非連續(xù)屏障對(duì)Rayleigh波寬頻散射三維快速邊界元模擬

劉中憲， 符瞻遠(yuǎn)， 苗 雨， 王治坤， 李昌俊

(1. 天津城建大學(xué) 天津市土木建筑結(jié)構(gòu)防護(hù)與加固重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 天津 300384；2. 華中科技大學(xué) 土木與力學(xué)學(xué)院， 武漢 430074; 3. 天津市地震工程研究所， 天津 300384)

近年來(lái)，隨著城市基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)快速發(fā)展，公路交通、建筑施工、工業(yè)和爆破等活動(dòng)帶來(lái)的振動(dòng)、噪聲等問(wèn)題越發(fā)引起公眾關(guān)注。實(shí)際工程中常采用連續(xù)屏障或非連續(xù)屏障進(jìn)行隔振設(shè)計(jì)。非連續(xù)屏障相對(duì)施工方便，造價(jià)低，隔振效果好。目前，國(guó)內(nèi)外對(duì) 非連續(xù)屏障隔振效果的計(jì)算分析多采用二維模型[1-4]，而三維隔振方面的研究還相對(duì)較少。三維模擬方面：張富有等[5-7]采用有限元法模擬了三維群樁隔震效應(yīng)，并進(jìn)行了實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)驗(yàn)證。Kattis等[8]采用頻域邊界元法計(jì)算了單排圓形和方形樁屏障的三維隔振問(wèn)題；Tsai等[9]研究了單排混凝土實(shí)心樁等對(duì)豎向簡(jiǎn)諧振動(dòng)荷載的隔振效果；高廣運(yùn)等[10]采用邊界元法分析了成層地基中排樁隔振效果；陸建飛等[11]采用波數(shù)域邊界元方法研究了低頻下聯(lián)結(jié)式排樁的隔振效果；徐滿清[12]根據(jù)虛擬樁法求解了飽和土體中雙排樁對(duì)交通荷載的隔振問(wèn)題。谷音等[13]通過(guò)考慮場(chǎng)地條件的不同、軟夾層位置的改變、不同頻率Rayleigh波的輸入以及樁長(zhǎng)對(duì)Rayleigh 波傳播與場(chǎng)地地震反應(yīng)的影響。不同數(shù)值方法中，相比域離散型方法，邊界元法 (Boundary Element Method, BEM) 具有降低問(wèn)題求解維數(shù)、無(wú)高頻頻散、自動(dòng)滿足無(wú)限遠(yuǎn)輻射條件等優(yōu)勢(shì)，因此比較適合地基振動(dòng)隔振問(wèn)題三維計(jì)算分析。

需注意的是，對(duì)于高頻波入射下三維群樁隔振模擬，單元離散數(shù)和計(jì)算自由度將急劇增加，而傳統(tǒng)IBEM(Indirect Boundary Element Method)邊界方程稠密矩陣特性嚴(yán)重影響了其對(duì)大規(guī)模高頻問(wèn)題的求解效率。文獻(xiàn)[14]根據(jù)高階泰勒展開，采用FMM-IBEM(Fast Multipole IBEM)求解了全空間三維孔洞周圍彈性波的散射問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)該方法可大幅度降低計(jì)算量和存儲(chǔ)量，但對(duì)基本解的泰勒展開僅適用于低頻問(wèn)題。因此本文嘗試結(jié)合平面波展開，首次將FMM-IBEM方法拓展到三維群樁寬頻隔振問(wèn)題求解，進(jìn)而分析單排樁凈距、排樁樁長(zhǎng)、場(chǎng)地波速、排樁排數(shù)以及多排樁之間的凈距等因素對(duì)隔振效果的影響規(guī)律，為實(shí)際工程群樁隔振設(shè)計(jì)提供部分理論依據(jù)。

1 計(jì)算模型

如圖1所示，彈性半空間土體中埋置單排或多排群樁，假設(shè)土體和群樁的介質(zhì)均為彈性、均勻和各向同性，考慮有振源激發(fā)的Rayleigh波從左側(cè)入射。土體介質(zhì)中，設(shè)剪切模量、密度、泊松比分別為μ1、ρ1和ν1。樁體中相應(yīng)介質(zhì)材料參數(shù)為μ2、ρ2和ν2。

