單元教學(xué)設(shè)計(jì)視角下“三角形的面積”的思考與實(shí)踐

◎ 張 琦 馮軼騁

單元教學(xué)設(shè)計(jì)，就是要在整體思維指導(dǎo)下，以整體性的視野來整合資源、設(shè)計(jì)教學(xué)，突出數(shù)學(xué)內(nèi)容的主線以及知識(shí)之間的相互關(guān)聯(lián)。其目標(biāo)指向發(fā)展數(shù)學(xué)思維，提升核心素養(yǎng)。

“三角形的面積”在滬教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中是五年級(jí)第一學(xué)期的教學(xué)內(nèi)容，屬于“圖形與幾何”板塊（見圖1），而在上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校數(shù)學(xué)課程中放在了三年級(jí)第二學(xué)期（見圖2）。課程設(shè)置的單元結(jié)構(gòu)大致相同，只是滬教版教材的平行四邊形、梯形的圖形認(rèn)識(shí)及其相關(guān)知識(shí)是放在同一單元內(nèi)集中研究的，而我校課程分散到了三年級(jí)第一學(xué)期和第二學(xué)期。三年級(jí)第一學(xué)期除了圖形的認(rèn)識(shí)，還增設(shè)了三角形與四邊形的轉(zhuǎn)化及四邊形與特殊四邊形的轉(zhuǎn)化；三年級(jí)第二學(xué)期在學(xué)習(xí)圖形面積之前還有一個(gè)單元集中學(xué)習(xí)作圖，其中包括運(yùn)用尺規(guī)作角的加減，作平行四邊形、三角形等，以及運(yùn)用三角尺作平行四邊形和三角形的高線。

圖1滬教版五年級(jí)數(shù)學(xué)教材對(duì)應(yīng)內(nèi)容

圖2上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校三年級(jí)數(shù)學(xué)課程對(duì)應(yīng)內(nèi)容

一、課前思考

（一）教材的編排體系分析

從這個(gè)單元的編排體系來看，共有三種圖形面積計(jì)算公式的探究，以及組合圖形面積計(jì)算，其核心思想是“轉(zhuǎn)化”，將新圖形轉(zhuǎn)化為已知面積計(jì)算公式的圖形。在這里，三角形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)具有承上啟下的作用，承上是受平行四邊形面積研究的啟發(fā)，盡管“沿高剪開”的方式不能完全照搬，但轉(zhuǎn)化的思想還是可以借鑒的，并且這些轉(zhuǎn)化的方法又可以運(yùn)用于梯形面積公式的推導(dǎo)以及組合圖形的面積計(jì)算當(dāng)中。

平行四邊形面積公式推導(dǎo)時(shí)一般只用一種思路——轉(zhuǎn)化成長方形，隨著已知面積計(jì)算公式的圖形不斷增加，轉(zhuǎn)化方法也越來越多，因此面積公式推導(dǎo)的環(huán)節(jié)是培養(yǎng)學(xué)生圖形思維很好的素材，其中方法的多樣化也是本節(jié)課要鼓勵(lì)嘗試的。

（二）學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)分析

1.從知識(shí)結(jié)構(gòu)來看

在學(xué)習(xí)三角形面積之前，學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)了平行四邊形及其特征，不僅對(duì)邊平行，而且對(duì)邊相等，并嘗試用兩組長度相等的小棒來圍平行四邊形，這其實(shí)都是為兩個(gè)大小、形狀完全相同的三角形拼出的圖形為什么是一個(gè)平行四邊形的說理提供了依據(jù)。

學(xué)生清晰地知道三角形有三組對(duì)應(yīng)的底和高，這為三角形面積計(jì)算時(shí)尋找對(duì)應(yīng)的底和高奠定了基礎(chǔ)。學(xué)生已通過平行四邊形面積公式的推導(dǎo)過程，初步了解轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，并且通過分別沿兩條底邊上的高剪開進(jìn)行割補(bǔ)滲透對(duì)應(yīng)意識(shí)，如圖3所示。

圖3平行四邊形面積公式推導(dǎo)

在滬教版教材中，學(xué)生具有將平行四邊形沿對(duì)角線剪開得到兩個(gè)大小形狀完全相同的三角形的經(jīng)驗(yàn)。在我校課程中，安排了三角形和四邊形的轉(zhuǎn)化，學(xué)生理解兩個(gè)大小、形狀完全相同的三角形可以拼成一個(gè)平行四邊形，并進(jìn)行了分類討論，這也是本節(jié)課的探究起點(diǎn)。

