基于具體函數(shù)條件下的函數(shù)不等式問題

符玉袖

【摘要】：高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，很多學(xué)生對函數(shù)不等式部分的知識掌握效果較差，尤其是求解中存在限制條件情況，學(xué)生的掌握質(zhì)量進一步下降?；趯Ξ?dāng)前常用函數(shù)不等式問題解決方法的分析，本文對這些方法進行了總結(jié)，讓學(xué)生通過對這些方法的應(yīng)用，高效解決函數(shù)不等式問題。

【關(guān)鍵詞】：函數(shù)不等式 函數(shù)條件 不等式解法

引言：在當(dāng)前的數(shù)學(xué)考試中，對不等式的考察頻率升高，考察的題型已經(jīng)從傳統(tǒng)的主觀題向客觀題方形擴展，要求學(xué)生根據(jù)不同的題型，選用不同的解題方法。就學(xué)生目前的學(xué)習(xí)效果上來看，很多學(xué)生對這些知識的掌握效果較差，無法滿足知識考察要求，導(dǎo)致該部分知識成為學(xué)生的主要失分點，所以在今后的教學(xué)中，要讓學(xué)生能夠更好掌握這些知識。

1 根據(jù)奇偶性和單調(diào)性判斷解法

高中數(shù)學(xué)中，函數(shù)性質(zhì)學(xué)習(xí)中的一個重要內(nèi)容為判斷函數(shù)的奇偶性，同時也重視講解函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)，當(dāng)當(dāng)前的數(shù)學(xué)考察中，若能夠應(yīng)用函數(shù)奇偶性知識解題，通常會在題目中融合單調(diào)性知識，既考察了學(xué)生的綜合知識，也在一定程度上降低了難度【1】。

奇偶性的描述函數(shù)為：奇函數(shù)為f（-x）=-f（x），偶函數(shù)為f（x）=f（-x），同種奇偶性質(zhì)的函數(shù)加減運算中為同一性質(zhì)。對于函數(shù)的單調(diào)性，在學(xué)生的學(xué)習(xí)中很容易掌握，這一條件下，通過對這兩個知識的融合，可以讓學(xué)生更好解題。

有如下題目：函數(shù)f（x）=x2+|x|中，求函數(shù)值不小于2時的x定義域，函數(shù)值的大小。這道題的解法簡單，通過對函數(shù)值的分析，可以分析出該函數(shù)值狀態(tài)下，x的取值為±1。同時確定該函數(shù)為偶函數(shù)，并在x不小于0狀態(tài)下，函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)，所以函數(shù)圖像的右半部分中，函數(shù)值不小于0狀態(tài)下，定義域為[1，+∞），從偶函數(shù)概念中可以得到，左半部分的定義域為（-∞，-1]。

2 構(gòu)造函數(shù)解法

高中數(shù)學(xué)的知識類型很多，其中最重要的一部分知識為導(dǎo)數(shù)知識，在不等式求解中，一個重要方法為應(yīng)用這種方法求解。

在構(gòu)造函數(shù)中，首先要觀察題目中給出的具體條件，對于有兩個函數(shù)式的題目來說，通常應(yīng)用這種構(gòu)造函數(shù)的方式解答，再根據(jù)其余限定條件，確定是否需要對函數(shù)求導(dǎo)，需要求導(dǎo)的函數(shù)通常表現(xiàn)為，讓學(xué)生確定這兩個函數(shù)之間具體關(guān)系下的定義區(qū)間，具體的做法為，讓學(xué)生將題目中已知的函數(shù)相減，即可視作新構(gòu)造的函數(shù)【2】。

