高中數(shù)列內(nèi)容設(shè)置的國際比較—基于八個(gè)國家高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的研究

四川省綿陽第一中學(xué)(621000) 何志遠(yuǎn)

重慶市西南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院(400715) 魏文

一、研究背景

通過在知網(wǎng)上檢索關(guān)鍵詞“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”,并按發(fā)表時(shí)間的先后排序, 發(fā)現(xiàn)我國對(duì)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的研究大致從20世紀(jì)80年代就開始了.若按教育層次來劃分,則主要涉及了學(xué)前教育、義務(wù)教育、高中教育、中職教育、高職教育、高等教育.研究的主要內(nèi)容包括兩個(gè)方面：一方面,通過對(duì)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中某部分內(nèi)容的分析,并結(jié)合各個(gè)學(xué)段進(jìn)行的理論及實(shí)證研究,換句話說,即是基于數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)下的研究;另一方面,是針對(duì)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)本身的研究,且關(guān)于數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的比較研究較多,既有國內(nèi)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的縱向比較,也有國際間同學(xué)段數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的橫向比較.

為了進(jìn)一步完善普通高中數(shù)學(xué)課程的體系,深化普通高中課程改革,我國學(xué)者們對(duì)高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的比較研究日益增多,尤其是國際間的比較.相關(guān)研究既有對(duì)各國高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的評(píng)介,又有對(duì)世界主要國家高中數(shù)學(xué)課程的教育理念和課程目標(biāo)、主要內(nèi)容、課程標(biāo)準(zhǔn)呈現(xiàn)方式及各個(gè)知識(shí)專題(如函數(shù)、立體幾何、解析幾何、概率與統(tǒng)計(jì)、微積分以及信息技術(shù))等不同方面進(jìn)行系統(tǒng)、深入的國際比較研究[1-10].

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一,不僅有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用,而且起著承前啟后的作用,一方面數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)與函數(shù)思想密不可分;另一方面,學(xué)習(xí)數(shù)列也為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)列的極限等內(nèi)容做好準(zhǔn)備.近年來越來越多的學(xué)者對(duì)“數(shù)列”的教學(xué)有了深入研究[11],對(duì)數(shù)列部分的教學(xué)內(nèi)容有了激烈的討論,若對(duì)各國數(shù)學(xué)課標(biāo)中數(shù)列知識(shí)主線的順序進(jìn)行梳理和比較,可作為我國數(shù)列教學(xué)的參考.另外,高考?xì)v來將“數(shù)列”作為重要的考察部分,占據(jù)了很大一部分比重.因此,本研究將進(jìn)一步探討高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中數(shù)列內(nèi)容的設(shè)置,以期對(duì)我國高中數(shù)學(xué)課程的進(jìn)一步完善提供借鑒.

二、研究設(shè)計(jì)

(一) 研究問題

本研究主要對(duì)八個(gè)國家的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中的數(shù)列內(nèi)容作以下四方面的研究：(1)數(shù)列知識(shí)總廣度如何? 各知識(shí)主題的廣度如何? (2)數(shù)列知識(shí)總深度如何? 各知識(shí)主題的深度如何? (3)各個(gè)國家是如何編排數(shù)列內(nèi)容的知識(shí)主線?(4)數(shù)列與其他知識(shí)的整合情況如何?

(二) 研究對(duì)象

研究選取的八個(gè)國家分別為中國、韓國、新加坡、日本、澳大利亞、英國、法國、芬蘭.從地理位置上看, 八個(gè)國家遍布了全球的三大洲,包含發(fā)達(dá)國家和發(fā)展中國家,各國家的經(jīng)濟(jì)水平、文化背景各不相同,在挑選的八個(gè)國家中,亞洲和歐洲地區(qū)的國家比較集中,分別同屬于各自的文化圈,有可比性.從國際比較項(xiàng)目來看,國際測試TIMSS 項(xiàng)目和PISA項(xiàng)目中都選擇了澳大利亞作為研究對(duì)象, 并且澳大利亞在PISA 項(xiàng)目中連續(xù)多次高于OECD 平均水平[4].所選取的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)文本材料來源于史寧中、孔凡哲主編的《十二個(gè)國家普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)國際比較研究》[12]和曹一鳴、代欽、王光明主編的《十三國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)評(píng)介(高中卷)》[13](其中芬蘭和法國的課程標(biāo)準(zhǔn)文獻(xiàn)來源于后者),以便于比較為出發(fā)點(diǎn)選取具體版本如下：

