基于比較教學法的高等數(shù)學教學研究

姬玉榮,劉金萌

(1.河南理工大學 數(shù)學與信息科學學院，河南 焦作 454000；2.河南工業(yè)和信息化職業(yè)學院 基礎(chǔ)部，河南 焦作 454000)

高等數(shù)學課程肩負著培養(yǎng)學生的計算能力、邏輯推理能力、分析解決問題能力的重任[1].它是理工類、經(jīng)管類等專業(yè)學生的一門必修課程，是學習其他數(shù)學類課程及專業(yè)課程的重要基礎(chǔ).然而由于這門課程知識點多、概念抽象、計算復(fù)雜、證明靈活、應(yīng)用廣泛，里面滲透著大量的數(shù)學思想[2]，使得高等數(shù)學課程產(chǎn)生教師難教、學生難學的現(xiàn)象.為解決高等數(shù)學教和學的難題，在教學中引入比較教學法.

所謂比較教學法，就是借助兩類不同對象之間的相似性，通過比較，將一種已經(jīng)熟悉或掌握的特殊對象的知識遷移到另一種新的特殊對象上去的教學方法.比較教學法的認識論根源就是思維的相似律，即客觀規(guī)律在主觀認識中的再現(xiàn)，是人類思維的一個基本規(guī)律，也是數(shù)學教學中的一種有效思維方法.事實上，很多數(shù)學問題都是在觀察、總結(jié)、比較和推測中找到解決問題的方法.因此，引導學生進行比較，對于激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)學生的學習、研究和創(chuàng)新能力，有效提高學習效率有重要的作用[3].

高等數(shù)學中的比較是多方面的，可以把同類事物進行比較，揭示事物的普遍性和特殊性；可以把不同類事物進行比較，揭示事物之間的聯(lián)系和區(qū)別；可以從事物的動態(tài)過程進行比較，揭示事物的發(fā)展規(guī)律.有的放矢地進行多方面的比較，有助于人們把相似的事物區(qū)分開來，把相關(guān)的知識聯(lián)系起來，獲取精確、清晰的認識.

1 運用比較教學法，讓學生克服學習中的畏難情緒

高等數(shù)學內(nèi)容多，進度快，時間緊，任務(wù)重，很多同學有畏難情緒.在具體的學習過程中，只見樹木，不見森林，無暇顧及知識體系結(jié)構(gòu)的內(nèi)在聯(lián)系，使教學效果不理想.

為了解決學生的畏難情緒，在教學中引入比較教學法，引導學生高屋建瓴地對整個知識體系和內(nèi)在邏輯形成更高層面的認識，幫助學生深刻理解高等數(shù)學知識體系的整體框架和內(nèi)在邏輯.從整體上看，前七章講一元函數(shù)微分學和積分學，后五章講多元函數(shù)微分學和積分學.引導學生尋找極限、導數(shù)和微分這三個重要概念在教材中是按照什么樣的順序進行講解的.不難發(fā)現(xiàn)，它們都是先通過實例引入，說明這些概念來源于現(xiàn)實生活，有很高的研究價值和研究意義，然后，給出精確的定義，由定義得到性質(zhì)，重點在于如何求極限，如何求導數(shù)，如何求積分，最后，告訴大家這些概念在現(xiàn)實生活中的用處，給出一些用法舉例.通過對上面3個重要概念的對比，得到高等數(shù)學教材中知識編排的框架結(jié)構(gòu).高等數(shù)學下冊書中的多元函數(shù)極限、偏導數(shù)、全微分、重積分、曲面積分、曲線積分這些重要的概念都是按照實例—概念—性質(zhì)—求法—應(yīng)用，這樣的方式展開的.從一元到多元、一維到多維、有限到無限、離散到連續(xù)的各種對比[4]，幫助學生建立了完整的知識體系框架.

通過比較歸納，學生會發(fā)現(xiàn)高等數(shù)學的知識點并非雜亂無章，而是有章可循.對高等數(shù)學整個知識體系及其內(nèi)在聯(lián)系有了清晰的認識，對具體內(nèi)容的學習方法有了明確的思路，學生普遍反映高等數(shù)學不再難學了.

2 運用比較教學法，掌握高等數(shù)學中的重點概念

高等數(shù)學中概念多且抽象難懂，教學中要花費很多時間講解概念，但最終效果仍然不理想.經(jīng)過長期摸索實踐，引入比較教學法，比較概念間的聯(lián)系和區(qū)別，從現(xiàn)象到本質(zhì)、全方位地加深對概念的理解和認識.

2.1 一元函數(shù)極限和二元函數(shù)極限的概念

極限是高等數(shù)學中最重要的概念，導數(shù)和積分都是極限，因此深刻理解極限概念，對能否學好高等數(shù)學有著至關(guān)重要的作用.在掌握了一元函數(shù)極限的定義后，通過運用比較教學法，學習二元函數(shù)極限，見表1.

