伴隨矩陣的性質(zhì)及在解題中的應用

廖文詩 龍莆均 田學全 何勇 李海霞 重慶科技學院數(shù)理與大數(shù)據(jù)學院 重慶 401331

伴隨矩陣是線性代數(shù)、高等代數(shù)及矩陣理論中的一個基本內(nèi)容.在線性代數(shù)中,伴隨矩陣與可逆矩陣只相差一個常數(shù)倍,因此主要利用伴隨矩陣求一個可逆矩陣的逆矩陣(伴隨矩陣法).由于伴隨矩陣有許多類似于可逆矩陣的好的性質(zhì),因此,在特征值計算、矩陣方程、多項式理論等方面也有應用.我們先給出伴隨矩陣的一些性質(zhì)及其證明.

一、伴隨矩陣的性質(zhì)

性質(zhì)1:A*A=AA*=|A|E.

性質(zhì)2:A*=|A|A-1,(A*)-1=|A|-1A.

性質(zhì)3:(A*)-1=(A-1)*,(A*)T=(AT)*.

性質(zhì)4:(AB)*=B*A*.

推廣性質(zhì)4:(A1A2…AS)*=AS*…A2*A1*.

性質(zhì)5:n階可逆方陣A的特征值為λ1,λ2,…,λn≠0,則A*的 特 征 值 為 λi-1|A|其 中 i=1,2,…n, 即 λ2λ3…λn,λ1λ3…λn,…,λ1λ2…λn-1.

性質(zhì)6:若矩陣A與B相似,則A*與B*也相似【2】.

證明:(1)當A與B均可逆時,若A與B相似,則|A|=|B|且存在可逆矩陣P,使得B=P-1AP,等式兩邊同時取逆,得到B-1=P-1A-1P,且有|B|B-1=P-1|A|A-1P,由性質(zhì)2,可得B*=P-1A*P,因此A*與B*也相似.

(2)當A與B均不可逆時,若A與B相似,則存在可逆矩陣P,使得B=P-1AP,等式兩邊同時取伴隨,利用性質(zhì)3和性質(zhì)4(證明見文獻【1】),得到B*=P*A*(P*)-1因此A*與B*也相似.

性質(zhì)7:若n階對稱矩陣A正定,則A*也正定【2】.

證明: 若對稱矩陣A正定,則A的所有特征值λ1,λ2,…,λn>0且 |A|λ1λ2…λn>0,由于 A*的特征值為λi-1|A|,i=1,2,…,n,因此,A*的所有特征值大于零,所以A*也正定.

二、伴隨矩陣在解題中的應用

例1設A的特征值為1,2,3,且A與B相似,求|B*|,|3A*-2E|.

解A的特征值為1,2,3,且A與B相似,得到B的特征值也為1,2,3,則由性質(zhì)5,B*的特征值為6,3,2,故|B*|=36.又由性質(zhì)6,A*與B*有相同的特征值,3A*-2E的特征值為16.7.4故|3A*-2E|=448

例 2【3】設

,矩陣B滿足ABA*=2BA*+E,求B.

解由|A|=3及ABA*=2BA*+E,得B=(3A-6E)-1A.又由