(a) 剖面圖

(b) 平面圖

2 間接邊界元法(IBEM)

以半空間單排樁對(duì)Rayleigh波的散射為例，簡(jiǎn)要介紹傳統(tǒng)間接邊界元法的計(jì)算原理與步驟。計(jì)算模型如圖 1所示。穩(wěn)態(tài)波傳播的運(yùn)動(dòng)方程可表示為

(1)

σij=2μεij+λeδij

(2)

式中：i、j=1,2,3 分別對(duì)應(yīng)于x、y、z方向(下文同)；σij為彈性介質(zhì)中應(yīng)力分量；εij為應(yīng)變分量；e為體積應(yīng)變；δij為Kronecker常數(shù)。

由單層位勢(shì)理論，三維空間域內(nèi)的散射波場(chǎng)位移和牽引力可以表達(dá)為某連續(xù)面S上的積分

(3)

(4)

式中：φj(y)為邊界單元上施加的虛擬均布荷載密度；非積分項(xiàng)cφj(ξ)為對(duì)ξ趨于x時(shí)積分奇異性的特殊處理；取c=±0.5，符號(hào)由法向量方向而定，下面定義球面波位勢(shì)函數(shù)

(5)

為簡(jiǎn)化書寫，上式中時(shí)間因子eiωt已略去(下文同)。其中q為縱波或剪切波波數(shù)；r=|x-y|，x和y分別為場(chǎng)點(diǎn)和源點(diǎn)。則全空間中簡(jiǎn)諧集中荷載產(chǎn)生的位移與牽引力格林函數(shù)可表達(dá)為

Gij(x,y)=

(6)

(7)

式中：ni為場(chǎng)點(diǎn)x處邊界單元單位法向量與i軸正方向夾角余弦。

在半空間域

(8)

在群樁內(nèi)部

(9)

(10)

(11)

根據(jù)式(3)，散射波場(chǎng)的位移為

(12)

(13)

問(wèn)題邊界條件為：樁頂面S2與半空間地表面S1應(yīng)力為零，樁體-土交界面S0牽引力和位移連續(xù)。

(14)

(15)

(16)

(17)

將式(4)代入式(14)和式(15)可得：

0，x∈S2

(18)

(19)

將式(16)和式(17)代入式(12)和式(13)可得

(20)

(21)

求解問(wèn)題時(shí)需要離散群樁表面和自由地表面，并在每個(gè)單元上施加虛擬均布荷載，單元上覆蓋的斜面圓盤中心位置為xm，虛擬荷載中心設(shè)為yn。設(shè)群樁外部半空間地表、群樁上表面的總單元數(shù)分別為N1和N2，群樁與半空間交界面上的單元數(shù)為N0，則式(18)～式(21)可分別離散為

(22)

(23)

(24)

(25)

當(dāng)樁的數(shù)量較多時(shí)，采用常規(guī)的高斯消元法，方程組求解運(yùn)算量和存儲(chǔ)量都是巨大的。下面考慮結(jié)合廣義極小余量法(Generalized Minimal Residual Method, GMRES) 及快速多極子展開技術(shù)，突破常規(guī)邊界元法求解大規(guī)模問(wèn)題計(jì)算瓶頸。

3 快速多極子間接邊界元法原理

在常規(guī) IBEM 中，即使采用 GMRES 迭代法求解，其計(jì)算量仍達(dá)到O(N2)，使得算法難以處理大規(guī)模問(wèn)題?？焖俣鄻O子邊界元法(FMM-IBEM)以樹結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)取代常規(guī) IBEM 非稀疏滿陣矩陣，從而大大提高了計(jì)算效率。

根據(jù)平面波展開理論[16]，核函數(shù)多極展開為

(26)

(27)

(28)

(29)