表1 八國高中數(shù)列內(nèi)容設(shè)置比較的文本

(三) 研究工具與方法

本文主要采用了定性分析與定量分析相結(jié)合的方法,在各個(gè)國家是如何編排數(shù)列內(nèi)容的知識(shí)主線? 數(shù)列與其他知識(shí)的整合情況如何? 的定性研究中采用比較研究法,在數(shù)列內(nèi)容的知識(shí)廣度與深度的定量分析中采用內(nèi)容分析法.

1.廣度

課程廣度是指課程內(nèi)容所涉及的范圍和領(lǐng)域的廣泛程度[12].為便于統(tǒng)計(jì),本研究用數(shù)列內(nèi)容的知識(shí)點(diǎn)數(shù)量刻畫課程的廣度,并延用曹一鳴等人的研究方法[4-6]確定廣度基準(zhǔn)知識(shí)點(diǎn).由于我國在數(shù)列部分的知識(shí)點(diǎn)較為詳盡,且考慮到語言方面的限制,選擇我國的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)作為劃分知識(shí)主題的基礎(chǔ).在我國的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中,數(shù)列知識(shí)主要包括四個(gè)方面的內(nèi)容：一是數(shù)列概念,主要是數(shù)列概念和表示方法;二是等差數(shù)列,包括等差數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式、前n 項(xiàng)和公式、等差數(shù)列的應(yīng)用等;三是等比數(shù)列,即等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式、前n 項(xiàng)和公式、等比數(shù)列的應(yīng)用等;四是數(shù)學(xué)歸納法.再結(jié)合各個(gè)國家課標(biāo)中數(shù)列知識(shí)的組成,本研究將數(shù)列分為五個(gè)主題,分別為數(shù)列的概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法、遞推公式.在形成知識(shí)點(diǎn)框架時(shí),同樣以我國的課程標(biāo)準(zhǔn)為基礎(chǔ),分別梳理各個(gè)知識(shí)主題下的知識(shí)點(diǎn)數(shù)量,盡可能統(tǒng)計(jì)到最小知識(shí)點(diǎn),再依次對(duì)其他國家課標(biāo)中的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行梳理.

2.深度

課程深度泛指課程內(nèi)容所需要的思維深度[12].本文同樣延用曹一鳴等人的研究方法[10],在認(rèn)知水平劃分的4 個(gè)層次的基礎(chǔ)上,再結(jié)合各個(gè)國家數(shù)列內(nèi)容設(shè)置的實(shí)際情況進(jìn)行了修改(見表2),對(duì)于A 層次,B 層次,C 層次,D 層次,分別賦值1、2、3、4,若一個(gè)短句中出現(xiàn)兩個(gè)行為動(dòng)詞,則以較高者統(tǒng)計(jì),然后進(jìn)行求和,再計(jì)算出算術(shù)平方根,以此量化數(shù)列內(nèi)容的課程深度.

