利用耦合系統(tǒng)自由振動響應(yīng)識別結(jié)構(gòu)被控模態(tài)和TMD參數(shù)

溫青 華旭剛 王修勇

摘要： 準確從安裝TMD后的結(jié)構(gòu)-TMD耦合系統(tǒng)中識別結(jié)構(gòu)被控模態(tài)和TMD參數(shù)是TMD現(xiàn)場調(diào)試的必需條件。針對TMD現(xiàn)場調(diào)試中參數(shù)識別問題，提出了一種通過結(jié)構(gòu)-TMD耦合系統(tǒng)自由振動試驗識別結(jié)構(gòu)被控模態(tài)的模態(tài)質(zhì)量、頻率和阻尼比以及TMD頻率和阻尼比的方法。該方法首先采用隨機子空間算法評估耦合系統(tǒng)的離散狀態(tài)空間模型，然后將其減縮和轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)被控模態(tài)和TMD耦合的兩自由系統(tǒng)連續(xù)狀態(tài)空間模型;最后，利用連續(xù)狀態(tài)矩陣，識別結(jié)構(gòu)被控模態(tài)的模態(tài)質(zhì)量、頻率和阻尼比以及TMD頻率和阻尼比。數(shù)值分析研究結(jié)果表明：1）該方法抗噪能力強;2）TMD與原結(jié)構(gòu)各模態(tài)耦合越強，質(zhì)量比識別結(jié)果誤差越大，其他參數(shù)識別結(jié)果均滿足工程要求。通過單層框架結(jié)構(gòu)試驗研究，驗證了該方法的可行性。

關(guān)鍵詞： 參數(shù)識別; TMD-結(jié)構(gòu)耦合系統(tǒng); 模態(tài)分析; 狀態(tài)空間; 自由振動測試

中圖分類號： TU311.3; TU352.1 文獻標志碼： A 文章編號： 1004-4523（2019）04-0565-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2019.04.002

引 言

舒適性是結(jié)構(gòu)設(shè)計的重要指標，結(jié)構(gòu)的大幅振動會引起人體不適甚至心理恐慌。因此，對于存在大幅振動的結(jié)構(gòu)，需要采取控制措施，抑制結(jié)構(gòu)振動。安裝調(diào)諧質(zhì)量阻尼器（TMD）減振系統(tǒng)是一種常見的提高結(jié)構(gòu)舒適性的被動耗能減振方法。該方法已經(jīng)廣泛應(yīng)用于人行橋人致振動控制和高聳結(jié)構(gòu)風致振動控制，如葡萄牙Pedro e Inês人行橋[1]、綿陽一號橋人行橋[2]、合肥跨懷寧路人行橋[3]、臺北101大樓[4]、廣州電視塔[5]、上海中心大廈[6]等。

根據(jù)控制目標的不同，采用相應(yīng)的TMD參數(shù)優(yōu)化設(shè)計方法，設(shè)計TMD的質(zhì)量、頻率和阻尼比[7]。然而，不管采用何種參數(shù)優(yōu)化方法，準確獲得結(jié)構(gòu)的模態(tài)質(zhì)量、頻率和阻尼比，以及準確調(diào)試TMD的頻率和阻尼比是保證TMD減振效率的關(guān)鍵。在實際工程中，結(jié)構(gòu)的模態(tài)質(zhì)量常采用有限元方法評估，試驗方法通常采用強迫振動試驗，該方法能有效評估結(jié)構(gòu)的模態(tài)質(zhì)量[8]，但是該方法需要專門的激振設(shè)備，成本較高，且對大型結(jié)構(gòu)不適用。結(jié)構(gòu)的頻率和阻尼比可以通過環(huán)境振動測試或自由振動測試評估[9-11]。用于TMD優(yōu)化設(shè)計的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)應(yīng)該為結(jié)構(gòu)正常運營狀態(tài)下的模態(tài)參數(shù)，然而，TMD的安裝有時與結(jié)構(gòu)的施工同步，用于TMD優(yōu)化設(shè)計的結(jié)構(gòu)動力參數(shù)無法事先準確獲得，需要在安裝TMD后測試結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)，并據(jù)此對TMD進行調(diào)試。小型TMD可以在工廠組裝好，能準確調(diào)試其頻率和阻尼比，而大型TMD，如重達660 t的臺北101大廈TMD[4]、重達1000 t的上海中心大廈TMD[6]等，或者安裝于狹窄空間的TMD，如安裝于橋梁鋼箱梁內(nèi)的TMD[2]，只能在現(xiàn)場組裝，因此，TMD的頻率和阻尼比有時需要在現(xiàn)場調(diào)試，TMD的參數(shù)偏離會影響減振效率[12]。

