讓學生的數(shù)學學習自然生成*—“等式的基本性質”教學設計、實施和反思

北京市通州區(qū)潞河中學(101149) 魏海楠

數(shù)學學科的建立過程,就像自然界的植物生長一樣,不斷的發(fā)出新芽,長成枝干,長成大樹,自然生長而成.學生的數(shù)學學習過程也應該是這樣的,自然生長而成.下面以課例“等式的基本性質”的教學設計、實施與大家探討.

教學內容是北京版《義務教育教科書數(shù)學》第13 冊第二章“2.4 等式的基本性質”.

一、教學設計及課堂實施實錄

(一) 教學背景分析

1.初一學生剛入初中,來自不同的小學,雖說已掌握了一定的學習方法,具有一定的推理能力,雖說對數(shù)學學習積極性很高,但學習數(shù)學的方法還很不成熟,大多采取背記方式,對知識的學習往往不求甚解,淺嘗輒止.

2.在知識儲備上,學生在五年級的時候已經(jīng)學過了等式的基本性質,大多數(shù)學生只是了解等式的基本性質,不能清楚的說明等式基本性質的結構,對等式基本性質的作用更是沒有理性的解釋,僅限于對解題的模仿,沒有一種自覺的、有意識的應用.

3.本節(jié)課教學中設計意圖,是在學生原有認知的基礎上,充分利用原有的認知,結合學生熟悉的學習背景,讓學生在自然狀態(tài)不斷探索,很自然的形成自己新的認知,實現(xiàn)學習新知.充分給學生提供思考、表現(xiàn)、創(chuàng)造的機會,使他成為知識的發(fā)現(xiàn)者、創(chuàng)造者,培養(yǎng)學生自我探究和實踐能力.

(二) 學習目標

1.通過本節(jié)課的學習使學生掌握等式的基本性質,即明確等式基本性質的內容,理解等式基本性質的作用.

2.通過本節(jié)課對等式基本性質的探究,使學生理解等式基本性質的由來及作用,能利用等式的基本性質進行等式變形.

3.通過對等式基本性質的探索和運用,培養(yǎng)推理意識,數(shù)學應用意識,培養(yǎng)反思精神,逐步提升學生認識問題的能力.

(三) 教學重難點

1.重點：引導學生探索發(fā)現(xiàn)等式的基本性質,等式基本性質的結構,理解等式基本性質的作用,利用等式的基本性質解決簡單問題.

2.難點：抽象歸納出等式的基本性質,認識等式基本性質的作用.

(四) 教學實施與點評

1.情景導入

教師：同學們,我們在小學已經(jīng)學習過了等式的基本性質,在小學學習等式基本性質的基礎上,今天我們繼續(xù)學習等式的基本性質的內容和作用.

點評告知學生,我們今天學習的內容是我們學習過的知識,只需要在原有經(jīng)驗的基礎上再學習,知識的學習過程就是在原有認知基礎上不斷生長新的知識和認識.

2.探究活動設計和實施

(1) 環(huán)節(jié)一：探究發(fā)現(xiàn)

教師：首先,請大家完成交流與發(fā)現(xiàn)1 的問題? (1 分鐘)與小組同學分享你的發(fā)現(xiàn).

教師：經(jīng)過大家的獨立思考,小組交流,說說你的發(fā)現(xiàn)是什么?

學生1：a+c=b+c.

教師：有成立條件嗎?

學生1：(恍然大悟)有條件,必須是a=b 成立的前提下.

教師：沒有條件a=b,你的結論完整嗎?

學生1：不完整.

教師：學生1 的發(fā)現(xiàn)應該是, 如果a = b, 那么a+c=b+c.

教師：我們回答問題要考慮問題的完整性,還有不同的意見或補充嗎?

學生2：還應該有,如果a=b,那么a-c=b-c.

教師：很好! 完整的表達結論應該是什么?

學生2：如果a=b,那么a±c=b±c.