例如有以下題目：函數(shù)f（x）=x/（1+x2），g（x）=2x，求當(dāng)f（x）≥g（x）時，x的取值范圍。

在解題過程中，可以發(fā)現(xiàn)已知條件中的內(nèi)容較少，無法之間代入數(shù)值，所以考慮的方法為構(gòu)造函數(shù)，新的函數(shù)為h（x）=f（x）-g（x）=x/（1+x2）-2x，將新的函數(shù)同分后，編程h（x）=-（x+2x3）/（1+x2），由于在該函數(shù)中，發(fā)現(xiàn)分母始終大于0，所以計算中，無需經(jīng)過求導(dǎo)構(gòu)成，直接從函數(shù)符號和分子，即可確定h（x）與0的關(guān)系，當(dāng)h（x）≥0時，則題目得解。

若將分母替換為（1-x2）時，則不可之間觀察出h（x）和0的關(guān)系，這種情況需要應(yīng)用求導(dǎo)的方法求解。

3 極值法求解

當(dāng)不等式求解中，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)公式能夠很好地求出具體數(shù)值，其中應(yīng)用最為廣泛的為極值法。在這種方法的應(yīng)用中，需要對被求函數(shù)求導(dǎo)，分析該函數(shù)的極值，但是需要注意的是，一些不等式函數(shù)的單調(diào)性不同，而極值為一個相對性的概念，不同取值范圍內(nèi)容的函數(shù)機制都有一定不同，所以需要嚴格在取值范圍內(nèi)，求出函數(shù)的極值，以確定最終的結(jié)果。

例如在以下題目中：f（x）=x2-lnx，判斷在[2，3]中，函數(shù)是否能夠大于7，在解題中，可發(fā)現(xiàn)該函數(shù)非奇非偶，同時無法確定單調(diào)性，所以應(yīng)用求出極值的方法，確定在該范圍中的極值。

將f（x）求導(dǎo)后，則函數(shù)變?yōu)閒（x）=2x-1/x，將函數(shù)處理后，分子為2x2-1，讓分子與0相等，則可以求出函數(shù)在（0，+∞）上的極值（需要注意lnx的定義域），但是這種求出的結(jié)果與題干中的取值范圍不符，所以在后續(xù)的計算中，需要分析在題干取值范圍上的極值，在此基礎(chǔ)上找到函數(shù)的極值，與7比較，得到最終的計算結(jié)果。

4 其余解法

在不等式函數(shù)的求解中，還含有其余重要方法，高中階段常用的方法主要為函數(shù)值代入和反證法。前者應(yīng)用的概念為“寒暑加工廠”概念，即將f（x）視作一個符號，例如函數(shù)f（x2）=（1+x2）/x4中，確定函數(shù)的是否能夠小于2，可以將x2看做一個整體性參數(shù)，將其替換為s，在此基礎(chǔ)上求解。

對于反證法來說，應(yīng)用方法為先建設(shè)題目中給出的條件能夠推導(dǎo)出最終結(jié)論，從結(jié)論出發(fā)，分析函數(shù)中的某一參數(shù)與題干中信息之間的矛盾，進而得到最終的結(jié)論。但是通常情況下，高中階段對這一方法的考察較少。

另外在解題中，還可以對函數(shù)進行重構(gòu)和建設(shè)，這對一些基礎(chǔ)知識要求較高，例如題目為，當(dāng)x2/x3≥sinx/cosx時，應(yīng)用直接相減的方法過于麻煩，可以應(yīng)用交叉相乘法，獲取函數(shù)f（x）=x2cosx-x3sinx，在此基礎(chǔ)上應(yīng)用求導(dǎo)等方法完成具體計算。

結(jié)論：綜上所述，高中階段的具體函數(shù)條件縣的函數(shù)不等式就發(fā)，可以取得良好應(yīng)用效果的包括應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)分析結(jié)果、構(gòu)造函數(shù)方法、應(yīng)用極值求解的方法和其余解題方法，其余方法包括代入法、反證法以及函數(shù)重構(gòu)和建設(shè)法。

【參考文獻】：

【1】武增明.具體函數(shù)條件下的函數(shù)不等式問題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2018（01）：2+1.

【2】武增明.具體函數(shù)背景下的抽象函數(shù)不等式問題的探究策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2013（17）：42-43.