選主元對(duì)稱(chēng)矩陣原位替換解算方法

摘? ?要：系數(shù)矩陣為對(duì)稱(chēng)矩陣的矩陣方程的相關(guān)解算有多種方法，其中對(duì)稱(chēng)矩陣原位替換解算方法是較好的一種，而此法矩陣元素約化計(jì)算中要求矩陣主元約化值不能為零，當(dāng)沒(méi)有確認(rèn)對(duì)稱(chēng)矩陣是否非奇異時(shí)，主元約化值等于零有可能由矩陣秩虧引起，也有可能由矩陣元素排列結(jié)構(gòu)引起，怎樣判定矩陣主元約化值為零的原因，排除矩陣奇異的情況下，怎樣利用選主元對(duì)稱(chēng)矩陣原位替換解算方法繼續(xù)完成相應(yīng)計(jì)算，即是本文研究的重點(diǎn)。此解算方法可使對(duì)稱(chēng)矩陣原位替換解算得以更廣泛地應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：對(duì)稱(chēng)矩陣? 秩虧判斷? 選主元? 原位替換? 快速解算

中圖分類(lèi)號(hào)：P207;O151.21? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號(hào)：1674-098X（2019）05（b）-0019-05

各專(zhuān)業(yè)領(lǐng)域的工程建設(shè)中存在大量的矩陣方程解算問(wèn)題。由于解決的問(wèn)題不同，組成的相應(yīng)矩陣方程的系數(shù)矩陣排列形式多種多樣，包括一般方陣、對(duì)稱(chēng)矩陣、三對(duì)角矩陣、對(duì)角矩陣、稀疏矩陣等等。為了提高解算效率，針對(duì)具有不同排列形式系數(shù)矩陣的矩陣方程的解算問(wèn)題，人們進(jìn)行了大量的研究，給出了很多解算方法，但無(wú)論是哪種解算方法，解算的基本要求都是方程系數(shù)矩陣為滿秩矩陣。本文討論系數(shù)矩陣為對(duì)稱(chēng)矩陣且其是否滿秩未知的矩陣方程的解算問(wèn)題。系數(shù)矩陣是否滿秩，說(shuō)明了矩陣方程參數(shù)之間是否相關(guān)，可以用矩陣方程系數(shù)矩陣的行列式值是否為零等方法進(jìn)行判斷[1]，如果不相關(guān)，可根據(jù)矩陣方程的具體形式，采用相應(yīng)解算方法對(duì)其進(jìn)行相關(guān)解算[1-6]。文獻(xiàn)[2]和文獻(xiàn)[3]中介紹的原位替換解算方法可提高解算效率，然而，其解算條件是矩陣主元約化值不等于零，若某個(gè)主元約化值等于零，矩陣（方程）無(wú)法解算。一般可逆對(duì)稱(chēng)矩陣約化計(jì)算過(guò)程中，有可能出現(xiàn)某個(gè)主元約化值為零的狀況，怎樣判別約化過(guò)程中相應(yīng)矩陣主元約化值等于零是因矩陣秩虧引起，還是因矩陣元素排列結(jié)構(gòu)引起，總結(jié)出判別方法，同步進(jìn)行矩陣（方程）相關(guān)性判別和解算，就是本文討論的重點(diǎn)。若約化計(jì)算中不出現(xiàn)矩陣主元約化值為零的情況，完成相關(guān)矩陣（方程）解算，若出現(xiàn)矩陣主元約化值為零的情況，則判斷矩陣（方程）是否相關(guān)。如果相關(guān)，計(jì)算結(jié)束，否則，采用本文介紹的選主元對(duì)稱(chēng)矩陣原位替換解算方法繼續(xù)解算，求得相應(yīng)矩陣（方程）解算結(jié)果。

1? 對(duì)稱(chēng)矩陣元素約化值計(jì)算過(guò)程中判斷矩陣的秩虧性

設(shè)有對(duì)稱(chēng)矩陣：

參照文獻(xiàn)[3]，對(duì)稱(chēng)矩陣元素約化值計(jì)算的相應(yīng)公式

公式（1）中要求矩陣主元（即對(duì)角元）約化值不能為零，若其值為零，有兩種可能：

一種是不僅矩陣主元約化值等于零，而且該列主元約化值下方其它元素約化值也均等于零。因?yàn)榫仃嚨趇列元素約化值是矩陣前i-1列元素的函數(shù)，若此列所有元素的約化值均等于零，則說(shuō)明該列元素與前i-1列元素線性相關(guān)，矩陣秩虧，其行列式值必為零，停止計(jì)算;另一種是矩陣中某列的主元約化值為零，該列主元約化值下方其它元素約化值不為零或不全為零的情況。這是因?yàn)榫仃囋嘏帕薪Y(jié)構(gòu)引起，應(yīng)該在解算過(guò)程中變換矩陣元素排列結(jié)構(gòu)，用選主元方法繼續(xù)完成相應(yīng)計(jì)算，求得相應(yīng)結(jié)果。