2.從學(xué)生學(xué)習(xí)的實(shí)際情況來看

憑借以往的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，我們相信我校三年級(jí)的大部分學(xué)生對(duì)于三角形面積計(jì)算公式應(yīng)該不會(huì)陌生，通過自主預(yù)習(xí)、家長輔導(dǎo)，或是課外學(xué)習(xí)等途徑，多少會(huì)有一些了解，但是否真正掌握其推導(dǎo)過程、掌握到什么程度，還不能確定，因此我們?cè)趯W(xué)習(xí)了平行四邊形面積公式（第一課時(shí)）之后對(duì)學(xué)生進(jìn)行了前測(cè)。數(shù)據(jù)顯示有90.3%的學(xué)生已經(jīng)掌握了三角形面積的計(jì)算方法，其中有80.6%的學(xué)生能用畫圖的方式表達(dá)其推導(dǎo)過程。學(xué)生推導(dǎo)方法基本集中為兩種：有36%的學(xué)生用兩個(gè)完全相同的三角形拼成一個(gè)平行四邊形；剩下64%的學(xué)生將一個(gè)三角形沿高剪開和另一個(gè)完全相同的三角形拼成一個(gè)長方形。沒有學(xué)生用到將一個(gè)三角形剪拼成長方形或平行四邊形的方法。

深入分析，第一種方法源于學(xué)生已有三角形與平行四邊形轉(zhuǎn)化的經(jīng)驗(yàn)；第二種方法源于平行四邊形面積探究時(shí)沿高剪開轉(zhuǎn)化成長方形的思路。對(duì)于第三種方法，由于缺乏經(jīng)驗(yàn)支持，所以沒有學(xué)生涉及，這也提醒我們?nèi)绻Ｍ麑W(xué)生在自主探究中能在這一方面有所突破，還需要提供適當(dāng)?shù)匿亯|或啟發(fā)。數(shù)據(jù)的支持為我們的教學(xué)設(shè)計(jì)提供了依據(jù)。

二、教學(xué)設(shè)想

基于對(duì)教材的單元編排體系的分析和對(duì)學(xué)生認(rèn)知起點(diǎn)的分析，我們厘清教學(xué)思路，確定教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)重難點(diǎn)，并選擇合適的教學(xué)方法和教學(xué)策略。

（一）厘清教學(xué)思路

1.“兩個(gè)三角形拼”和“一個(gè)三角形剪拼”兼顧

在備課之前，筆者參考了不少文獻(xiàn)及各版本教材，除了浙教版教材是把“出入相補(bǔ)”原理作為探究內(nèi)容之外，大部分教材和案例都是將其作為一種知識(shí)拓展、知識(shí)欣賞加以了解的，但這一方法的運(yùn)用其實(shí)是為梯形轉(zhuǎn)化、組合圖形轉(zhuǎn)化開啟了大門，方法會(huì)更加多樣，思路會(huì)更加開拓?；诖?，我們確定將一個(gè)三角形的剪拼也納入教學(xué)要求當(dāng)中，希望學(xué)生在適當(dāng)材料的引導(dǎo)下，在小組合作分享的交流中受到啟發(fā)，對(duì)這一方法進(jìn)行摹仿和創(chuàng)新。

2.以三角形任何一邊都可以作底的研究取代三角形分類討論

根據(jù)我校課程的編排體系，學(xué)生在三年級(jí)第一學(xué)期已經(jīng)通過操作，對(duì)三類三角形拼平行四邊形進(jìn)行了分類討論，通過“完全歸納”得到“任意兩個(gè)大小、形狀完全相同的三角形都可以拼成一個(gè)平行四邊形”的結(jié)論，所以在這里筆者認(rèn)為把兩個(gè)完全相同的銳角三角形拼成平行四邊形的做法具有一般性，與其他兩類三角形拼成平行四邊形的過程一樣，結(jié)果也一樣，所以在喚醒學(xué)生認(rèn)知之后沒有必要再進(jìn)行分類討論。

真正值得關(guān)注的問題應(yīng)該是兩個(gè)三角形拼成平行四邊形會(huì)有三種拼法，即三角形的任意一條邊，都能作為所拼成的平行四邊形的底，所以在計(jì)算三角形的面積時(shí)，任意一條邊都能作為底，并且都能找到它對(duì)應(yīng)的高，雖然所選的底和高在變，但面積始終不變，在此也凸顯了變與不變的思想?；谶@一點(diǎn)，在給學(xué)生提供的三角形紙片上就應(yīng)該用不同顏色來標(biāo)注三角形的三條邊，便于學(xué)生觀察感知，滲透對(duì)應(yīng)思想。

