一類彈性碰撞振動(dòng)系統(tǒng)周期倍化分岔預(yù)測及其神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制

張惠 衛(wèi)曉娟 丁旺才

摘要： 針對(duì)一類單自由度含間隙和預(yù)緊彈簧的彈性碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的分岔控制問題，提出了一種基于Lyapunov指數(shù)及徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的分岔預(yù)測及控制方法。首先建立了系統(tǒng)的Poincaré映射，推導(dǎo)了彈性碰撞振動(dòng)系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)存在的條件，研究了在主要分岔參數(shù)平面中的動(dòng)力學(xué)分布;其次利用Lyapunov指數(shù)分析了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，提出利用追蹤Lyapunov指數(shù)譜分岔點(diǎn)來預(yù)測周期倍化分岔發(fā)生的方法;最后基于徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)了參數(shù)反饋分岔控制器、基于周期倍化分岔點(diǎn)處的最大Lyapunov指數(shù)構(gòu)造適應(yīng)度函數(shù)，并利用Lyapunov指數(shù)判斷是否實(shí)現(xiàn)了分岔控制，以引導(dǎo)自適應(yīng)混合引力搜索算法對(duì)控制器的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)選，從而實(shí)現(xiàn)周期倍化分岔控制。

關(guān)鍵詞： 非線性振動(dòng); 非光滑系統(tǒng); 周期倍化分岔; Poincaré映射; Lyapunov指數(shù)譜; RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

中圖分類號(hào)： O322; O343.5 ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A ?文章編號(hào)： 1004-4523（2019）04-0626-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2019.04.009

引 言

分岔是非線性系統(tǒng)所具備的獨(dú)特現(xiàn)象且已經(jīng)成為非線性動(dòng)力學(xué)不可或缺的組成部分，分岔理論的研究不僅揭示了系統(tǒng)的各種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)之間的相互聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，而且與混沌密切相關(guān)。對(duì)于非線性系統(tǒng)，分岔現(xiàn)象可能產(chǎn)生有害的動(dòng)力學(xué)行為，需要避免或抑制;又或?yàn)榱耸瓜到y(tǒng)產(chǎn)生人們所需要的分岔行為，需要設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)目刂破饕愿淖兎蔷€性振動(dòng)的分岔特性。因此，對(duì)非線性系統(tǒng)的分岔分析和控制的研究具有重要的科學(xué)意義和廣闊的應(yīng)用前景[1]。研究分岔控制，可以有效地避免、延緩和消除分岔所導(dǎo)致的不良后果，對(duì)提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性和可靠性具有理論指導(dǎo)意義。

非光滑動(dòng)力系統(tǒng)在機(jī)械、電路等領(lǐng)域十分普遍，它會(huì)導(dǎo)致類似于復(fù)雜非線性系統(tǒng)具有的分岔和混沌運(yùn)動(dòng)，然而很多分岔特性及機(jī)理又與普通光滑非線性系統(tǒng)完全不同 [2-10]。非光滑系統(tǒng)中含有的間隙、預(yù)緊、干摩擦等非光滑因素使其Poincaré映射在控制目標(biāo)附近不可微，故基于局部線性化映射的各種控制策略及其推廣形式不能勝任這類系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)控制[11]。