教師：太好了! 通過交流與發(fā)現(xiàn)1 的探究,我們可以得知如果a=b,那么a±c=b±c.下面完成交流與發(fā)現(xiàn)2 的問題.

教師：(學生獨立思考、小組交流后)從交流與發(fā)現(xiàn)2 中你又有什么發(fā)現(xiàn)?

學生3：如果a=b,那么a·c=b·c.

教師：非常好,一個完整的回答,有條件有結論,還有不同的意見嗎?

教師：說說你的想法,怎么得到這樣的結論?

學生4：學生3 的結論中,如果c 是分數(shù),就可以出現(xiàn)除的形式.

教師：你太有想象力了! 由整數(shù)想到了分數(shù),由乘想到了除,“對稱”的思想看問題,太好了! 大師級的想法.其實交流與發(fā)現(xiàn)1 中,也體現(xiàn)了對稱思想,加與減的對稱和統(tǒng)一.

點評這個環(huán)節(jié)原本的設計意圖是想得出基本性質中乘法的性質,學生創(chuàng)造性的利用對稱的思想去思考問題,進一步得出新的結論除法的性質,教師抓住學生課堂生成的閃光點,給予積極的評價,順勢引導,點明學生思維的方法,此處是設計預案之外的生成,學生知識的學習像植物發(fā)芽一樣自然生成.

教師：我們身邊還有很多這樣的例子,你能舉出一個嗎?

學生舉例(略)舉例不是很典型

教師：老師再給大家再提供一個背景,你體會一下這個例子怎么樣?

教師：老師給大家提供一個例子?

學生5：這個例子好,(1)可以驗證交流與發(fā)現(xiàn)1 的結論,(2)可以驗證交流與發(fā)現(xiàn)2 的結論.

教師：對,類似這樣的例子我們還有很多,需要大家去發(fā)現(xiàn),去積累.至此讓我們再次梳理我們的發(fā)現(xiàn),看看有沒有新的發(fā)現(xiàn).

學生6：我覺得發(fā)現(xiàn)2 中c 不能為零,因為我們知道零不能做除數(shù).

點評 經(jīng)過幾個實例的探究,結合學生已有經(jīng)驗,學生一步一步的完善等式的基本性質,每一次完善都是在原有基礎和認識的基礎上的自然生長.

教師：我們用文字語言描述等式的基本性質.

學生7：(學生口述,教師板書)

點評 學生在小學五年級時學生曾經(jīng)學習過等式基本性質,對等式的基本性質有一定的經(jīng)驗和認識,再次學習,通過常見的實例引入,讓學生很快的從自己已有的認知出發(fā),在學生原有認知的基礎上,經(jīng)過獨立思考、小組交流、師生交流等方式,幫助學生從已有的認知開始,分析信息、整理信息得出結論,讓學生感到學習是自然生成的.

(2) 環(huán)節(jié)二：總結與提升

教師：我們再次學習了等式的兩條基本性質,請問同學們,根據(jù)你的理解如何來解讀等式的兩條基本性質呢?

學生8：我覺得應該抓住三點：

①抓住關鍵字“都”,表示等式兩邊同時運算.

②抓住關鍵字“同”,表示等式兩邊做相同的變化.

③抓住特殊的除,除數(shù)不能為0.0 不能做除數(shù).

教師：說的非常好,抓的非常到位.那你們結合自己的經(jīng)驗,說說等式的基本性質有什么功能呢?

學生9：……

學生10：做題吧? ……(學生大笑)

教師：很實在的回答.我們分析一下等式基本性質的結構,如果……那么……,條件是等式,結論仍然是等式,它表達的含義從一個等式變成了另一個等式,那你們說,他有什么作用?

學生11：我覺得應該是等式變形的依據(jù)吧?

教師：好的,還不是很肯定,讓我們不斷的去體會等式性質的作用.