多極展開和多極傳遞：從源點(diǎn)y開始，將源點(diǎn)的信息傳遞到葉子細(xì)胞上，稱之為多極展開。核函數(shù)多極展開截?cái)鄶?shù)p根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式[17]得到

p=kD+c0log(kD+π)

(30)

式中，D為樹結(jié)構(gòu)中正方體外接圓直徑，c0為精度控制參數(shù)。

如果展開點(diǎn)從點(diǎn)y0移動(dòng)到附近新的一點(diǎn)yc，則可以通過(guò)由子細(xì)胞到父細(xì)胞的多極傳遞M2M轉(zhuǎn)換得到源點(diǎn)矩M=(y,yc)為

(31)

上式即為多極展開系數(shù)傳遞式。進(jìn)而可從葉子細(xì)胞開始，逐層上行計(jì)算得到上層各結(jié)點(diǎn)的多極展開系數(shù)。

多極向局部傳遞、局部傳遞等可參考文獻(xiàn)[18]中相應(yīng)步驟。

4 計(jì)算效率與內(nèi)存需求

為了驗(yàn)證本文方法的計(jì)算效率和內(nèi)存需求，圖2給出了Rayleigh波入射下，考慮算例離散點(diǎn)數(shù)變化，F(xiàn)MM-IBEM與常規(guī)IBEM兩種方法在計(jì)算量和存儲(chǔ)量方面的差異對(duì)比情況。首先對(duì)土體中波場(chǎng)頻率進(jìn)行無(wú)量綱化處理：ηR=ωb/2πcr，b為樁體邊長(zhǎng)。

(a) CPU運(yùn)行時(shí)間對(duì)比

(b) 內(nèi)存需求對(duì)比

通過(guò)以上對(duì)比可以看出：隨自由度增大，傳統(tǒng)IBEM計(jì)算時(shí)間呈O(N3)增長(zhǎng)，存儲(chǔ)量呈O(N2)增長(zhǎng)，而FM-IBEM的計(jì)算時(shí)間和內(nèi)存隨自由度增大幾乎呈O(N)增長(zhǎng)。當(dāng)計(jì)算自由度規(guī)模達(dá)到25 500時(shí)，傳統(tǒng)方法計(jì)算時(shí)間達(dá)到78 964 s，內(nèi)存達(dá)到30.0 G，而采用FMM-IBEM，計(jì)算時(shí)間只需要18 320 s，內(nèi)存只需要6.0G，由此凸顯出FMM-IBEM在計(jì)算量和存儲(chǔ)量方面的巨大優(yōu)勢(shì)，從而為實(shí)現(xiàn)群樁寬頻隔振問(wèn)題的快速高效求解奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

5 精度驗(yàn)證

針對(duì)半空間群樁對(duì)面波的隔離效應(yīng)，本文應(yīng)用快速多極子間接邊界元法求解群樁前后無(wú)量綱位移幅值同文獻(xiàn)[18]結(jié)果比較，方樁邊長(zhǎng)b*=0.2，橫波波速比rc=0.2，樁泊松比vb=0.2，土泊松比vs=0.2，長(zhǎng)度系數(shù)l*=1.0。如圖3所示，可以看出，本文計(jì)算方法所得結(jié)果與直接邊界元方法求解結(jié)果吻合較好，從一方面證明了方法與程序的正確性與精度。

6 數(shù)值算例

為便于分析，本文均以混凝土方樁為例，樁體材料各參數(shù)如下：方樁邊長(zhǎng)b，樁間凈距為s，體系長(zhǎng)度l和樁的深度H，排樁與排樁間距d，樁數(shù)NS，以瑞利波波長(zhǎng)λR對(duì)各參數(shù)進(jìn)行歸一化：x*=x/λR，y*=y/λR，b*=b/λR，s*=s/λR，h*=h/λR，d*=d/λR。具體計(jì)算參數(shù)見(jiàn)表1。考慮土體剛度變化，參考高廣運(yùn)等和劉中憲等文章參數(shù)，半空間域剪切波速分別取220 m/s，285 m/s，400 m/s，1 000 m/s(經(jīng)計(jì)算采用軟土情況相關(guān)結(jié)論同樣成立)。當(dāng)考慮其他因素變化時(shí)，土體波速不變，取值為400 m/s，即表1中“域(3)”的半空間模型。