周期倍化分岔過程是一條通向混沌的典型道路，因此消除或延遲周期倍化分岔的發(fā)生是控制混沌發(fā)生的一個(gè)有效方法。Abed等[12]提出了周期倍化分岔的局部鎮(zhèn)定問題，并采用反饋控制延遲倍周期分岔的發(fā)生。唐駕時(shí)等[13]研究了Logistic模型的倍周期分岔的控制問題，設(shè)計(jì)了各種線性控制器，使倍周期分岔延遲或提前出現(xiàn)甚至消失。羅曉曙等[14]利用系統(tǒng)的狀態(tài)反饋和參數(shù)調(diào)節(jié)的方法，有效地實(shí)現(xiàn)了離散非線性動(dòng)力系統(tǒng)的倍周期分岔的延遲控制和混沌吸引子中不穩(wěn)定周期軌道的控制。王學(xué)梅等[15]根據(jù)一般迭代映射的倍周期分岔定理，從數(shù)學(xué)上論證了電壓型不連續(xù)導(dǎo)電模式（DCM）Boost和Buck變換器中倍周期分岔現(xiàn)象產(chǎn)生的條件， 由此揭示了 DC-DC 變換器中倍周期分岔現(xiàn)象發(fā)生的機(jī)理。姜海波等[16]基于Floquet理論揭示了Logistic映射周期解的分岔機(jī)理。衛(wèi)曉娟等[17]應(yīng)用基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的智能優(yōu)化控制方法研究一類含間隙碰撞振動(dòng)系統(tǒng)混沌運(yùn)動(dòng)的控制，將混沌運(yùn)動(dòng)控制為預(yù)期的規(guī)則運(yùn)動(dòng)。文[18] 提出了一種不依賴被控系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的無模型自適應(yīng)參數(shù)反饋混沌控制方法，研究了一類單自由度非光滑系統(tǒng)的混沌控制問題。文[19]通過分析對(duì)稱性破缺分岔機(jī)制，采用了一個(gè)直接的、有效的線性控制器，精確控制了一類三次方對(duì)稱離散混沌系統(tǒng)發(fā)生對(duì)稱性破缺分岔和倍周期分岔時(shí)分岔點(diǎn)的位置。Souza 等[20]在碰撞瞬時(shí)，引進(jìn)了具有動(dòng)態(tài)變量的超越映射，計(jì)算了碰撞系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)譜。金俐等[21] 對(duì)n維剛性約束和分段光滑非光滑動(dòng)力系統(tǒng)引進(jìn)局部映射，利用映射分析方法得出了非光滑系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)譜的通用計(jì)算方法。

本文針對(duì)一類單自由度含間隙和預(yù)緊彈簧的彈性碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的分岔控制問題，應(yīng)用智能控制方法，提出了一種基于Lyapunov指數(shù)及徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的分岔預(yù)測及控制方法。本文內(nèi)容安排如下：首先建立了系統(tǒng)的Poincaré映射，推導(dǎo)了彈性碰撞振動(dòng)系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)存在的條件。利用Lyapunov指數(shù)分析了系統(tǒng)的穩(wěn)定性;其次提出追蹤Lyapunov指數(shù)譜分岔點(diǎn)來預(yù)測周期倍化分岔發(fā)生的方法;最后基于徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)了參數(shù)反饋分岔控制器，并基于周期倍化分岔點(diǎn)處的最大Lyapunov指數(shù)構(gòu)造適應(yīng)度函數(shù)（即利用Lyapunov指數(shù)預(yù)測周期倍化分岔的發(fā)生，以及判斷是否實(shí)現(xiàn)了分岔的控制），以引導(dǎo)自適應(yīng)混合引力搜索算法對(duì)控制器的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)選，從而實(shí)現(xiàn)了周期倍化分岔的控制。

1 系統(tǒng)模型及其運(yùn)動(dòng)方程

1.1 力學(xué)模型

圖1為一個(gè)含間隙及預(yù)緊彈簧的彈性碰撞振動(dòng)系統(tǒng)模型，左邊是質(zhì)量為M的物塊由剛度為K1的線性彈簧和阻尼系數(shù)為R1的線性阻尼器連接于支承，并受到簡諧激勵(lì)Fmsin（ΩT+τ）的作用（Fm為簡諧激勵(lì)力幅值，Ω為簡諧激勵(lì)力頻率，τ為初始相位）。右邊是一個(gè)帶有預(yù)壓縮彈簧K2和阻尼系數(shù)為R2的碰撞面（無質(zhì)量），用來緩沖碰撞。取物塊靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，彈簧K2被預(yù)壓縮來緩沖振動(dòng)，設(shè)質(zhì)量塊的位移為X，間隙為Δ，彈簧K2的預(yù)壓縮量為D。