安裝TMD后，結(jié)構(gòu)和TMD構(gòu)成一個耦合振動系統(tǒng)，傳統(tǒng)的參數(shù)識別方法只能評估耦合系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)，而不能通過耦合系統(tǒng)的響應(yīng)識別結(jié)構(gòu)被控模態(tài)參數(shù)和TMD物理參數(shù)。安裝于結(jié)構(gòu)上，TMD既是一種減振裝置，又可以作為一種激振裝置。通過搖動TMD可以激勵結(jié)構(gòu)大幅振動。Porras等[13]提出了利用TMD作為振子的基于自由振動測試的結(jié)構(gòu)模態(tài)質(zhì)量識別方法。Hwang等[14-15]通過模型減縮方法，利用TMD的運動質(zhì)量已知識別了結(jié)構(gòu)的模態(tài)質(zhì)量。但是，這些方法均沒有討論結(jié)構(gòu)被控模態(tài)和TMD的頻率和阻尼比識別。

鑒于此，本文提出了一種通過測試結(jié)構(gòu)和TMD耦合系統(tǒng)的自由振動響應(yīng)，識別結(jié)構(gòu)被控模態(tài)的模態(tài)質(zhì)量、頻率和阻尼比以及TMD頻率和阻尼比的方法。本文首先建立了結(jié)構(gòu)-TMD耦合系統(tǒng)的自由振動的狀態(tài)空間模型，提出了基于狀態(tài)空間的參數(shù)識別方法;然后，采用數(shù)值方法，驗證了提出方法的可行性，分析了不同TMD參數(shù)、噪聲和結(jié)構(gòu)模態(tài)耦合程度對識別結(jié)果的影響;最后，通過單層框架試驗，驗證了該方法的可行性。

在實際測試中，噪聲不可避免。噪聲分兩部分模擬：1）零均值高斯白噪聲激勵，模擬環(huán)境激勵，作用于結(jié)構(gòu)上;2）測量噪聲，用零均值高斯白噪聲模擬，疊加在結(jié)構(gòu)和TMD的響應(yīng)上。噪聲水平由噪信比R確定，R=σy/σx。R1為激勵噪聲，由僅在激勵噪聲作用下結(jié)構(gòu)響應(yīng)的均方根σy與無噪聲時結(jié)構(gòu)響應(yīng)的均方根σx確定。R2為測試噪聲，由測試噪聲信號的均方根σy與無噪聲時結(jié)構(gòu)響應(yīng)的均方根σx確定。

有噪聲時，分析了不同噪信比對識別結(jié)構(gòu)的影響。分析時，μ=1.00%，ζ0=6.09%，采樣時長為12 s。圖3為R1=10%和R2=10%時的穩(wěn)態(tài)圖。圖中，有2條明顯的穩(wěn)定軸，對應(yīng)的頻率約為1.431和1.555 Hz，等于結(jié)構(gòu)-TMD耦合系統(tǒng)的模態(tài)頻率。由于采樣時間太短，同一噪信比下，不同的噪聲得到不同的結(jié)果，因此，對同一噪信比進行了1000個工況分析，識別的結(jié)果如表2所示。表中，識別結(jié)果表示為均值±均方根。識別結(jié)果表明，即使在較大的噪聲干擾下，該方法也能較為準確地識別參數(shù)。在R1=20%和R2=20%內(nèi)，識別的頻率均值誤差不超過0.1%，質(zhì)量比均值誤差不超過1.5%。識別的TMD阻尼比均值誤差很小，而識別的結(jié)構(gòu)阻尼比ζ1均值誤差較大。由式（19）可知，ζ1的識別與ωr，μ，ζ0和ω0相關(guān)，因此，這些參數(shù)的識別誤差都會傳遞給ζ1，導(dǎo)致其識別誤差較大。隨著噪信比的增大，識別結(jié)果的離散性越來越大。激勵噪聲是影響參數(shù)識別精度的主要原因。

2.2.1 多點彈性支撐連續(xù)梁

多點彈性支撐連續(xù)梁模型如圖4所示。該結(jié)構(gòu)跨徑12 m，跨中均布的23個剛度k均為200 N/m的彈簧。主梁為寬0.1 m、高0.012 m的矩形鋼板，鋼材的密度ρ=7850 kg/m3，彈性模量E=2.06×1011 Pa，主梁的抗彎慣性矩I=0.144×10-7 m4。結(jié)構(gòu)的阻尼采用Rayleigh阻尼模擬，即C=αM+βK，其中M為結(jié)構(gòu)的一致質(zhì)量矩陣，K為剛度矩陣。設(shè)定第2階和第4階的模態(tài)阻尼比均為0.50%，反推Rayleigh阻尼常數(shù)，得：α=0.0582，β=3.4897×10-4。結(jié)構(gòu)的動力特征如表3所示。結(jié)構(gòu)各階模態(tài)質(zhì)量均為56.5 kg。模態(tài)振型為簡諧函數(shù)曲線。