表2 八國課標(biāo)中數(shù)列內(nèi)容的認(rèn)知水平參照表

三、研究結(jié)果

(一) 廣度的比較結(jié)果

從圖1 可以看出,中國課標(biāo)中數(shù)列內(nèi)容的總廣度位列第一,領(lǐng)先于其他國家,其次是日本、韓國、澳大利亞、法國、新加坡、芬蘭,廣度最低的國家為英國.對(duì)八國數(shù)列內(nèi)容廣度進(jìn)行求和,計(jì)算平均值為9.25,中國、日本、韓國、澳大利亞這四個(gè)國家均高于平均值,法國、新加坡、芬蘭、英國均低于平均值,且后者與前者差異較大,高低分界比較明顯.究其原因,可以發(fā)現(xiàn)由于各國家的文化教育背景不同,對(duì)內(nèi)容的設(shè)置有所不同.例如英國雖然從統(tǒng)計(jì)的結(jié)果來看,數(shù)列內(nèi)容的廣度最低,但其在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的其他內(nèi)容上有所偏重[4].而中國課標(biāo)中數(shù)列內(nèi)容廣度最高的原因在于中國的課程知識(shí)體系下,將數(shù)列作為基礎(chǔ)知識(shí)考察,將知識(shí)點(diǎn)細(xì)化,考察內(nèi)容較細(xì).

圖1

1.“數(shù)列的概念”主題的知識(shí)分布

“數(shù)列的概念”這部分主要是數(shù)列概念、數(shù)列的表示、數(shù)列的簡單計(jì)算、數(shù)列解決實(shí)際問題等內(nèi)容,是數(shù)列內(nèi)容的基礎(chǔ)知識(shí).從知識(shí)點(diǎn)數(shù)量上來說,數(shù)量為3 的居多,其余數(shù)量為4,1,0,具體情況如下表：

表3 “數(shù)列的概念”主題的知識(shí)點(diǎn)分布

通過對(duì)表3 的分析可以得出：①澳大利亞沒有涉及該主題的知識(shí)點(diǎn), 該部分知識(shí)主題最廣的是韓國和新加坡,其次中國、日本、法國居于第二位,芬蘭和英國居于第三位;②數(shù)列的概念作為八個(gè)國家課標(biāo)中較為集中的知識(shí)點(diǎn),其次求和符號(hào)的含義與使用、計(jì)算數(shù)列的各項(xiàng)、數(shù)列的一般項(xiàng)以及數(shù)列的前n 項(xiàng)和分別都有兩個(gè)國家涉及,其他知識(shí)點(diǎn)較為分散; ③有多個(gè)知識(shí)點(diǎn)只存在于某一個(gè)國家的課標(biāo)中,且這些知識(shí)點(diǎn)較為新穎,例如數(shù)列是一種特殊的函數(shù),強(qiáng)調(diào)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系;用數(shù)列對(duì)某現(xiàn)象建模和研究,強(qiáng)調(diào)數(shù)列作為一種工具在數(shù)學(xué)建模中的使用;用圖表示數(shù)列各項(xiàng),強(qiáng)調(diào)數(shù)列的另一種特殊表示.

2.“等差數(shù)列”主題的知識(shí)點(diǎn)分布

“等差數(shù)列”這部分主要包括等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n 項(xiàng)和公式、與函數(shù)的關(guān)系以及實(shí)際問題的解決等內(nèi)容.中國的知識(shí)點(diǎn)數(shù)量最多為6,其次是澳大利亞數(shù)量為5,日本和韓國的數(shù)量為3,新加坡不涉及該部分的知識(shí)點(diǎn),具體情況如下表：

表4 “等差數(shù)列”主題的知識(shí)點(diǎn)分布

通過對(duì)表4 的分析可以得出：①求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式作為八個(gè)國家課標(biāo)中較為集中的知識(shí)點(diǎn),其次等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式有四個(gè)國家涉及,等差數(shù)列的概念、等差數(shù)列解決實(shí)際問題以及等差數(shù)列與一元一次函數(shù)的關(guān)系分別都有三個(gè)國家涉及,其他知識(shí)點(diǎn)則較為分散; ②中國涉及的知識(shí)點(diǎn)較為全面和詳細(xì),除去等差數(shù)列的遞歸定義、求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和證明等差數(shù)列的形式這三個(gè)知識(shí)點(diǎn)以外,其余知識(shí)點(diǎn)均包含.