3.2.2 基于AHGSA的控制器參數(shù)優(yōu)化流程

采用AHGSA算法使式（20）取得最小值的全局最優(yōu)位置g即是RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)反饋分岔控制器的最優(yōu)參數(shù)w，b和c，其具體優(yōu)化流程如下：

1） 隨機(jī)初始化粒子的位置和速度;

2） 按式（20）計(jì)算每個(gè)粒子的適應(yīng)值;

3） 對(duì)每個(gè)粒子，將其適應(yīng)值與個(gè)體歷史最優(yōu)、以及與全局最優(yōu)進(jìn)行比較，以更新當(dāng)前的個(gè)體最優(yōu)位置與群體最優(yōu)位置;

4） 更新每個(gè)粒子的速度和位置;

5） 如未達(dá)到預(yù)先設(shè)定的停止準(zhǔn)則，則返回步驟2），若達(dá)到則停止計(jì)算。

4 仿真研究

在確定神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)時(shí)，在滿足控制系統(tǒng)性能要求的前提下，以取盡可能緊湊的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)為原則，將網(wǎng)絡(luò)隱層節(jié)點(diǎn)選定為5個(gè)。AHGSA算法的參數(shù)設(shè)置為：種群規(guī)模為30，最大迭代次數(shù)為100，G0=129，α=17，等比系數(shù)r=0.96。利用控制器分別對(duì)系統(tǒng)可控參數(shù)ω，δ施加微小擾動(dòng)，以控制系統(tǒng)的周期倍化分岔行為，使系統(tǒng)趨于穩(wěn)定的q=1/1周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。為了清楚地顯示控制效果，前200次迭代不啟動(dòng)控制項(xiàng)，從第201次開始施加控制，圖7（a）和（b）分別為調(diào)整ω和δ時(shí)的周期倍化分岔控制效果。由圖可知，系統(tǒng)的q=2/2運(yùn)動(dòng)能夠很快地被控制為q=1/1周期運(yùn)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)了周期倍化分岔控制。同樣的，q=4/4及混沌運(yùn)動(dòng)也可以很快地被控制為q=1/1周期運(yùn)動(dòng)。因調(diào)整參數(shù)ω和δ的控制效果是類似的，故只呈現(xiàn)了調(diào)整參數(shù)ω的控制效果圖，如圖8及9所示。

5 結(jié) 論

本文研究了一類單自由度含間隙和預(yù)緊彈簧的彈性碰撞振動(dòng)系統(tǒng)模型，針對(duì)系統(tǒng)的分岔控制問題，提出了一種基于Lyapunov指數(shù)及徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的分岔預(yù)測及控制方法。

（1） 建立了系統(tǒng)的Poincaré映射，推導(dǎo)了彈性碰撞振動(dòng)系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)存在條件，研究了系統(tǒng)不同周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在（ω，δ）參數(shù)平面的所處參數(shù)區(qū)域。

（2） 提出追蹤Lyapunov指數(shù)譜分岔點(diǎn)來預(yù)測周期倍化分岔發(fā)生的方法;當(dāng)周期運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)Lyapunov指數(shù)的差值dλ小于突變閾值dλCP時(shí)，系統(tǒng)保持穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài);隨著系統(tǒng)參數(shù)的變化，當(dāng)dλ逐漸增大到分岔閾值dλPD，即λ1=0時(shí)系統(tǒng)開始周期倍化分岔序列，Lyapunov指數(shù)突變點(diǎn)的變化倍率為gω≈3.447，gδ≈3.969。

（3） 基于徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)了參數(shù)反饋分岔控制器，并基于周期倍化分岔點(diǎn)處的最大Lyapunov指數(shù)構(gòu)造適應(yīng)度函數(shù)，即利用Lyapunov指數(shù)預(yù)測周期倍化分岔的發(fā)生，以及判斷是否實(shí)現(xiàn)了分岔的控制。以引導(dǎo)自適應(yīng)混合引力搜索算法對(duì)控制器的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)選，從而實(shí)現(xiàn)周期倍化分岔的控制。

參考文獻(xiàn)：

[1] 唐駕時(shí)， 符文彬， 錢長照， 等.非線性系統(tǒng)的分岔控制[M]. 北京：科學(xué)出版社，2016.