在結(jié)構(gòu)跨中安裝一個TMD控制結(jié)構(gòu)的第1階模態(tài)。 質(zhì)量比取1%， TMD質(zhì)量為0.565 kg， 按照最大位移最小化方法，設(shè)計TMD最優(yōu)頻率和阻尼比分別為1.045 Hz和6.09%。TMD剛度k0為24.347 N/m，阻尼系數(shù)c0為0.4 N·s/m。安裝TMD后，結(jié)構(gòu)-TMD耦合系統(tǒng)的模態(tài)特征如表3所示。安裝TMD后，在原結(jié)構(gòu)第1階模態(tài)的附加出現(xiàn)兩階模態(tài)，且這兩階模態(tài)的阻尼比很大。TMD與原結(jié)構(gòu)其他模態(tài)耦合程度很小。

2.2.2 TMD頻率對識別結(jié)果的影響

不同TMD頻率下識別的結(jié)果如表4所示。頻率比為TMD的頻率與結(jié)構(gòu)被控模態(tài)頻率的比值。由表4可知： （1）TMD的頻率顯著影響質(zhì)量比的識別結(jié)果，TMD頻率偏離結(jié)構(gòu)頻率越大，質(zhì)量比識別誤差越大;（2）TMD頻率偏離略微影響結(jié)構(gòu)頻率的識別;（3）TMD頻率偏離基本不影響TMD頻率、阻尼比以及結(jié)構(gòu)阻尼比的識別精度。當TMD頻率與結(jié)構(gòu)被控模態(tài)頻率接近時，能獲得更好的識別結(jié)果。

2.2.3 模態(tài)耦合程度對識別結(jié)果的影響

在理論推導(dǎo)過程中，由式（4）推導(dǎo)式（6）時，引入了假設(shè)：耦合系統(tǒng)中原結(jié)構(gòu)第n個自由度位置的位移僅有第r階模態(tài)參與，即xn=φnrqr。對于單自由的結(jié)構(gòu)，該假設(shè)顯然成立;而對于多自由度系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)各位置的響應(yīng)通常為多模態(tài)疊加，該假設(shè)不成立。因此，本節(jié)分析了多模態(tài)振動和模態(tài)耦合程度對識別結(jié)果的影響。

首先，分析了多模態(tài)振動對識別結(jié)果的影響。多模態(tài)狀態(tài)通過調(diào)整結(jié)構(gòu)初始位移實現(xiàn)。令TMD初始位移x00為0.01 m，結(jié)構(gòu)1/4跨初始位移xQ0分別為0.000，0.005，0.010和0.020 m，TMD和結(jié)構(gòu)初始速度均為0。不同初始條件下結(jié)構(gòu)的功率譜如圖 5所示。由圖可知：隨著1/4跨位置初始位移增大，主梁跨中位移響應(yīng)高階模態(tài)參與程度越來越高。不同的多模態(tài)參與下，各工況識別結(jié)果如表 5所示。由表可知，多模態(tài)振動對識別結(jié)果沒有影響。

然后，通過改變TMD安裝位置，分析了耦合程度對識別結(jié)果的影響。TMD布置于跨中時，TMD只與原結(jié)構(gòu)奇數(shù)階模態(tài)發(fā)生耦合，耦合程度最小。將TMD布置于其他位置時，TMD會與更多的原結(jié)構(gòu)模態(tài)耦合。將TMD布置于跨中，識別了原結(jié)構(gòu)的第1階和第3階模態(tài)，將TMD布置于1/4跨識別了原結(jié)構(gòu)第2階模態(tài)，將TMD布置于1/8跨識別了原結(jié)構(gòu)第4階模態(tài)。識別結(jié)果如表 6所示。表中，識別的原結(jié)構(gòu)第2階和第4階模態(tài)的質(zhì)量比誤差明顯大于第1和第3階模態(tài)。

通過以上的分析可知：結(jié)構(gòu)多模態(tài)振動不影響參數(shù)的識別結(jié)果，即耦合系統(tǒng)的振動形式不影響識別結(jié)果，但是，TMD與原結(jié)構(gòu)的模態(tài)耦合程度會影響質(zhì)量比的識別，對其他參數(shù)的識別影響很小。本文提出的方法使用耦合系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)重構(gòu)狀態(tài)矩陣，再由狀態(tài)矩陣識別參數(shù)。系統(tǒng)的多模態(tài)振動不會改變耦合系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)特征，因此，多模態(tài)振動不影響參數(shù)識別。然而，不同的耦合程度，耦合系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)不同，導(dǎo)致評估的狀態(tài)矩陣不同，因此，耦合程度影響識別結(jié)果。由仿真分析可知：TMD與結(jié)構(gòu)耦合的模態(tài)越少，識別的質(zhì)量比精度越高。

