基于自適應(yīng)數(shù)據(jù)的GM(1,1)模型背景值優(yōu)化方法

吳文澤, 黃仁帥，張濤

1.百色學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，廣西 百色 533000 ;2. 廣西科技大學(xué)理學(xué)院，廣西 柳州 545006

為了解決不確定或有限小樣本的問題，Deng[1]提出了灰色預(yù)測模型，GM(1,1)模型是灰色預(yù)測的核心和基礎(chǔ)部分.作為一種數(shù)學(xué)模型，GM(1,1)模型已經(jīng)被廣泛應(yīng)用到經(jīng)濟(jì)、管理和工程等眾多領(lǐng)域[2～6].

模型預(yù)測精度與背景值構(gòu)造關(guān)系密切，許多學(xué)者提出了背景值優(yōu)化的方法.如：Tang[7]提出了一種近似逼近[k-1,k]區(qū)間的積分面積的背景值構(gòu)造方法；Wang[8]通過對GM(1,1)模型的誤差分析，利用具有非齊次指數(shù)規(guī)律的離散數(shù)據(jù)擬合累積序列，提出了一種優(yōu)化背景值的新方法；Zhang[9]提出了基于粒子群優(yōu)化算法搜尋最優(yōu)背景值的方法；Liu[10]提出一種結(jié)合初始值和背景值優(yōu)化方法以提升模型的預(yù)測精度等等.

在現(xiàn)有研究的基礎(chǔ)上，本文提出一種自適應(yīng)數(shù)據(jù)的優(yōu)化背景值的方法，極小化預(yù)測值和實(shí)際值的偏差搜尋最優(yōu)的αopt，構(gòu)造新的背景值，提高GM(1,1)模型的預(yù)測性能，該方法便于理解且容易實(shí)現(xiàn).數(shù)值模擬結(jié)果表明，所提出的方法能夠提高GM(1,1)模型的預(yù)測精度.

1 模型探究

1.1 傳統(tǒng)GM(1,1)模型

令

1.2 GM(1,1)模型背景值優(yōu)化

對于GM(1,1)模型的實(shí)際背景值z(1)(k)，討論其幾何意義[ ].在區(qū)間[k-1,k]區(qū)間內(nèi)對白化微分方程兩邊求積分

(1)

不難發(fā)現(xiàn)，背景值的無偏的準(zhǔn)確形式為

(2)

(3)

其中，k=1,2,...,n,αopt為最優(yōu)權(quán)重.

1.3 優(yōu)化GM(1,1)模型的構(gòu)建

(1)白化微分方程的時間響應(yīng)方程為x(1)(t)=(x(0)(1)-b/a)e-a(t-1)+b/a.

2 數(shù)值模擬

為了驗(yàn)證所提出方法的有效性，本文采用指數(shù)函數(shù)f(t)=ηeλt生成模擬數(shù)據(jù)序列[11].令η=2和λ=0.4,則指數(shù)函數(shù)為f(t)=2e0.4t，當(dāng)t=1,2,...,7時，生成建模數(shù)據(jù)如表1所示.為了比較兩種模型的精度，本文選取前五個模擬數(shù)據(jù)作為建模樣本，借助MATLAB軟件，迭代式(3)的過程104次，找出最優(yōu)α為0.533 3，總偏差Q=0.001 3,迭代過程如圖1所示.

建立傳統(tǒng)GM(1,1)模型并得到其參數(shù)及灰色微分方程的時間響應(yīng)函數(shù)為

建立優(yōu)化GM(1,1)模型得到其參數(shù)及灰色微分方程的時間響應(yīng)函數(shù)為

通過計算可以得到兩種模型的預(yù)測值以及模型產(chǎn)生的相對誤差(表2)，以及兩種預(yù)測效果圖(圖2，圖3).從表2不難發(fā)現(xiàn)，兩種模型的預(yù)測表現(xiàn)都十分良好，產(chǎn)生的相對誤差均小于經(jīng)驗(yàn)給出的高精度閾值10 %；優(yōu)化GM(1,1)模型預(yù)測產(chǎn)生的相對誤差遠(yuǎn)小于傳統(tǒng)GM(1,1)模型預(yù)測產(chǎn)生的相對誤差；隨著t的增加，模型預(yù)測產(chǎn)生的誤差呈遞增的趨勢.從圖2和圖3可以發(fā)現(xiàn)，優(yōu)化GM(1,1)模型預(yù)測值更接近實(shí)際值，且產(chǎn)生的誤差更加趨近于0，表明所提出的方法能夠顯著提高模型的預(yù)測性能.

表1 指數(shù)函數(shù)生成的模擬數(shù)據(jù)Tab.1 Simulation data from exponential function

圖1α對Q的影響
Fig.1 effects of parameterαonQ

圖2 兩種模型的預(yù)測值Fig.2 Predicted values from the two models圖3 兩種模型產(chǎn)生的相對誤差Fig.3 Relative errors from the two models

表2 兩種模型的預(yù)測結(jié)果Tab.2 Prediction performance of the two models

3 結(jié)束語

GM(1,1)模型作為灰色預(yù)測模型的基礎(chǔ)和核心，有效解決了不確定、有限樣本預(yù)測問題，但仍然存在改進(jìn)的空間.本文在已有的文獻(xiàn)中，提出一種自適應(yīng)數(shù)據(jù)的背景值優(yōu)化方法，該方法便于理解和易于實(shí)現(xiàn)，同時能提高預(yù)測的精度.研究表明，該方法是有效和適用的.