Tang Jia-Shi， Fu Wen-Bin， Qian Chang-Zhao， et al. Bifurcation Control in Nonlinear Systems[M]. Beijing： Science Press， 2016.

[2] Sharan R， Banerjee S. Character of the map for switched dynamical systems for observations on the switching manifold[J]. Physics Letters A， 2008， 372： 4234-4240.

[3] Ma Y， Ing J， Banerjee S， et al. The nature of the normal form map for soft impacting systems[J]. International Journal of Non-Linear Mechanics， 2008， 43（6）：504-513.

[4] Ott E， Yorke J A. Border-collision bifurcations： An explanation for observed bifurcation phenomena[J]. Physical Review E， 1994， 49：1073-1076.

[5] Budd C， Dux F. Chattering and related behaviour in impact oscillators[J]. Philosophical Transactions of the Royal Society A， 1994，347：365-389.

[6] Leine R I， Van Campen D H， Van der Vrande B L. Bifurcations in nonlinear discontinuous systems[J]. Nonlinear Dynamics， 2000，（23）： 105-164.

[7] Nusse H E， Yorke J A. Border collision bifurcations including 'period two to period three' bifurcation for piecewise smooth systems[J]. Physica D，1992，57（1-2）：39-57.

[8] Nusse H E， Yorke J A. Border-collision bifurcations for piecewise smooth one dimensional maps[J]. International Journal of Bifurcation and Chaos， 1995， 5（1）：189-207.

[9] Nordmark A B. Non-periodic motion caused by grazing incidence in an impact oscillator[J]. Journal of Sound and Vibration， 1991， 145（2）： 279-297.

[10] Di Bernardo M， Budd C J， Champneys A R， et al. Piecewise-Smooth Dynamical Systems： Theory and Applications[M]. London： Springer， 2008.

[11] 金棟平，胡海巖. 碰撞振動(dòng)與控制[M]. 北京：科學(xué)出版社， 2005.

[12] Abed E H， Wang H O， Chen R C. Stabilization of period doubling bifurcations and implications for control of chaos[J]. Physica D， 1994， 70（1-2）：154-164.

[13] 唐駕時(shí)，歐陽克儉. Logistic模型的倍周期分岔控制[J].物理學(xué)報(bào)，2006，55（9）：4437-4441.

Tang Jia-Shi， Ouyang Ke-Jian. Controlling the period-doubling bifurcation of Logistic model[J]. Acta Physica Sinica， 2006， 55（9）： 4437-4441.

[14] 羅曉曙，陳關(guān)榮，汪秉宏，等. 狀態(tài)反饋和參數(shù)調(diào)整控制離散非線性系統(tǒng)的倍周期分岔和混沌[J]. 物理學(xué)報(bào)，2003， 52（4）： 790-794.

Luo Xiao-Shu， Chen Guan-Rong， Wang Bing-Hong， et al. Control of period-doubling bifurcation and chaos in a discrete nonlinear system by the feedback of states and parameter adjustment[J]. Acta Physica Sinica， 2003， 52（4）：790-794.

[15] 王學(xué)梅，張 波，丘東元.不連續(xù)導(dǎo)電模式DC-DC變換器的倍周期分岔機(jī)理研究[J]. 物理學(xué)報(bào)， 2008， 57（5）： 2728-2736.

Wang Xue-Mei， Zhang Bo， Qiu Dong-Yuan. Mechanism of period-doubling bifurcation in DCM DC-DC converter[J]. Acta Physica Sinica， 2008， 57（5）：2728-2736.