點評環(huán)節(jié)二是本節(jié)課的重要環(huán)節(jié),有承上啟下的作用,環(huán)節(jié)一探究出了結論(等式的基本性質),在應用之前很有必要引導學生對結論再認識,加強對等式基本性質的理解,學生對字面理解還是很到位的,對基本性質的作用還不是很肯定或明確,這也是正常現(xiàn)象.但是此環(huán)節(jié)是為后續(xù)的學習提供學習的方向.

(3) 環(huán)節(jié)三：學以致用

教師：請同學們利用1 分鐘的時間,做下面的練習題,并說明填寫的依據(jù).

學生12：(1)填+5,依據(jù)是等式的基本性質1,兩邊同時+5.(下面題目回答略去)

教師：有一個問題我想不明白,(5)中為什么填-3.-3是怎么來的?

學生13：因為條件為x+3=13,結論問x=13,觀察前后的變化,左邊3 消失了,意味著左邊減去3,那么右邊也應該-3,所以填寫-3.

教師：對! 因為等式的基本性質是等式變形的依據(jù),所以我們要關注等式前后變化的變化點,要特別注意“都”“同”的含義.

教師：根據(jù)你對等式基本性質的理解,編寫一個等式變形的題目.說明編寫的依據(jù)和意圖.

教師：大家判斷一下,是否正確?

學生：對(齊答)!

教師：你編此題的依據(jù)和意圖?

學生14：我編題的依據(jù)是等式的基本性質2,意圖說明c的含義可以是同一個式子.

教師：非常好! 他想拓展c 的含義,很有想象力!

教師：你編題的依據(jù)和意圖?

學生15：我的想法是想把性質2 中的乘除都用上,括號的目的是保證除數(shù)7+a 不為零.

教師：考慮的很周全,也很有創(chuàng)意! 那么顯然此題答案是正確的!

教師：兩個同學編寫的題目都有自己的意圖和創(chuàng)意,很好的應用了等式的基本性質,再次讓大家體會了等式基本性質的作用是等式變形的依據(jù).如果…,那么…的句式、因果結構.

點評通過學生的編題環(huán)節(jié),給學生搭建平臺,實質上是學生知識結構學習的自然再成長.教師在點評時再次突出等式的性質的結構,再次強調等式性質的作用,突出本節(jié)課生長的主線.

教師：我們來點評一下學生16 的答案,請問“原式=”什么意思?

學生16：以前解題都這樣寫(學生對解題格式的負遷移,也是一種常見的錯誤,這是一種錯誤的發(fā)芽,要剪切.)

教師：那是我們在數(shù)與式計算時的一種格式要求,對等式來說我們不寫“解原式=”,直接寫等式的變形.請一位同學來點評學生16 的每一步解答依據(jù)和目的.

學生17：第一步的依據(jù)是等式基本性質1,目的是消去等式左邊的-5,讓結論更接近x = a 的形式.然后化簡,第三步的依據(jù)是等式的基本性質2,目的是讓左邊的系數(shù)消失,最終結果是x=27,實現(xiàn)化成x=a 形式的目的.

教師：點評的非常到位,這就是等式的基本性質的應用,從等式到等式的變化,每一步都有依據(jù),每一步都有目的,最終將= 4(復雜等式)化為x = 27(簡單等式),這樣一個過程就是我們將要學習的一元一次方程的解法.

點評學生很自然地從等式的基本性質的學習,發(fā)展到了一元一次方程的解法,新知識的學習在很自然的過程中完成了,為學生的后續(xù)學習提供了自然生長的基礎.

二、課后再認識

本節(jié)課是一節(jié)新授課,也可以說是一節(jié)翻新課,學生在小學五年級,已經(jīng)學習過等式的基本性質,如何把這節(jié)課上出中學數(shù)學的味道,讓學生感受到中學學習與小學學習的區(qū)別,是本節(jié)課的設計和實施的獨到之處,在設計和實施的過程中處處體現(xiàn)學生學習的自然生長.