（二）確定教學(xué)目標(biāo)及重難點(diǎn)

1.教學(xué)目標(biāo)

（1）通過利用方格、剪拼等方法，經(jīng)歷三角形的面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過程。

（2）能運(yùn)用三角形面積公式直接進(jìn)行面積計(jì)算；在不同的具體圖形中理解三角形的底及對(duì)應(yīng)的高的變與不變，并能靈活運(yùn)用公式。

（3）在探究和交流中，嘗試觀察、操作、猜想、發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證、歸納等多種數(shù)學(xué)活動(dòng)，體驗(yàn)并感悟“轉(zhuǎn)化”的思想方法，感受不同方法的各自特點(diǎn)。

（4）在獨(dú)立探究與合作分享中，獲得成功體驗(yàn)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，了解數(shù)學(xué)文化，感受民族精神。

2.教學(xué)重難點(diǎn)

（1）教學(xué)重點(diǎn)：探索三角形的面積計(jì)算方法，能計(jì)算三角形的面積。

（2）教學(xué)難點(diǎn)：通過探究三角形的面積公式，感受“轉(zhuǎn)化”思想。

（三）選擇教學(xué)策略與方法

“轉(zhuǎn)化”是本節(jié)課的重要思想方法，在學(xué)習(xí)活動(dòng)中，學(xué)生會(huì)經(jīng)歷“猜想—探究—發(fā)現(xiàn)—驗(yàn)證—結(jié)論”等一系列思維活動(dòng)的過程。

1.自主探究，培養(yǎng)創(chuàng)新能力

在這堂課上，我們采用的是放手讓學(xué)生自主探究的方法。這樣的嘗試，相信對(duì)于獨(dú)立探究成功的學(xué)生來說，創(chuàng)新體驗(yàn)較為強(qiáng)烈，當(dāng)然也存在課不太好把控、隨機(jī)性較大的問題。為了讓學(xué)生在已有認(rèn)知基礎(chǔ)上有所突破，我們?cè)谔骄坎牧系臏?zhǔn)備方面，略作了一些設(shè)計(jì)。

（1）給學(xué)生提供的材料不僅有三角形紙片、剪刀，還有水彩筆，希望有部分孩子的操作不僅是剪、拼，還能以畫草圖的方式呈現(xiàn)，從而發(fā)展空間想象能力。

（2）為了使學(xué)生能夠自己想到一個(gè)三角形剪拼的方法，我們?cè)诮o學(xué)生的三角形紙片上印了淡淡的方格，希望數(shù)方格的方法會(huì)遷移到剪拼當(dāng)中，打開思維。

2. 梳理歸納，構(gòu)建認(rèn)知結(jié)構(gòu)

這堂課學(xué)生呈現(xiàn)出來的方法很多，對(duì)應(yīng)的公式也很多，需要對(duì)其進(jìn)行梳理歸納，才能更好地幫助學(xué)生建立認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而也讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中逐步形成主動(dòng)建構(gòu)的意識(shí)，并為后面探究時(shí)的有序架構(gòu)打下基礎(chǔ)。

三、教學(xué)實(shí)踐

（一）情境導(dǎo)入，再現(xiàn)轉(zhuǎn)化

（1）復(fù)習(xí)引入。

復(fù)習(xí)：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪些平面圖形的面積計(jì)算公式？