從以上對(duì)“等差數(shù)列”這一主題知識(shí)點(diǎn)的分析,可以發(fā)現(xiàn)“等差數(shù)列”這一部分主要注重等差數(shù)列相關(guān)公式的推導(dǎo)及應(yīng)用, 有五個(gè)國家將求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式納入課程標(biāo)準(zhǔn),四個(gè)國家將等差數(shù)列的通項(xiàng)公式納入課程標(biāo)準(zhǔn),三個(gè)國家將等差數(shù)列解決實(shí)際問題納入課程標(biāo)準(zhǔn).另外,在關(guān)系研究上,我國課標(biāo)中不僅提到了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n 項(xiàng)和公式的關(guān)系,還提到了等差數(shù)列與一元一次函數(shù)的關(guān)系,澳大利亞和法國也關(guān)注到了這一點(diǎn).

3.“等比數(shù)列”主題的知識(shí)點(diǎn)分布

“等比數(shù)列”這部分包括等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n 項(xiàng)和公式、與函數(shù)的關(guān)系以及實(shí)際問題的解決等內(nèi)容,和等差數(shù)列部分的主體內(nèi)容大同小異.和“等差數(shù)列”主題知識(shí)點(diǎn)分布相比較,中國、日本、韓國、法國、新加坡、芬蘭的知識(shí)點(diǎn)數(shù)量沒有發(fā)生改變;英國則沒有這一主題的知識(shí)點(diǎn);澳大利亞增加了等比數(shù)列中的n 趨于無窮大時(shí)表現(xiàn)出來的極限特征這一知識(shí)點(diǎn).由此可鑒,澳大利亞注意到了在引入數(shù)列時(shí),數(shù)列的極限特征,為數(shù)列極限的學(xué)習(xí)打下了基礎(chǔ),這是在我國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中未得到體現(xiàn)的.具體情況如下表：

表5 “等比數(shù)列”主題的知識(shí)點(diǎn)分布

4.“數(shù)學(xué)歸納法”主題的知識(shí)點(diǎn)分布

“數(shù)學(xué)歸納法”這部分包括數(shù)學(xué)歸納法的定義、原理以及應(yīng)用等內(nèi)容.包含該主題的國家只有中國、日本、韓國,其他國家沒有該部分知識(shí)的涉及.這三個(gè)國家在知識(shí)點(diǎn)數(shù)量上幾乎沒有什么的差異,并且在知識(shí)點(diǎn)上都注重了數(shù)學(xué)歸納法的原理以及利用數(shù)學(xué)歸納法證明簡單例題,都注重了數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用,但在實(shí)際問題的解決上只有日本在課標(biāo)中提到了.具體情況如下表：

表6 “數(shù)學(xué)歸納法”主題的知識(shí)點(diǎn)分布

5.“遞推公式”主題的知識(shí)點(diǎn)分布

“遞推公式”這部分包括理解遞推公式、遞推公式表示簡單數(shù)列的一般項(xiàng)以及形如xn+1=f(xn)的簡單的遞歸關(guān)系產(chǎn)生的數(shù)列這三方面內(nèi)容.和“數(shù)學(xué)歸納法”主題一樣,也只有三個(gè)國家涉及該部分內(nèi)容,分別是日本、新加坡、芬蘭.值得一提的是,日本將“遞推公式”這一主題作為單獨(dú)的一小節(jié)內(nèi)容,可鑒日本對(duì)該部分內(nèi)容的重視程度.另外,對(duì)該小節(jié)內(nèi)容仔細(xì)研究發(fā)現(xiàn),日本更加傾向?qū)⑦f推公式作為一種工具使用.