(a) 本文結(jié)果

(b) 文獻(xiàn)結(jié)果

表1 計(jì)算參數(shù)

如圖1所示，設(shè)Rayleigh波水平入射，下文采用Wood等[20]提出的振幅衰減系數(shù)ARF來(lái)衡量屏障的隔振效果，ARF定義為設(shè)置屏障后屏蔽區(qū)內(nèi)的豎向振幅與無(wú)屏障時(shí)的豎向振幅之比。非連續(xù)屏障起到的是一個(gè)整體的隔振作用，為了闡明這種由多根樁所形成的整體作用，本文首先分析了影響單排樁隔振效果的參數(shù)，如樁間距s*，樁長(zhǎng)h*，場(chǎng)地波速比γc。然后本文討論了排樁排數(shù)與多排樁之間的排樁凈距對(duì)Rayleigh波隔振效果的影響。

6.1 單排樁屏障對(duì)Rayleigh波的隔振效應(yīng)

6.1.1 樁間距s*對(duì)隔振效果的影響

取單排實(shí)心混凝土方樁作為非連續(xù)屏障，樁土波速比取5.0，樁數(shù)NS=8，b*=0.1，h*=1.0，振動(dòng)產(chǎn)生的頻率分別選用40 Hz和80 Hz。計(jì)算得到了不同樁間距下，不同頻率的Rayleigh波入射時(shí)實(shí)心方樁樁后ARF等值線圖。為了更為直觀地觀察隔振效果隨樁距變化的規(guī)律，通過(guò)觀察樁距變化時(shí)，ARF值超過(guò)某一百分比的區(qū)域占總圖示范圍的面積變化，這一比例越大，隔振效果越好。

(a) s*=0.05

(b) s*=0.10

(c) s*=0.30

(a) s*=0.05

(b) s*=0.10

(c) s*=0.30

由圖4和圖5可知，單排樁通過(guò)不同樁間距的組合確實(shí)能形成屏障，并且與文獻(xiàn)[21]中連續(xù)屏障一樣，屏障前有放大，屏障后ARF減小。從圖4(a)～圖4(c)可知，當(dāng)f=40 Hz，樁后ARF≤0.63的區(qū)域面積約占圖示范圍比例約為25%、30%、10%，由圖5(a)～圖5(c)可知，當(dāng)f=80 Hz，樁后ARF≤0.68的區(qū)域面積約占圖示范圍比例約為20%、35%、35%，隨著樁間距的增大，隔振效果反而不是特別明顯，且樁前放大效應(yīng)減弱，過(guò)小的樁間距導(dǎo)致非連續(xù)屏障范圍減小，而過(guò)大的樁間距會(huì)直接影響屏障的隔振效果，因此在實(shí)際工程中不宜采用過(guò)大的樁間距，建議s*取值為0.1～0.2。

從圖4(b)和圖5(b)可知，當(dāng)s*=0.10，頻率f=40 Hz時(shí)，樁后ARF=0.63的區(qū)域面積約占圖示范圍比例約為30%，當(dāng)s*=0.10，頻率f=80 Hz時(shí)，樁后ARF=0.68的區(qū)域面積約占圖示范圍比例約為35%。相同樁間距下，隨著頻率的增加，隔振效果也在增加。非連續(xù)屏障對(duì)于高頻比低頻隔振效果更好。

6.1.2 樁長(zhǎng)h*對(duì)隔振效果的影響

如圖6～圖7所示，取單排實(shí)心混凝土方樁為非連續(xù)屏障，樁土波速比取5.0，NS=8，b*=0.1，s*=0.1，rc=5，樁長(zhǎng)h*分別為0.5、1.0(圖4(b)、5(b)已給出)、1.5、2.0，計(jì)算得到了不同樁長(zhǎng)下的ARF值。

(a) h*=0.5

(b) h*=1.5

(c) h*=2.0

圖6 不同樁長(zhǎng)下的ARF等值線圖(f=40 Hz)

