淺談主成分分析方法的建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方案評估模型

劉兆玉

摘要：為了客觀而準(zhǔn)確地評價(jià)建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方案，本文采用主成分分析方法詳細(xì)探討了建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方案的評價(jià)問題，井運(yùn)用MATLAB函數(shù)給出了主成分分析方法下建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方案評估模型，開辟了一種建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方案評估的新視角。

關(guān)鍵詞：建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，方案定量分析，主成分分析

建筑結(jié)構(gòu)方案設(shè)計(jì)是結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中最富有創(chuàng)造性的階段，需要建筑師和結(jié)構(gòu)工程師的豐富經(jīng)驗(yàn)和密切合作，具有強(qiáng)烈的軟科學(xué)決策特點(diǎn)。結(jié)構(gòu)方案設(shè)計(jì)的過程包括方案生成、方案評估和方案決策三個(gè)階段。其中，方案評估主要是對設(shè)計(jì)產(chǎn)生的方案產(chǎn)生的方案進(jìn)行分析和評價(jià)，從而最終設(shè)計(jì)方案的決策提供依據(jù)和支持?？梢姺桨冈u估在建筑結(jié)構(gòu)方案設(shè)計(jì)過程中處于十分重要的地位，因此迫切要求選擇合理的評估方法對設(shè)計(jì)方案進(jìn)行科學(xué)全面的分析和評估，以作出正確的判斷?；诖?，本文將主成分分析方法應(yīng)用于建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方案評估中，建立一種簡單的可直接利用現(xiàn)有計(jì)算機(jī)軟件MATLAB進(jìn)行數(shù)據(jù)處理的評估模型。

1.MATLAB中主成分分析方法介紹

principal component analysis（PCA） 主成分分析法是一種數(shù)學(xué)變換的方法， 它把給定的一組相關(guān)變量通過線性變換轉(zhuǎn)成另一組不相關(guān)的變量，這些新的變量按照方差依次遞減的順序排列。在數(shù)學(xué)變換中保持變量的總方差不變，使第一變量具有最大的方差，稱為第一主成分，第二變量的方差次大，并且和第一變量不相關(guān)，稱為第二主成分。依次類推，I個(gè)變量就有I個(gè)主成分。

其中Li為p維正交化向量（Li*Li=1），Zi之間互不相關(guān)且按照方差由大到小排列，則稱Zi為X的第I個(gè)主成分。設(shè)X的協(xié)方差矩陣為Σ，則Σ必為半正定對稱矩陣，求特征值λi（按從大到小排序）及其特征向量，可以證明，λi所對應(yīng)的正交化特征向量，即為第I個(gè)主成分Zi所對應(yīng)的系數(shù)向量Li，而Zi的方差貢獻(xiàn)率定義為λi/Σλj，通常要求提取的主成分的數(shù)量k滿足Σλk/Σλj>0.85。

進(jìn)行主成分分析后，還可以根據(jù)需要進(jìn)一步利用K-L變換（霍特林變換）對原數(shù)據(jù)進(jìn)行投影變換，達(dá)到降維的目的。

PCA的基本原理就是將一個(gè)矩陣中的樣本數(shù)據(jù)投影到一個(gè)新的空間中去。對于一個(gè)矩陣來說，將其對角化即產(chǎn)生特征根及特征向量的過程，也是將其在標(biāo)準(zhǔn)正交基上投影的過程，而特征值對應(yīng)的即為該特征向量方向上的投影長度，因此該方向上攜帶的原有數(shù)據(jù)的信息越多。

1.1主成分分析方法介紹主成分分析方法是統(tǒng)計(jì)學(xué)中一種對于多元問題的數(shù)據(jù)處理方法，這種方法的的就是要對多元數(shù)據(jù)進(jìn)行最佳綜合簡化，也就是說要在力保數(shù)據(jù)信息丟失最小原則下，對高維變量進(jìn)行降維處理。另外，每個(gè)變量在不同程度下反映了問題的某些信息，在很多情形下，變量與變量之間有一定的相關(guān)性，也就是變量所反映信息有重疊，而且變量太多在某種程度上又增加了分析的復(fù)雜性，主成分分析法剔除信息重疊，簡化分析過程1。該方法的核心就是通過主成分分析、選擇S個(gè)主分量F，F(xiàn)一，F(xiàn)，以每個(gè)主分量F.的方差貢獻(xiàn)率h;作為權(quán)數(shù)，構(gòu)造綜合評價(jià)函數(shù)：F=h1Fl+h2F2+…+hmF其中Fi（i=l，2，…，s）為第i個(gè)主成分的得分。F;越大方案就越好，設(shè)計(jì)者可根據(jù)這個(gè)值對比其他一些設(shè)計(jì)方案做出判斷，以決定是否采納。

1.2MATLAB中主成分分析princo呷函數(shù)介紹語法：pc=pnncomp（p）【pc，score，latent，tsquare]=princomp（p）描述：[pc，score，latent，tsquare]=princomp（p）根據(jù)數(shù)據(jù)矩陣P返回因子成分PC，Z分?jǐn)?shù)score、P的協(xié)方差矩陣的特征值latent和HotellingT2統(tǒng)計(jì)量tsquare。z分?jǐn)?shù)是通過將原始數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化到因子成分空間中得到的數(shù)據(jù)。Latent向量的值為score的列的方差。HotellingT為來自數(shù)據(jù)幾何中心的每一個(gè)觀測量的多變量離的度量。

1.3常規(guī)應(yīng)用

在社會調(diào)查中，對于同一個(gè)變量，研究者往往用多個(gè)不同的問題來測量一個(gè)人的意見。這些不同的問題構(gòu)成了所謂的測度項(xiàng)，它們代表一個(gè)變量的不同方面。主成分分析法被用來對這些變量進(jìn)行降維處理，使它們“濃縮”為一個(gè)變量，稱為因子。