表7 “遞推公式”主題的知識(shí)點(diǎn)分布

(二) 深度的比較結(jié)果

圖2

從圖2 可以看出, 芬蘭的課標(biāo)中數(shù)列內(nèi)容的深度最高,值為3,對(duì)數(shù)列內(nèi)容的認(rèn)知水平主要要求達(dá)到D 層次,要求利用數(shù)列解決實(shí)際問題.澳大利亞位居第二,日本和英國分別居第三、第四.中國的課標(biāo)中數(shù)列內(nèi)容的深度最低,其原因在于認(rèn)知水平主要為A 層次和B 層次,這與中國課標(biāo)中數(shù)列內(nèi)容的廣度最高,形成巨大反差.

下面分別從數(shù)列內(nèi)容的五個(gè)知識(shí)主題進(jìn)行比較分析,具體情況如下表：

表8 數(shù)列各內(nèi)容主題的總賦值分布

橫向觀察表8 可以發(fā)現(xiàn),同一知識(shí)主題各國的深度不同.“數(shù)列的概念”這一主題課程深度的最深的是韓國,“等差數(shù)列”最深的是中國,“等比數(shù)列”對(duì)應(yīng)于澳大利亞,“數(shù)學(xué)歸納法”和“遞推公式”對(duì)應(yīng)于日本.縱向觀察不難發(fā)現(xiàn),同一國家課程標(biāo)準(zhǔn)中不同知識(shí)主題的深度不同.中國、澳大利亞、芬蘭這三國的課標(biāo)中“等差數(shù)列”和“等比數(shù)列”兩個(gè)主題的深度較深; 日本課標(biāo)中“數(shù)學(xué)歸納法”較深; 英國課標(biāo)中“等差數(shù)列”較深;韓國和法國課標(biāo)中“數(shù)列的概念”較深.

中國的課標(biāo)中“等差數(shù)列”和“等比數(shù)列”的深度較深也是有據(jù)可循的.該部分知識(shí)主要位于我國課標(biāo)中的選擇性必修課程,雖然是選擇性課程,但迫于我國高考的壓力,多數(shù)教師講解的主要內(nèi)容為“等差數(shù)列”和“等比數(shù)列”,對(duì)于“數(shù)學(xué)歸納法”、“遞推公式”和“數(shù)列的概念”講解較少,必將加大課程的難度.

(三) 各國課標(biāo)中數(shù)列內(nèi)容的知識(shí)主線

表9 八國數(shù)列內(nèi)容的知識(shí)主線

對(duì)各國數(shù)列內(nèi)容的知識(shí)主線進(jìn)行梳理后(見表9)可以發(fā)現(xiàn),除新加坡外,各國的知識(shí)主線中都包含等差數(shù)列和等比數(shù)列或包含其中之一.特別地,澳大利亞的課標(biāo)中數(shù)列內(nèi)容的知識(shí)主線主要由等差數(shù)列和等比數(shù)列生成.盡管有這些相同之處,但仍存在著差異：①各國在一般數(shù)列和等差、等比數(shù)列的編排上有所不同,中國、新加坡、法國、英國、芬蘭先學(xué)習(xí)一般數(shù)列再學(xué)習(xí)等差、等比數(shù)列,韓國、日本先學(xué)習(xí)等差、等比數(shù)列再學(xué)習(xí)一般數(shù)列,這體現(xiàn)了從一般到特殊和從特殊到一般的兩種不同安排; ②各國家課程標(biāo)準(zhǔn)中數(shù)列的遞歸定義的編排有所不同,中國、日本、新加坡、芬蘭先學(xué)習(xí)數(shù)列的一般定義再學(xué)習(xí)數(shù)列的遞歸定義,而澳大利亞和英國則先學(xué)習(xí)遞歸定義.

(四) 各國課標(biāo)中數(shù)列與其他知識(shí)的整合情況

表10 八國課標(biāo)中數(shù)列內(nèi)容的整合情況

從表10 可以看出,中國、韓國、日本、法國、澳大利亞、芬蘭都強(qiáng)調(diào)利用數(shù)列解決實(shí)際問題和利用數(shù)列對(duì)某種現(xiàn)象建?；蚓悠湟?中國、澳大利亞、法國都強(qiáng)調(diào)了數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系;新加坡和英國的課標(biāo)中無數(shù)列內(nèi)容與其他知識(shí)整合的跡象.整合情況較好的是法國,其次是中國和澳大利亞,較差的是新加坡和英國.