Fig.6 Contours of amplitude attenuation coefficientARFfor row of piles with different pile of length

(a) h*=0.5

(b) h*=1.5

(c) h*=2.0

從圖6～圖7可知，隨著樁長(zhǎng)的逐漸增加，屏障的隔離效果也在增加。當(dāng)f=40 Hz時(shí)，ARF≤0.68的面積約占圖示范圍比例約為0%、37%、65%、65%；當(dāng)f=80 Hz，ARF≤0.68的面積約占圖示范圍比例約為0%、50%、70%、70%，無(wú)論是低頻還是高頻，當(dāng)h*=0.5時(shí)，非連續(xù)屏障雖然也有一定的隔振效果，但是效果略差；當(dāng)h*>1(即樁長(zhǎng)大于一倍的Rayleigh波長(zhǎng))隔振效果雖有所上升，但樁長(zhǎng)的增加對(duì)隔振的影響不大，這主要是由Rayleigh的特性決定的。

當(dāng)h*=1.0，頻率f=40 Hz時(shí)，樁后ARF≤0.68的區(qū)域面積約占圖示范圍比例約為37%，當(dāng)h*=1.0，頻率f=80 Hz時(shí)，樁后ARF≤0.68的區(qū)域面積約占圖示范圍比例約為50%。相同樁長(zhǎng)下，隨著頻率的增加，隔振效果也在增加。

6.1.3 場(chǎng)地波速對(duì)隔振效果的影響

取單排實(shí)心混凝土方樁作為非連續(xù)屏障，樁數(shù)NS=8，b*=0.1，h*=1.0，s*=0.1。按表1中四種波速變化，樁土波速比值約為rc=2、5(圖4(b)、5(b)已給出)、7、9。計(jì)算得到了不同場(chǎng)地波速條件下，不同頻率Rayleigh波入射時(shí)實(shí)心方樁非連續(xù)屏障后土體位移ARF值(見(jiàn)圖8～圖9)。

(a) rc=2

(b) rc=7

(c) rc=9

(a) rc=2

(b) rc=7

(c) rc=9

從圖8～圖9可知，隨著樁-土波速比的增大(即場(chǎng)地土越軟)，實(shí)心方樁屏障對(duì)Rayleigh波的隔振效果越好。當(dāng)f=40 Hz時(shí)，四種波速比值情況ARF≤0.68的面積約占圖示范圍比例約為0、25%、40%、45%；而當(dāng)f=80 Hz時(shí)，ARF≤0.68的面積約占圖示范圍比例分別約為0、40%、55%、60%。因此無(wú)論是對(duì)于低頻還是高頻來(lái)說(shuō)，當(dāng)Rayleigh波入射時(shí)，隨著樁-土波速比的增大，隔振效果也在提升，但當(dāng)波速比超過(guò)7.0之后，增大樁基剛度對(duì)隔振效果提高不大。

6.2 多排樁屏障對(duì)Rayleigh波的隔振效應(yīng)

取混凝土實(shí)心樁b*=0.1，h*=1.0，s*=0.1，d*=0.1，單排樁NS=8，雙排樁NS=17，三排樁NS=25，按照梅花形均勻布置，如圖11、圖12所示。其中雙排樁對(duì)應(yīng)圖10中三排樁僅保留前兩排時(shí)的情況。

6.2.1 排樁排數(shù)對(duì)隔振效果的影響

和連續(xù)屏障相比，非連續(xù)屏障的隔振效果主要取決于排樁的排數(shù)，從圖11、圖12可知：當(dāng)頻率為40 Hz時(shí)，ARF≤0.65的面積約占圖示范圍比例約為15%、20%、60%；當(dāng)頻率為80 Hz時(shí)，ARF≤0.68的面積約占圖示范圍比例約為40%、50%、60%，且對(duì)于高頻入射時(shí)，多排樁隔振效果明顯增加，隔振效果從30%逐漸增加到60%。因此對(duì)于Rayleigh波來(lái)說(shuō)，隨著樁排數(shù)的增加，非連續(xù)屏障的隔振效果也在提升且效果明顯。