在用主成分分析法進(jìn)行因子求解時(shí)，我們最多可以得到與測度項(xiàng)個(gè)數(shù)一樣多的因子。如果保留所有的因子，就起不到降維的目的了。但是我們知道因子的大小排列，我們可以對它們進(jìn)行舍取。哪有那么多小的因子需要舍棄呢？在一般的行為研究中，我們常常用到的判斷方法有兩個(gè)：特征根大于1法與碎石坡法。

因?yàn)橐蜃又械男畔⒖梢杂锰卣鞲鶃肀硎?，所以我們有特征根大?這個(gè)規(guī)則。如果一個(gè)因子的特征根大于1就保留，否則拋棄。這個(gè)規(guī)則，雖然簡單易用，卻只是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)法則（rule of thumb），沒有明確的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。不幸的是，統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的方法在實(shí)際中并不比這個(gè)經(jīng)驗(yàn)法則更有效（Gorsuch， 1983）。所以這個(gè)經(jīng)驗(yàn)法則至今仍是最常用的法則。作為一個(gè)經(jīng)驗(yàn)法則，它不總是正確的。它會高估或者低估實(shí)際的因子個(gè)數(shù)。它的適用范圍是20-40個(gè)的測度項(xiàng)，每個(gè)理論因子對應(yīng)3-5個(gè)測度項(xiàng)，并且樣本量是大的 （ 3100）。

碎石坡法是一種看圖方法。如果我們以因子的次序?yàn)閄軸、以特征根大小為Y軸，我們可以把特征根隨因子的變化畫在一個(gè)坐標(biāo)上，因子特征根呈下降趨勢。這個(gè)趨勢線的頭部快速下降，而尾部則變得平坦。從尾部開始逆向?qū)ξ膊慨嬕粭l回歸線，遠(yuǎn)高于回歸線的點(diǎn)代表主要的因子，回歸線兩旁的點(diǎn)代表次要因子。但是碎石坡法往往高估因子的個(gè)數(shù)。這種方法相對于第一種方法更不可靠，所以在實(shí)際研究中一般不用。

拋棄小因子、保留大因子之后，降維的目的就達(dá)到了。

2利用主成分分析法在建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方案評估中的應(yīng)用

2.1定建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方案的衡量指標(biāo)并提請建筑領(lǐng)域相關(guān)專家打分，獲得建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方案評估值樣本空間。對于建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方案衡量指標(biāo)從不同的角度可以進(jìn)行不同的選擇，這在建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方案評估的許多文獻(xiàn)中已有比較全面的說明，本文目的是介紹一種評估方法，對此指標(biāo)的分類不進(jìn)行深究。借鑒他人的研究成果，我們主要從建材與施工、結(jié)構(gòu)選址與場地、結(jié)構(gòu)布置與地基、構(gòu)建與構(gòu)造、安全性五方面建立建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方案的衡量指標(biāo)I。而專家打分采用I—l0分制，分值越高，方案越好。專家個(gè)數(shù)即樣本個(gè)數(shù)越

多越好。經(jīng)過制定專家打分表格，發(fā)放，回收處理后形成如下形式的樣本數(shù)據(jù)表。

2.2將上述數(shù)據(jù)表轉(zhuǎn)化為數(shù)據(jù)矩陣，如果各變量的數(shù)量級和量綱等存在較大的差異時(shí)，需要先對數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，然后進(jìn)行主成分分析。標(biāo)準(zhǔn)化的方法是用原始數(shù)據(jù)的各列除以各列的標(biāo)準(zhǔn)差，標(biāo)準(zhǔn)差可用MATLAB中std函數(shù)來實(shí)現(xiàn)。

2.3利用MATLAB中用于主成分分析的princomp函數(shù)，對上述矩陣進(jìn)行主成分分析，得出主成分矩陣PC和協(xié)方差矩陣的m個(gè)非負(fù)特征值≥≥……≥，并計(jì)算出特征值的貢獻(xiàn)率h和累計(jì)貢獻(xiàn)率f。

2.4選取主成分并構(gòu)造綜合評價(jià)函數(shù)，根據(jù)貢獻(xiàn)率的大小，選取前（1≤≤m）個(gè)主元素，，……，使得th≥90%。前個(gè)元素的線性組合為=Zl】1十ZI2X2十……十ZImXⅢ=Z21X1十z222十.…..+Z2mX卅=Z1十Z2！十，…十Z用，，……，和h。，h，……，h構(gòu)造評價(jià)函數(shù)如下：F=h1+2+。+：.利用綜合評價(jià)函數(shù)F可計(jì)算建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方案的綜合評價(jià)值。F越大，說明設(shè)計(jì)方案越好。從以上分析可知，利用主成分分析法可以降低建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方案各衡量指標(biāo)之間的信息重疊，建立起隨機(jī)變量（衡量指標(biāo)變量）與項(xiàng)目優(yōu)劣值之間的線性關(guān)系，簡化了以往采用層次分析或模糊數(shù)學(xué)對于指標(biāo)層次劃分的負(fù)擔(dān)，而且利用現(xiàn)代計(jì)算機(jī)軟件MATLAB的數(shù)據(jù)處理功能，可以方便地進(jìn)行主成分分析。項(xiàng)目評估所要做的就是正確劃分指標(biāo)類型，獲取樣本數(shù)據(jù)，大大減少方案評估的工作量。

總結(jié)：

綜上所述，主成分分析方法的建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方案評估模型能夠極大程度的保證建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的安全性，從而更好的為建筑而服務(wù)。

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