2? 選主元對(duì)稱(chēng)矩陣元素約化值的計(jì)算

由（1）式計(jì)算對(duì)稱(chēng)矩陣元素約化值，只需用到對(duì)稱(chēng)矩陣下三角部分的元素，設(shè)對(duì)稱(chēng)矩陣N的下三角部分為：

再設(shè)交換對(duì)稱(chēng)矩陣N的i，j行和i，j列后的矩陣為N（i，j），仍保留其下三角部分，則交換i，j行和i，j列后矩陣下三角元素的變化規(guī)律如（3）式所示。

符號(hào)表示交換，陣中其它元素不變。

若設(shè)矩陣（2）第i列之前約化元素計(jì)算后的約化矩陣為，其第i列主元約化計(jì)算時(shí)，計(jì)算結(jié)果為零，則可按選主元約化計(jì)算方法計(jì)算，使其變?yōu)椴粸榱?，繼續(xù)計(jì)算該列下方其他元素的約化值。通過(guò)選主元約化計(jì)算，如果該列其他元素約化值只要有一個(gè)不為零，就對(duì)該列之后的各列元素繼續(xù)進(jìn)行約化計(jì)算，直至求出約化計(jì)算結(jié)果。

所謂選主元即選約化計(jì)算過(guò)程中約化值為零的主元，交換矩陣的行和列變換主元元素，使變換后的主元約化值不等于零，通過(guò)選主元約化計(jì)算，求得變換主元之后的各矩陣元素的約化值。

假設(shè)表示矩陣的i-1列元素約化值計(jì)算結(jié)束后，交換矩陣i，j行和i，j列，繼續(xù)進(jìn)行約化計(jì)算所得的約化矩陣，將其稱(chēng)為選主元約化矩陣，矩陣中各元素的變化規(guī)律為：

（4）式中，符號(hào)表示交換，該矩陣中其它元素不變。

該矩陣的i-1列元素約化值計(jì)算結(jié)束后，交換矩陣i，j行和i，j列，繼續(xù)進(jìn)行約化計(jì)算所得的約化矩陣與先將原矩陣i，j行、i，j列交換再進(jìn)行約化計(jì)算的約化矩陣結(jié)果一致，就是因?yàn)檫@一特點(diǎn)，使得選主元約化計(jì)算成為可能。由于沒(méi)有進(jìn)行約化計(jì)算之前不知道哪一列的主元約化值為零，所以只有在計(jì)算過(guò)程中才能確定i，對(duì)于j值的選擇，要求它一定要大于i，也就是約化過(guò)程中還沒(méi)有進(jìn)行約化計(jì)算的列。

3? 由選主元對(duì)稱(chēng)矩陣約化值計(jì)算矩陣行列式值

文獻(xiàn)[3]給出了利用對(duì)稱(chēng)矩陣主元約化值計(jì)算矩陣行列式值的公式，此公式只適用于矩陣主元約化值不為零的情況，如果因矩陣排列結(jié)構(gòu)引起某主元約化值為零，則可利用選主元的方法使其值不為零，繼續(xù)完成相應(yīng)約化計(jì)算，如果仍然用表示選主元后的矩陣主元約化值，那么利用選主元后的約化矩陣計(jì)算選主元后矩陣行列式的計(jì)算結(jié)果可表示為

再設(shè)交換i，j行后的單位陣為E（i，j）（下同），則將矩陣N的i，j行和i，j列交換后的矩陣可表示為：

據(jù)此可得

說(shuō)明原矩陣行列式計(jì)算結(jié)果與選主元后矩陣行列式計(jì)算結(jié)果一致。

4? 由選主元對(duì)稱(chēng)矩陣約化值計(jì)算矩陣方程中未知數(shù)的解

若設(shè)交換矩陣方程（NX=W）i、j行和i、j列后的矩陣方程未知數(shù)向量和矩陣方程常數(shù)向量分別為和，則有

上式兩端左乘，顧及得

由（6）式和（8）式，可得行列變換后的矩陣方程為：

按原位替換解算方法可求得上矩陣方程的解，其中系數(shù)矩陣N（i，j）的約化矩陣Ny（i，j）中的各元素按（1）式求得，約化常數(shù)向量Wy（i，j）中的約化常數(shù)按文獻(xiàn)[3]中給出的公式求得，即

矩陣方程未知數(shù)解向量中未知數(shù)的解按文獻(xiàn)[3]中給出的公式計(jì)算，即

由（8）式第一式知，將利用選主元方法求得的矩陣方程未知數(shù)解向量交換其i，j行的元素即為原方程未知數(shù)向量的解。

5? 由選主元對(duì)稱(chēng)矩陣約化值計(jì)算矩陣的逆陣

用選主元矩陣元素約化值，顧及nji·i=nji·（i-1）（i=1，2，…，t;j-i+1），根據(jù)文獻(xiàn)[3]中給出的矩陣元素二次約化值計(jì)算公式

