信號與系統(tǒng)四種重要變換的聯(lián)系和區(qū)別

林曉偉

1 四種重要變換的概念聯(lián)系

信號的主要作用為傳播信息，因此人們對信號的關(guān)注重點為該信號所攜帶的信息。而信號所攜帶的信息存在于其各個頻率分量中。所以我們在第三章中討論了周期信號的傅里葉級數(shù)分析，以傅里葉級數(shù)的方式分析了周期信號各頻率分量所占的比重。然而，在自然界中，我們所遇到的信號不可能是理想的周期信號，而是有限能量的信號。因此，我們將周期信號的傅里葉級數(shù)推廣到了非周期的有限能量信號的傅里葉變換。

隨著時代的發(fā)展，我們對信號的需求由連續(xù)時間的模擬信號轉(zhuǎn)移到了離散時間的數(shù)字信號中（模擬信號剛干擾能力較差，取樣頻率大于二倍的奈奎斯特頻率信號就不會失真）。所以我們的研究方向從連續(xù)時間信號（模擬信號）傅里葉變換轉(zhuǎn)移到了離散時間信號（數(shù)字信號）傅里葉變換中。

傅里葉分析可以解決信號分析中的許多問題，然而傅里葉分析也有其局限之處。例如，傅里葉分析并不能適用于不穩(wěn)定信號的分析。因此我們需要將傅里葉分析進(jìn)一步推廣。相應(yīng)的，連續(xù)時間傅里葉分析推廣到了拉普拉斯變換;離散時間傅里葉變換推廣到了z變換。這兩種變換與傅里葉變換共有的代數(shù)性質(zhì)組合在一起，就形成了一整套重要的系統(tǒng)分析工具。

以上是DTFT、CTFT、LT與ZT的簡要概述及其概念上的聯(lián)系?？梢院喪鰹椋簩TFT推廣可得到LT，將DTFT推廣可得到ZT，而將CTFT離散化可得到DTFT，將LT離散化可得到ZT。

2 四種重要變換的具體聯(lián)系

四種變換都具有相似的性質(zhì)，具體為線性、時移、頻移、共軛、時間反轉(zhuǎn)、時間尺度變換、時域微分，積分（離散形式為差分）、頻域微分，積分等。以綜合等式及分析等式為基礎(chǔ)，運用這些性質(zhì)可以獲得一系列基本變換對，并由這些基本變換對得到一系列變換對從而對信號進(jìn)行高效的分析。

可以簡要的說明：拉普拉斯變換將頻域從實數(shù)推廣到了復(fù)數(shù)，頻域也從實軸推廣到了復(fù)平面，因此連續(xù)時間傅里葉變換成為了拉普拉斯變換的一種特例。當(dāng)拉普拉斯變換中s為純虛數(shù)時，x（t）的拉普拉斯變換，即為x（t）的傅里葉變換。Z變換之于離散時間傅里葉變換的關(guān)系亦如是，而當(dāng)Z變換中Z的模為1即在頻域上為單位圓時，Z變換就變成了離散時間傅里葉變換。

3 四種重要變換分析的主要區(qū)別

3.1 收斂的區(qū)別

在傅里葉變換中，是否能夠進(jìn)行變換，只需判斷該信號是否滿足狄利克雷收斂條件即可。而在拉普拉斯變換和Z變換中。是否收斂的判斷轉(zhuǎn)移到了當(dāng)s的實部或z的模取到了某一定值時，信號是否滿足狄利克雷收斂條件。因此在拉普拉斯變換及Z變換中，相對傅里葉變換多出了收斂域的討論。收斂域的討論是這兩種變換必不可少的一個步驟。因此，在寫出拉普拉斯變換和Z變換的時候，必須標(biāo)記其收斂域。

3.2 性質(zhì)的區(qū)別

連續(xù)時間變換信號的微分和積分性質(zhì)在離散時間變換中變?yōu)榱瞬罘趾屠奂有再|(zhì)。在Z變換中討論的時間反轉(zhuǎn)性質(zhì)在拉普拉斯變換中并未涉及，而在拉普拉斯變換中所討論的初值和終值定理在Z變換中變?yōu)橹挥懻摮踔刀ɡ?。在傅里葉變換中所討論的實信號的對稱性和奇偶分解到了拉普拉斯變換和Z變換中因信號及頻域擴(kuò)展到了復(fù)平面而并未加以敘述。

4 學(xué)習(xí)總結(jié)

在信號與系統(tǒng)這門課程的學(xué)習(xí)中，讓我感觸最深且學(xué)到的最有用的一件事是：從另一個角度看問題。就像課程中學(xué)習(xí)的四種重要變換以及對周期信號傅里葉級數(shù)分析。若想從其定義出發(fā)即綜合方程和分析方程來求的級數(shù)或者變換是極為困難的。因此我們不提倡用這樣的方法去求解問題。轉(zhuǎn)而從其性質(zhì)及用定義很容易求得變換的基本變換對，來對不同的信號或者系統(tǒng)進(jìn)行分析。這樣的做法避免了繁雜的計算，節(jié)省了時間，不失為學(xué)習(xí)信號與系統(tǒng)這門課最為有效的方法之一。而我“從另一個角度看問題”的感想不僅僅局限于信號與系統(tǒng)這門課程之中，更體現(xiàn)在了我對這個世界不同的理解。我們所生存的世界，hen直觀的理解成了在時間軸上不斷向前的一個三維物體，然而四種重要變換告訴我，世界不僅僅可以看成時間上的變換，也可以看成是不同頻率的加權(quán)組合。盡管在一個學(xué)期的學(xué)習(xí)中我對這樣的想法并沒有深刻鉆研下去，但我想隨著我對時間流逝的感覺加深，這樣的想法伴隨著我的人生將會在我的腦海里越來越清晰甚至形成直觀的圖像。我想，這將會對我對這個感知世界的理解產(chǎn)生顛覆性的作用。

最后，感謝張老師一個學(xué)期以來對我們的辛勤教導(dǎo)，老師在課程結(jié)束前不舒服依然堅持給我們傳授知識讓我十分感動！信號與系統(tǒng)這門課程的學(xué)習(xí)并不局限于大二的這個學(xué)期。我相信，在我們以后的專業(yè)課程甚至是未來的工作中，這門課程都會是一個不可或缺的角色！祝老師身體健康，繼續(xù)傳授給我們更多的知識！

（作者單位：電子科技大學(xué)）