歸結(jié)：長方形、正方形都是特殊的平行四邊形，因此可以統(tǒng)一用哪一個(gè)公式來表示？S=ah。

（2）推導(dǎo)再現(xiàn)。

提問：還記得平行四邊形的面積計(jì)算公式是怎樣推導(dǎo)的嗎？（演示兩種剪拼過程）

（3）喚醒轉(zhuǎn)化思想。

提問：這個(gè)過程中用到了什么數(shù)學(xué)思想？（轉(zhuǎn)化）

（二）初步探究，發(fā)現(xiàn)公式

（1）揭題：三角形的面積。

（2）引發(fā)猜想。

設(shè)疑：三角形的面積和什么有關(guān)？三角形能轉(zhuǎn)化成什么圖形？

（3）自主探究，合作交流。

（可以借助學(xué)具進(jìn)行剪、拼操作，也可以畫草圖探究）

（4）反饋交流，感悟方法，演繹推理，互相驗(yàn)證。

①用兩個(gè)三角形拼成平行四邊形。

交流過程中引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：

A.所拼成的平行四邊形的大小和原三角形的關(guān)系。

B.所拼成的平行四邊形與原三角形的底、高對(duì)應(yīng)關(guān)系。C.三角形的任意一條邊都可以作為底邊。

提問：你找到計(jì)算這個(gè)三角形面積的方法了嗎？

追問：是不是只有銳角三角形才可以？（說明方法的一般性）

質(zhì)疑： 剛才我們借助平行四邊形面積公式推導(dǎo)出了三角形的面積計(jì)算公式，那你們?cè)趺粗榔闯鰜淼木鸵欢ㄊ瞧叫兴倪呅文兀?/p>

強(qiáng)調(diào)：任意兩個(gè)大小、形狀完全相同的三角形可以拼成一個(gè)平行四邊形。

②用兩個(gè)三角形剪拼成長方形（見圖4）。

圖4拼成長方形

（三）品讀史料，感悟文化

用動(dòng)畫演示劉徽“出入相補(bǔ)”的過程，如圖5所示。

圖5出入相補(bǔ)

再次探究：嘗試作草圖，匯報(bào)交流，展示轉(zhuǎn)化方式，嘗試說理、推導(dǎo)面積計(jì)算公式。

【說明】“出入相補(bǔ)”原理基于學(xué)生操作的實(shí)際情況決定，若學(xué)生在探究過程中已經(jīng)發(fā)現(xiàn)這種方法，則學(xué)生自己介紹，教師輔助說明；若學(xué)生未能發(fā)現(xiàn)，則教師介紹，學(xué)生再進(jìn)一步探究。

（四）殊途同歸，總結(jié)歸納

呈現(xiàn)學(xué)生探究的所有結(jié)果，如圖6所示。

圖6學(xué)生的探究結(jié)果

【小結(jié)】通過不同方法推導(dǎo)三角形的面積計(jì)算公式，都運(yùn)用了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，得到的公式都可以用S=ah÷2來表示。

（五）練中探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

【練習(xí)1】計(jì)算下列三角形的面積，如圖7所示。

圖7練習(xí)1

動(dòng)畫演示，體會(huì)同底等高的三角形面積相等；等底同高的三角形面積相等。

【練習(xí)2】如圖8所示，兩個(gè)平行四邊形的面積都是50平方厘米，兩個(gè)涂色三角形的面積相等嗎？為什么？

（六）拓展提升

【拓展練習(xí)】請(qǐng)你用今天學(xué)過的知識(shí)，在方格紙上構(gòu)造一個(gè)面積為12平方厘米的三角形，看誰畫得多。

圖8練習(xí)2

四、反思與啟示

本單元教學(xué)的重點(diǎn)，不僅在于公式的發(fā)現(xiàn)、掌握和運(yùn)用，更重要的是數(shù)學(xué)思想方法的滲透和數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)，以及圖形之間的相互轉(zhuǎn)化和內(nèi)在聯(lián)系。在教學(xué)中有四個(gè)問題是值得特別關(guān)注的。

(一)重視認(rèn)知起點(diǎn)，巧用有效策略

學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，是教學(xué)設(shè)計(jì)的依據(jù)，不僅決定了教學(xué)內(nèi)容的取舍，更為教學(xué)策略的選擇提供幫助。在本節(jié)課中，根據(jù)教材分析，關(guān)注到學(xué)生已經(jīng)具備了將兩個(gè)大小形狀完全相同的三角形拼成一個(gè)平行四邊形的經(jīng)驗(yàn)，所以將分類討論一筆帶過，而將重點(diǎn)放在了兩個(gè)三角形拼成平行四邊形的三種拼法上，強(qiáng)調(diào)對(duì)應(yīng)思想；通過學(xué)情分析，發(fā)現(xiàn)學(xué)生缺乏將一個(gè)三角形剪拼成平行四邊形或長方形的經(jīng)驗(yàn)支持，所以在學(xué)具提供時(shí)考慮給學(xué)生一些“暗示”，在三角形紙片及練習(xí)紙上均印了方格，希望受到“數(shù)方格”的遷移，能夠幫助學(xué)生打開“思維”。實(shí)踐證明，可視化材料的提供確實(shí)提高了學(xué)生的可操作性，在第一次自主探究中就有學(xué)生實(shí)現(xiàn)了將一個(gè)三角形剪拼成長方形的轉(zhuǎn)化，并推導(dǎo)出三角形面積計(jì)算公式。