3 單層框架結(jié)構(gòu)試驗研究

在試驗室進行了如圖 6所示單層框架結(jié)構(gòu)和TMD系統(tǒng)試驗研究。單層框架結(jié)構(gòu)可以視為一個單自由度的系統(tǒng)，通過在結(jié)構(gòu)的平臺上增減質(zhì)量可以調(diào)整結(jié)構(gòu)的模態(tài)質(zhì)量。TMD采用懸臂梁結(jié)構(gòu)，如圖 7所示。懸臂梁一端固定一個集中質(zhì)量塊，另一端固結(jié)在底座上。TMD的頻率通過改變懸臂長度調(diào)節(jié)。為了調(diào)節(jié)TMD的阻尼，安裝了電渦流阻尼裝置，因為阻尼裝置與質(zhì)量塊之間無接觸，阻尼裝置不提供附加剛度，不會改變TMD的頻率。

通過調(diào)整結(jié)構(gòu)和TMD的質(zhì)量改變質(zhì)量比，通過調(diào)整銅板和永磁體的距離改變TMD的阻尼比，試驗了2種質(zhì)量比和3種TMD阻尼比共6種工況。結(jié)構(gòu)的模態(tài)質(zhì)量采用理論方法計算，1#結(jié)構(gòu)和2#結(jié)構(gòu)的模態(tài)質(zhì)量分別約為17.90和27.90 kg。TMD的模態(tài)質(zhì)量通過稱重直接獲得，約為0.19 kg。根據(jù)結(jié)構(gòu)和TMD的質(zhì)量，計算了質(zhì)量比，分別為1.06%和0.68%。耦合振動試驗前，將結(jié)構(gòu)和TMD分離，通過自由振動測試，分別識別了結(jié)構(gòu)和TMD的頻率和阻尼比，如表7所示。圖8為實測分離狀態(tài)下結(jié)構(gòu)和TMD的自由振動位移響應(yīng)。

采用本文提出的方法，識別了6種工況下質(zhì)量比、結(jié)構(gòu)和TMD的頻率和阻尼比，識別結(jié)果如表 8所示。圖 9為工況1b結(jié)構(gòu)-TMD耦合系統(tǒng)的自由振動時程曲線。本試驗在室內(nèi)實驗室完成，試驗時，周邊環(huán)境十分安靜，地面振動極小，所有測試儀器均接地線，動態(tài)數(shù)據(jù)采集儀器采用DH5920。另外，試驗時，結(jié)構(gòu)位移較大。從實測數(shù)據(jù)看，總噪聲水平很小。通過表7和8比較表明：該方法在不同的質(zhì)量比和TMD阻尼比條件下都能準確識別質(zhì)量比、結(jié)構(gòu)和TMD的頻率和阻尼比。

本文提出了一種基于結(jié)構(gòu)和TMD耦合系統(tǒng)自由振動試驗的結(jié)構(gòu)被控模態(tài)模態(tài)參數(shù)和TMD物理參數(shù)識別方法。通過數(shù)值仿真和試驗研究分析了該方法的可行性和適用性。研究結(jié)果表明：1）該方法理論推導(dǎo)正確，能有效識別結(jié)構(gòu)被控模態(tài)和TMD參數(shù);2）TMD頻率與結(jié)構(gòu)被控模態(tài)頻率越接近，識別質(zhì)量比越可靠;3）TMD與結(jié)構(gòu)的耦合程度影響質(zhì)量比的識別，耦合程度越小，識別的質(zhì)量比越可靠;4）單框架結(jié)構(gòu)試驗驗證了該方法可行。

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Abstract： Accurate identification of the structural modal parameters and TMD physical parameters based on the vibration tests of the structure-TMD coupled system is necessary for in-situ TMD tuning. In this paper， a method is proposed to identify modal mass， frequency and damping ratio for the structural controlled mode and frequency and damping ratio of TMD from the free vibration tests of the structure-TMD coupled system. The flowchart of the proposed method is as follows： first， the discrete state matrix is estimated by stochastic subspace identification; then， a reduced two degrees-of freedom state space model of structural controlled mode and TMD coupled system is estimated; finally， the corresponding parameters are identified from the state space estimated. Numerical analysis was studied and it indicates that： 1） the proposed method is strong in robustness， 2） and the stronger of coupling in the structure and TMD， the worse of estimation of mass ratio， but the estimation of the other parameters is of high accuracy. Experimental tests were performed on a single-story frame structure to evaluate effectiveness of the method.

Key words： parameter identification; structure and TMD coupled system; modal analysis; state space; free vibration test

作者簡介： 溫 青（1985-），男，博士，講師。 E-mail： cewenq@hnust.edu.cn