(一) 源于生活實際,讓課堂自然的生成,揭示知識的形成過程.

著名教育學家布魯納說過：“知識的獲得是一個主動過程.學習者不應該是信息的被動接受者,而應是知識獲取的主動參與者.”本節(jié)課執(zhí)教者從學生的生活實際出發(fā),通過幾個學生喜聞樂見的實例出發(fā),學生特別容易接受,有助于激發(fā)學生興趣,這樣讓學生感受到知識來源于生活,從學生的生活經(jīng)驗出發(fā),讓學生感受生活中數(shù)學的存在,可以讓學生直觀地體會到在等式的變化關系.通過實例的分析,總結規(guī)律,提高學生對知識認識,讓學生有水到渠成的感覺.教學過程突出數(shù)學與日常生活的緊密聯(lián)系,使學生不僅獲得關于等式性質的知識,同時培養(yǎng)學生認真觀察的學習態(tài)度,這樣的設計既重視過程,又重視結論;既重視知識的教學,又重視能力的培養(yǎng).

幾個實例體現(xiàn)了不同的背景,有代數(shù)背景的探索,有幾何圖形的使用,從不同的背景驗證.再此過程中,學生通過列等式、獨立思考,小組交流,全班交流讓每一位同學都有思維過程,交流的時間,立足自己的認知水平,不斷的提升自己的認識水平,通過不同的途徑豐富學生的思維,使學生的學習體驗自然的形成,從而促使學生學習成果的生成.

(二) 抓住主線不放,實現(xiàn)教學目的

本節(jié)課,執(zhí)教者始終抓住性質的作用這條主線不放.首先,在知識的形成過程中,緊抓性質的結構特征“如果…,那么…,”在學生回答問題時,通過追問學生,強調性質的條件是等式, 結論仍然是等式, 是從等式到等式的變化, 從而滲透、引導學生思考等是基本性質的作用.其次,在學以致用的環(huán)節(jié),每一個問題要求學生說出做題(等式變形)的依據(jù),通過練習在具體問題中繼續(xù)強化等式性質的作用.第三,在課堂小結的不同時段,強調等式性質的作用,特別是最后的小結,重點指明等式性質是我們后續(xù)學習解方程的依據(jù),讓學生在后續(xù)的學習中繼續(xù)體會性質的作用.

(三) 教學形式多樣,突出學生主體地位,體現(xiàn)學生是課堂的主人.

《義務教育數(shù)學課程標準.2011》指出：“教學活動是師生積極參與、交往互動、共同發(fā)展的過程,有效的教學活動是學生學與教師教的統(tǒng)一,學生是學習的主體,教師是學習的組織者、引導者與合作者.”

基于上述理念,本節(jié)課執(zhí)教者靈活的采用多種教學方法,使原本看似簡單的內容,具有了濃郁的中學數(shù)學的味道,整個教學過程,既有教師的引導、講解,又有學生的獨立思考、小組討論、全班交流;既有新知識的探究的自主學習,又有新知識應用下的例題運用、練習鞏固.

本節(jié)課整個教學過程中學生的參與度很高,為學生提供了充足的參與學習的機會.學生討論環(huán)節(jié)非常好,不僅僅展示了得出過程、現(xiàn)象,總結了規(guī)律,在展示過程中,能積極補充、質疑,個別同學質疑的問題很有價值,學生驗證自己的想法是否正確時,鼓勵學生大膽地表達自己的想法,以說促思,開啟學生思維的“閘門”,對學生的五花八門的想法不急于評價,不失時機地引導學生說一說,議一議,互相交流,達成共識.在此基礎上讓學生理一理,歸納出等式的性質.通過“說”的活動過程,讓學生在活動中發(fā)散,在活動中發(fā)展.整個教學過程中,師生互動自然,無處不體現(xiàn)學生學習的自然生成.