)生真正理解數(shù)列的本質(zhì)，還得將數(shù)列的公式牢牢記住.隨著微積分知識被引入到中學(xué)數(shù)學(xué)課本，微積分思想就被應(yīng)用得越來越多，因為高等數(shù)學(xué)中的微積分對初等數(shù)學(xué)內(nèi)容可以起到化繁為簡的作用，它能“變靜為動”，將比較“生硬”的知識變得充滿靈氣，使學(xué)生更好地理解和掌握初等數(shù)學(xué)知識.對于數(shù)列，它常常被看做是一個特殊的函數(shù)，可以利用微積分思想來解決這種特殊函數(shù)的單調(diào)性、最值等問題。

如果仔細研究數(shù)列中通項公式和前項和，不難發(fā)現(xiàn)，已知通項公式，求前項和的過程類似連續(xù)函數(shù)求定積分的過程，而已知前項和，求通項公式的過程類似連續(xù)函數(shù)求導(dǎo)的過程[1].

在等差數(shù)列中，最重要的兩個知識點就是通項及前項和，其中（）

如果已知通項公式，如何求出前前項和？

問題 已知數(shù)列的通項公式是（），求前項和.

分析 通過初等數(shù)學(xué)的方法我們可以判斷數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為.中學(xué)數(shù)學(xué)的推導(dǎo)過程是通過高斯算法的啟示，對于公差為的等差數(shù)列，用兩種方式表示：

由（1）+（2），得

定積分實質(zhì)上就是對近似值求和，然后對和進行求極限，對于等差數(shù)列的求前項和的過程，可以看成是連續(xù)函數(shù)求定積分的過程.

已知數(shù)列的通項公式是，設(shè).如果我們對它直接求定積分，得到

可見，通過定積分的方法與初等方法求得的結(jié)果（3）（4）兩式不同，問題何在？我們看下面兩個圖像觀察與的關(guān)系.

假設(shè)公差，可以看成是第個小矩形的面積，那么就可以看作是前個小矩形面積之和如圖3.2-1，但是的幾何意義是前個小梯形的面積之和，如圖3.2-2，可以觀察到.

解決方法 根據(jù)上面的分析，利用幾何當(dāng)中常用的圖形割補法，將圖3.2-1的圖像上的小矩形都向右移動個單位，得到圖像3.2-3，觀察圖像，將直線上方的小三角形與直線下方梯形的空缺處的三角形面積相等，這樣，我們可以得到圖3.2-4，根據(jù)圖像的變換特征，將圖3.2-1中的每個寬度為1的小矩形面積轉(zhuǎn)化為圖3.2-4高為1的直角梯形的面積，根據(jù)定積分的定義，圖3.2-4的所有小梯形的面積之和為.

所以，我們之前計算的前項和

很明顯是錯誤的

根據(jù)上面討論的解決辦法，得到正確的等差數(shù)列前項和與定積分的關(guān)系，即已知數(shù)列的通項公式是，前項和

結(jié)語

已知等差數(shù)列，前項和.

參考文獻

[1]徐國棟.初探數(shù)列與微積分的關(guān)系[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2011，11：29-31.