(二)抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)，培養(yǎng)創(chuàng)新能力

在探究學(xué)習(xí)中要鼓勵(lì)方法多樣化，無論用哪種方法進(jìn)行探究，都是在積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。鼓勵(lì)學(xué)生用自己喜歡的方法進(jìn)行研究，可以滿足學(xué)生個(gè)性化學(xué)習(xí)的需求，最后殊途同歸，感悟不同方法的各自特點(diǎn)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新思維。

在操作中要重視關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，比如只有兩個(gè)大小、形狀完全相同的三角形才能拼成平行四邊形；一個(gè)三角形的轉(zhuǎn)化，只有找準(zhǔn)了“沿兩腰中點(diǎn)剪開”這一基本策略，轉(zhuǎn)化才能實(shí)現(xiàn)。在首次探究中，有學(xué)生就發(fā)現(xiàn)了這一秘密，又通過師生互動(dòng)揭示本質(zhì)，到再次探究時(shí)，明顯產(chǎn)生了更多的創(chuàng)新思路，甚至是教師沒有預(yù)設(shè)到的，相信靈活的轉(zhuǎn)化思想也必定會(huì)遷移到后面的梯形轉(zhuǎn)化當(dāng)中。

(三)啟發(fā)思辨說理，引發(fā)高階思維

小學(xué)階段，學(xué)生的思維以形象思維為主，逐步向抽象思維過渡。而我校則強(qiáng)調(diào)形象思維與抽象思維同步發(fā)展、運(yùn)用合情推理來發(fā)現(xiàn)規(guī)律，又通過演繹推理來驗(yàn)證規(guī)律。因此，在教學(xué)中，對(duì)于兩個(gè)大小、形狀完全相同的三角形為什么可以拼成一個(gè)平行四邊形、一個(gè)三角形剪拼成的圖形為什么是長方形等一系列問題進(jìn)行了追問、質(zhì)疑，由于平時(shí)的思考習(xí)慣，學(xué)生在課堂上運(yùn)用已有知識(shí)輕松化解，在交流互動(dòng)中思維碰撞，在合作探究中互助分享。對(duì)于小學(xué)生來說，直觀感知固然重要，但也離不開理性思考，經(jīng)常說理，能讓學(xué)生的表達(dá)能力、思辨能力不斷提升，從而改善思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、邏輯性，引發(fā)高階思維。

（四）建構(gòu)知識(shí)體系，形成思維習(xí)慣

在我校數(shù)學(xué)課程的實(shí)施過程中，比較關(guān)注發(fā)展學(xué)生自主建構(gòu)知識(shí)體系的意識(shí)和能力，因此最后小結(jié)時(shí)，通過圖6對(duì)三角形面積的探究方法進(jìn)行了梳理和歸納：第一行全部都是轉(zhuǎn)化成平行四邊形，第二行是轉(zhuǎn)化成長方形；第一列全都是ah÷2，三角形面積是平行四邊形或長方形面積的一半；第二列，底一半，高相等；第三列，高一半，底相等，最后殊途同歸，都可以歸到ah÷2這個(gè)公式。雖然不急于要讓學(xué)生完全明白其中的奧秘，但相信經(jīng)常幫助學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行梳理，必定會(huì)對(duì)其學(xué)習(xí)方法、思維習(xí)慣產(chǎn)生影響。在梯形學(xué)習(xí)中，又增加了轉(zhuǎn)化為三角形的思路，因此會(huì)產(chǎn)生三行三列。有序架構(gòu)，多而不亂，也是給學(xué)生提供暗示，提醒他們?nèi)ニ伎几嗟霓D(zhuǎn)化方式，打開創(chuàng)新思維的大門。

一堂課的設(shè)計(jì)，不能只關(guān)注這堂課，而是要整體布局，瞻前顧后，上串下聯(lián)，找準(zhǔn)基點(diǎn)，立體架構(gòu)，站在單元甚至更遠(yuǎn)的立場去思考，既要有意識(shí)地去適當(dāng)挖掘更深一層次的數(shù)學(xué)本質(zhì)或內(nèi)涵，也要為接下來的學(xué)習(xí)作好鋪墊，尤其是一些思維習(xí)慣、思維能力的培養(yǎng)，不僅能優(yōu)化學(xué)生思維發(fā)展路徑，更能遷移到學(xué)生生活、學(xué)習(xí)的其他領(lǐng)域，這也正是數(shù)學(xué)的育人價(jià)值之所在。