[16] 姜海波，李 濤，曾小亮，等. 周期脈沖作用下Logistic映射的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為及其分岔分析[J]. 物理學(xué)報(bào)， 2013， 62（12）：120508.

Jiang Hai-Bo， Li Tao， Zeng Xiao-Liang， et al.Bifurcation analysis of complex behavior in the Logistic map via periodic impulsive force[J]. Acta Physica Sinica， 2013， 62（12）：120508.

[17] 衛(wèi)曉娟，李寧洲，張 惠，等.一類含間隙碰撞振動(dòng)系統(tǒng)混沌運(yùn)動(dòng)的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[J].振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2018，31（2）：336-342.

Wei Xiao-juan， Li Ning-zhou， Zhang Hui， et al. Chaos control of a vibro-impact system with clearance based on RBF neural network[J]. Journal of Vibration Engineering， 2018， 31（2）：336-342.

[18] 衛(wèi)曉娟，李寧洲，丁旺才. 一類非光滑系統(tǒng)的無模型自適應(yīng)混沌控制[J]. 振動(dòng)工程學(xué)報(bào)， 2018， 31（6）：996-1004.

Wei Xiao-juan， Li Ning-zhou， Ding Wang-cai. Chaos control of a non-smooth system based on model-free adaptive control method[J]. Journal of Vibration Engineering， 2018， 31（6）： 996-1004.

[19] 張 惠，褚衍東，丁旺才，等.一類三次方對(duì)稱離散混沌系統(tǒng)的分岔控制[J]. 物理學(xué)報(bào)，2013，62（4）：040202.

Zhang Hui， Chu Yan-Dong， Ding Wang-Cai， et al. Bifurcation control of a cubic symmetry discrete chaotic system[J]. Acta Physica Sinica， 2013，62（4）：040202.

[20] Souza S L T D， Caldas I L. Calculation of Lyapunov exponents in systems with impacts [J]. Chaos， Solitons and Fractals， 2004，（19）：569-579.

[21] 金 俐， 陸啟韶. 非光滑動(dòng)力系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)譜的計(jì)算方法[J]. 力學(xué)學(xué)報(bào)，2005，37（1）： 40-46.

Jin Li， Lu Qi-shao. A method for calculating the spectrum of Lyapunov exponents of non-smooth dynamical system[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics， 2005， 37（1）： 40-46.

[22] 劉金琨. 機(jī)械系統(tǒng)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制：設(shè)計(jì)、分析及MATLAB仿真[M]. 北京：清華大學(xué)出版社， 2013.

Liu Jinkun， Radial Basis Function （RBF） Neural Network Control for Mechanical Systems： Design， Analysis and Matlab Simulation[M]. Beijing：Tsinghua University Press， 2013.

Abstract： The paper is devoted to a kind of single-degree-of-freedom non-smooth dynamical system with clearance and pre-compressed springs. The Poincaré mapping of the system is established and the existence condition of periodic motion of the elastic vibro-impact system is derived， and the dynamic distribution in the main bifurcation parameter plane is studied. The stability of the system is analyzed by using Lyapunov exponents， and a method of predicting the occurrence of period doubling bifurcation by tracing the spectral bifurcation points of Lyapunov exponent is proposed. The parameter feedback bifurcation controller is designed on the basis of RBF neural network. The adaptive hybrid gravitational search algorithm （AHGSA） combined with RBF neural network is presented to optimize the parameters in bifurcation controller. To control the period-doubling bifurcations， the fitness function is formulated on the maximum Lyapunov exponent of the corresponding bifurcation points.

Key words： nonlinear vibration; non-smooth dynamical systems; period doubling bifurcation; Poincaré mapping; Lyapunov exponent; RBF neural network

作者簡介： 張 惠（1983-），女，講師。電話：（0931）4957093;E-mail：zhanghui_nice@163.com

通訊作者： 丁旺才（1964-），男，教授。電話：（0931）4956108;E-mail：Dingwc@mail.lzjtu.cn