四、結(jié)論與不足

通過對(duì)八個(gè)國家高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的比較研究,基于上述四方面的分析,有以下結(jié)論：

(一) 各國數(shù)列內(nèi)容的設(shè)置差異較大

從知識(shí)主題上看, 我國課程標(biāo)準(zhǔn)中共有數(shù)列內(nèi)容的四個(gè)主題,分別為“數(shù)列的概念”、“等差數(shù)列”、“等比數(shù)列”和“數(shù)學(xué)歸納法”.與我國課標(biāo)知識(shí)主題相同的國家只有日本和韓國,其他國家課標(biāo)的知識(shí)主題在這基礎(chǔ)上有刪減,也有增加.其中,“數(shù)學(xué)歸納法”和“遞推公式”屬某些國家特有的知識(shí)主題,“數(shù)學(xué)歸納法”只在中國、日本、韓國的課標(biāo)中有體現(xiàn),“遞推公式”只在新加坡、日本、芬蘭的課標(biāo)中有體現(xiàn).

從某個(gè)知識(shí)主題上看,各國的課標(biāo)中具體知識(shí)的設(shè)置和掌握程度不盡相同.例如在“等差數(shù)列”這一主題中,日本、韓國、新加坡、英國只要求到等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式,甚至有些課標(biāo)中前n 項(xiàng)和公式都沒有做要求,但中國、澳大利亞、法國的課標(biāo)中已經(jīng)明確要求體會(huì)等差數(shù)列與一元一次函數(shù)的關(guān)系,認(rèn)識(shí)其線性特征.再如,關(guān)于等差數(shù)列前n 項(xiàng)和的公式有的國家課標(biāo)中要求“會(huì)求”即可,而有的國家課標(biāo)中要求“探索并掌握”.

(二) 我國課標(biāo)中數(shù)列內(nèi)容的設(shè)置呈“廣而淺”的特點(diǎn)

在高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的相關(guān)研究中,已經(jīng)有較多研究表明我國的課程標(biāo)準(zhǔn)呈“廣而淺”的特點(diǎn)[3][10],對(duì)于數(shù)列內(nèi)容的設(shè)置也不例外.我國課標(biāo)中數(shù)列內(nèi)容的總廣度位列第一,值為17,但深度的排名卻是最低,“等差數(shù)列”與“等比數(shù)列”這兩個(gè)知識(shí)主題的廣度排名最高,但兩者的深度卻不是最高的.

(三) 我國課標(biāo)中數(shù)列內(nèi)容的要求與現(xiàn)實(shí)情況差異較大

從比較結(jié)果來看,我國課標(biāo)中對(duì)數(shù)列內(nèi)容的要求與現(xiàn)實(shí)的教學(xué)、考試等情況相差較大.例如課標(biāo)中強(qiáng)調(diào)用等差、等比數(shù)列解決實(shí)際問題,感受數(shù)學(xué)模型的現(xiàn)實(shí)意義與應(yīng)用,而高考考察的內(nèi)容幾乎沒有實(shí)際問題的涉及,通常僅是復(fù)雜的計(jì)算,這不得不引發(fā)對(duì)數(shù)列內(nèi)容設(shè)置的進(jìn)一步思考.

當(dāng)然,由于各國的文化背景不同、教育環(huán)境和教育手段也不同,本文的研究也不完善,缺乏落地的考察.對(duì)數(shù)列內(nèi)容設(shè)置的比較,僅通過對(duì)課標(biāo)的解讀是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的,例如我國普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修5 人教A 版[15]中對(duì)“遞推公式”作了簡要的介紹,而課標(biāo)中沒有明顯的說明.因此,還需對(duì)各國教材數(shù)列內(nèi)容的編寫、教師的教學(xué)等方面進(jìn)行探討.