可求得選主元矩陣元素二次約化矩陣。

根據(jù)文獻(xiàn)[3]中給出的矩陣逆矩陣元素計(jì)算公式

可求得選主元矩陣逆矩陣的下三角陣。

又由（6）式可得

上式說(shuō)明將利用選主元約化值求得的矩陣的逆陣交換i、j行和i、j列后，即為原矩陣的逆陣。

6? 算例

例1設(shè)有對(duì)稱(chēng)矩陣

用原位替換解算方法求矩陣行列式值

解：按公式（1）對(duì)矩陣N進(jìn)行約化計(jì)算，前5列約化計(jì)算后的結(jié)果如下式所示

因陣中第5列元素約化值均為零，所以N陣的行列式值為零。

例2 設(shè)有對(duì)稱(chēng)線性方程組為

判斷方程組是否有唯一解，若有唯一解，求其解，并求其系數(shù)矩陣的逆陣。

解：該方程的矩陣形式為NX=W

（1）矩陣方程的約化值和系數(shù)矩陣行列式值計(jì)算，判斷方程是否有唯一解。

假設(shè)矩陣方程的增廣矩陣為，其增廣矩陣的約化矩陣為，則

根據(jù)公式（1）和公式（9）進(jìn)行約化計(jì)算。由于第二列主元的約化值等于零，即，而該列約化值不為零，所以采用變換主元的方法繼續(xù)進(jìn)行約化。通過(guò)交換矩陣的2，4行和2，4列，得到選主元后的增廣矩陣為

設(shè)其約化矩陣用表示，按公式（1）和公式（9）分別計(jì)算系數(shù)矩陣約化值和常數(shù)項(xiàng)約化值得

計(jì)算矩陣方程系數(shù)陣行列式值：

由于矩陣方程系數(shù)陣的行列式值不為零，所以矩陣方程有解。

（2）計(jì)算矩陣方程未知數(shù)。

設(shè)表示利用選主元增廣矩陣按原位替換法求得的系數(shù)矩陣約化值和未知數(shù)解向量組成的矩陣，利用選主元增廣矩陣元素約化值按（10）式可求得矩陣方程未知數(shù)解向量X（2，4），如下式所示

交換未知數(shù)解向量的2，4行得矩陣方程未知數(shù)的解為

（3）矩陣方程系數(shù)陣的逆陣計(jì)算。

由選主元后的系數(shù)矩陣約化值，根據(jù)（11）式求其二次約化值，其結(jié)果用表示

由選主元后的系數(shù)矩陣二次約化值，根據(jù)（12）式求選主元后系數(shù)矩陣逆陣下三角部分的元素，其結(jié)果用Q下（2，4）表示

將其全陣Q（2，4）的2，4行和2，4列交換，即按（4）式交換方式交換陣中相應(yīng)元素，便得到矩陣方程系數(shù)陣逆陣下三角部分的元素。

將矩陣上三角對(duì)稱(chēng)位置的元素填滿即為所求逆陣。

7? 結(jié)語(yǔ)

本文討論了系數(shù)矩陣為對(duì)稱(chēng)矩陣且其是否滿秩未知的矩陣方程的解算問(wèn)題;介紹了采用對(duì)稱(chēng)矩陣原位替換解算方法解算對(duì)稱(chēng)矩陣（方程）時(shí)，對(duì)稱(chēng)矩陣（方程）的有解判斷和解算的方法，包括：

（1）對(duì)稱(chēng)矩陣某一列主元約化值為零時(shí)，根據(jù)該列元素的約化值是否全為零判斷矩陣（方程）的相關(guān)性。如果相關(guān)，停止計(jì)算，如果不相關(guān)，用本文給出的選主元對(duì)稱(chēng)矩陣解算方法進(jìn)行相關(guān)解算，將矩陣（方程）相關(guān)性判斷和解算同步進(jìn)行。

（2）由于對(duì)稱(chēng)矩陣元素排列結(jié)構(gòu)的原因，可能出現(xiàn)可逆對(duì)稱(chēng)矩陣某主元約化值為零的情況，本文給出了針對(duì)此種情況的選主元對(duì)稱(chēng)矩陣原位替換解算矩陣行列式值、矩陣方程未知數(shù)和逆矩陣的方法，以及相應(yīng)計(jì)算公式。

應(yīng)該說(shuō)明的是：解算過(guò)程中，經(jīng)多次選主元（交換矩陣的行和列），矩陣行列式值的解不變;矩陣方程未知數(shù)的解，是將選主元解算求得的解向量中的未知數(shù)，按解算過(guò)程中各次交換矩陣行的次序逆序交換回來(lái)的結(jié)果;逆矩陣解算結(jié)果，是選主元解算求得的矩陣逆陣，按解算過(guò)程中各次交換矩陣行、列的次序逆序交換回來(lái)的結(jié)果。

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