(a) 剖面圖

(b) 平面圖

(a) 單排樁

(b) 兩排樁

(c) 三排樁

(a) 單排樁

(b) 兩排樁

(c) 三排樁

6.2.2 多排樁排距d*對(duì)隔振效果的影響

取混凝土實(shí)心樁b*=0.1，s*=0.1，h*=1.0，NS=25，d*=0.10，0.15，0.25，0.30。按照梅花形均勻布置，通過(guò)計(jì)算得到了不同排樁間距、不同頻率下多排樁ARF值，如圖13、圖14所示。

(a) d*=0.10

(b) d*=0.15

(c) d*=0.30

(a) d*=0.10

(b) d*=0.15

(c) d*=0.30

從圖13～圖14可知,在正常工程參數(shù)范圍內(nèi)，排樁間距變化對(duì)非連續(xù)屏障的隔振影響較小，圖13和圖14(a)～圖14(c)中當(dāng)頻率為40 Hz時(shí)，隨著排樁間距d*的變化，ARF≤0.65占總圖示范圍比例約為60%、60%、60%；當(dāng)頻率為80 Hz時(shí)，隨著排樁間距d*的變化，ARF≤0.65占總圖示范圍比例約為50%、48%、40%，屏障面積減小，但對(duì)多排樁隔振來(lái)說(shuō)多排樁間距d*對(duì)于隔振效果影響較小，與文獻(xiàn)[22]中結(jié)論(4)一致。

對(duì)于不同頻率下，當(dāng)f=40 Hz時(shí)，ARF為0.65占總圖示范圍比例大約為60%、60%、60%；當(dāng)f=80 Hz時(shí)，ARF為0.65占總圖示范圍比例約為65%、65%、65%，對(duì)于高頻時(shí)，當(dāng)ARF為0.4時(shí)面積由占總圖示范圍的50%減小到45%，但ARF為0.65的面積已超過(guò)65%，因此多排樁隔振中最佳隔振位置應(yīng)取1～ 2個(gè)波長(zhǎng)之間。

7 結(jié) 論

采用快速多極間接邊界元法求解了三維群樁屏障寬頻隔振問(wèn)題。在計(jì)算效率驗(yàn)證基礎(chǔ)上，討論了 Rayleigh波入射下重要參數(shù)對(duì)群樁隔振效果的影響。寬頻模擬結(jié)果表明：

(1) FMM-IBEM方法突破了傳統(tǒng)邊界元法在求解群樁寬頻隔振問(wèn)題時(shí)的計(jì)算瓶頸，大幅度降低了CPU運(yùn)算時(shí)間和存儲(chǔ)量，尤其對(duì)大規(guī)模多排群樁隔振計(jì)算性能提升更為顯著。

(2) 對(duì)于單排樁，樁間距是主要影響因素，過(guò)大的樁間距會(huì)使Rayleigh波的能量透射過(guò)去；當(dāng)樁長(zhǎng)超過(guò)一倍的Rayleigh波波長(zhǎng)時(shí)，樁長(zhǎng)對(duì)于隔離效果基本沒(méi)有影響，因此當(dāng)用單排樁隔振時(shí)，采用適當(dāng)樁間距能達(dá)到和連續(xù)屏障相同的效果。另外，對(duì)本算例，當(dāng)樁-土波速比超過(guò)7.0時(shí)，提升樁的剛度對(duì)隔振效果提升不大。

(3) 對(duì)于多排樁，排樁間距對(duì)隔離效果影響較小，但為了不顯著影響隔振效果，不應(yīng)取過(guò)大的排樁間距。

(4) 當(dāng)?shù)皖l波入射時(shí)采用多排樁設(shè)計(jì)比單排樁隔振效果好。另外，Rayleigh波入射下場(chǎng)地土越軟隔離效果就越好。

最后需要指出的是，本文研究的彈性三維半空間下群樁對(duì)Rayleigh波的隔振效果，還可以推廣到飽和半空間和層狀地基中，為實(shí)際工程中的建設(shè)施工提供理論依據(jù)。