表1 一元函數(shù)與二元函數(shù)極限定義的比較

2.2 一元函數(shù)導數(shù)和二元函數(shù)偏導數(shù)的概念

導數(shù)是高等數(shù)學中的重要概念，是高等數(shù)學教學中的重點內(nèi)容.掌握導數(shù)的實質(zhì)是學好高等數(shù)學微分學的基礎(chǔ).

從表2可知，無論是一元函數(shù)的導數(shù)還是多元函數(shù)的偏導數(shù)，本質(zhì)上都是一個極限.但從表達形式上看，又有不同的地方.二元函數(shù)對自變量x的偏導數(shù)定義中，分子部分另一個自變量y沒有發(fā)生變化.二元函數(shù)對一個自變量x求偏導數(shù)時，相當于把另一個自變量看作常數(shù)，這樣就完全轉(zhuǎn)化成了一元函數(shù)的求導問題.一元函數(shù)導數(shù)和多元函數(shù)偏導數(shù)形式上雖然差別很大，經(jīng)過比較可發(fā)現(xiàn)兩概念間的本質(zhì)聯(lián)系.

高等數(shù)學中還有許多概念可以進行比較，比如數(shù)列極限和函數(shù)極限，一元函數(shù)極值和二元函數(shù)極值，一元函數(shù)微分和二元函數(shù)微分等，通過比較，尋找異同，抓住概念間最本質(zhì)的聯(lián)系和區(qū)別，從而對概念有更深刻的認識.

表2 一元函數(shù)導數(shù)和二元函數(shù)偏導數(shù)的比較

3 運用比較教學法，突破高等數(shù)學中的難點

高等數(shù)學中的積分包括定積分、二重積分、三重積分、兩類曲線積分和兩類曲面積分，積分類型多，表達形式復(fù)雜，是教學中的難點.它們之間的關(guān)系更是困擾學生學習的絆腳石.運用比較教學法，可有效突破教學中的難點.

3.1 5種積分宏觀比較

高等數(shù)學中積分概念多，抽象難懂，對5種積分從引入實例、積分實質(zhì)、積分域和計算4個方面進行比較，見表3.

表3 不同積分的比較

表3中把學過的幾種積分放在一起，比較它們的異同.在引入時所用的實例各不相同，但是它們的實質(zhì)都是一個極限，都是通過大化小、常代變、取極限這3個步驟得到的極限.它們的積分域不同，導致它們是不同的積分類型.二重積分、三重積分、曲線積分和曲面積分的計算都是要化為定積分來計算.通過宏觀比較，對5種積分有了整體的認識.每種積分如何化成定積分，如何確定每個積分的上下限，這就需要進一步做更細致的微觀比較.

3.2 兩類曲線積分的微觀比較

對兩類曲線積分進行微觀比較，見表4.

表4 兩類曲線積分的比較

表4從定義、聯(lián)系和計算3個方面給出了兩類曲線積分之間的關(guān)系.兩類曲線積分之間可以互化，它們都可以轉(zhuǎn)化為定積分來計算，但是具體轉(zhuǎn)化的過程又不完全相同，對弧長的曲線積分在轉(zhuǎn)化為定積分時要進行3個代換，要把x,y,ds都化成關(guān)于參數(shù)的部分，并且化成的定積分中下限一定小于上限.對坐標的曲線積分在化為定積分的過程中，只需把x,y化成關(guān)于參數(shù)的表達式，但是有方向，所以定積分的下限不一定小于上限.通過對比，對上述兩類曲線積分有了清晰的認識，既找到了相同的地方，又找到了不同之處.

3.3 兩類曲面積分的微觀比較

以3.2同樣步驟,對兩類曲面積分進行微觀比較，見表5.

表5 兩類曲面積分的對比

通過上述的宏觀和微觀比較，對積分已經(jīng)有了比較清晰的認識.

圖1 各種積分之間的關(guān)系

3.4 各種積分關(guān)系的比較

既然都是積分，它們之間一定是有聯(lián)系的.高等數(shù)學中的三大公式把它們緊密聯(lián)系在一起，通過圖1給出它們之間的聯(lián)系.

Green公式把曲線積分和二重積分聯(lián)系起來，Gauss公式把曲面積分和三重積分聯(lián)系起來，Stokes公式把曲線積分和曲面積分聯(lián)系起來.通過這三大公式把幾種積分聯(lián)系起來，從而突破了高等數(shù)學中最困難的部分.

比較教學法在高等數(shù)學中還有很多應(yīng)用，如果深入地挖掘并引導學生學會比較，不僅能提高教學效率，還能激發(fā)學生的求知欲，提高學生的創(chuàng)新能力.