二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)密度的求解技巧探討

阮傳同，譚 偉

(周口師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 周口 466001)

概率論[1]作為一門主要研究隨機(jī)現(xiàn)象的基礎(chǔ)理論，越來越受到社會(huì)各界的關(guān)注，已經(jīng)成為高等院校大部分專業(yè)必修的基礎(chǔ)課．概率論其實(shí)不是一門枯燥的學(xué)問[2]，它與實(shí)際密切相連．此外，授課時(shí)需要掌握一些技巧[3]．二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布，歷來都是考研的必考內(nèi)容，既是一個(gè)重點(diǎn)又是一個(gè)難點(diǎn)，它綜合地考查了數(shù)學(xué)分析和概率論的知識(shí)．而且函數(shù)類型各式各樣，出題比較靈活，對(duì)于這一章節(jié)，也有不少學(xué)者對(duì)此進(jìn)行過研究[4-5]，但介紹得不夠全面．根據(jù)筆者多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，本文通過一個(gè)特殊的例子，總結(jié)了目前為止求解此類型問題的所有方法．讓其對(duì)同一個(gè)問題，百花齊放、百家爭(zhēng)鳴、美不勝收，在學(xué)生應(yīng)接不暇之際，掌握了函數(shù)分布的精髓．對(duì)于實(shí)際應(yīng)用中的問題，總有一種方法適合它．如果能帶領(lǐng)學(xué)生玩轉(zhuǎn)這一塊知識(shí)，學(xué)生就會(huì)頓生“曾經(jīng)滄海難為水，除卻巫山不是云”之感，概率論其他章節(jié)的學(xué)習(xí)就會(huì)變得那樣的輕松自如．

有這樣一道例題，設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的密度函數(shù)為

求Z=X+Y的分布密度．

1 分布函數(shù)法

根據(jù)X,Y的密度的非零區(qū)域，找出Z的非零區(qū)域，利用F(z)=P(Zz)求出Z的分布函數(shù)F(z)．因?yàn)閒(z)=F′(z)，對(duì)分布函數(shù)求導(dǎo)即可求出密度函數(shù)．

解法如下：

因?yàn)棣竂=(0,1)，ΩY=(0,1)，所以ΩZ=(0,2)．

而隨著z的不同，z=x+y是斜率為-1的直線族，如圖1所示．

圖1 分布函數(shù)法積分區(qū)域示意圖

當(dāng)z0時(shí)，F(xiàn)(z)=P(Zz)=0．

當(dāng)0

F(z)=P(Zz)=P(X+Yz)

當(dāng)z≥2時(shí)，

F(z)=P(Zz)=1.

因此分布函數(shù)為

F(z)=

又因?yàn)閒(z)=F′(z)，所以

2卷積公式法

對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量和的分布，有卷積公式：

解法如下：

在卷積公式的積分中，只有密度函數(shù)不為0時(shí)，積分值才不為0．

因此只需

不等式組(1)的結(jié)果和z的取值密切相關(guān)．

當(dāng)0

當(dāng)z0或z≥2時(shí)，式(1)為空集φ，則

因此

3增補(bǔ)變量法

若

則(U,V)的聯(lián)合密度函數(shù)為

f(u,v)=f(x(u,v),y(u,v))|J|

然后再求出u的邊際密度即是要求的結(jié)果．

解法如下：

令

則

故

f(z,v)=f(x(z,v),y(z,v))|J|

圖2 增補(bǔ)變量法積分區(qū)域示意圖

根據(jù)邊際密度的求法，可知

當(dāng)0

當(dāng)z0或z≥2時(shí)，

因此

4 密度規(guī)范法

設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為f(x,y)，令z=g(x,y)，若有

利用密度函數(shù)的規(guī)范性，可知f(z)就是Z=g(X,Y)的密度函數(shù)．

解法如下：

因?yàn)?/p>

圖3密度規(guī)范法積分區(qū)域示意圖

可以看出

他們從不同的角度映射出函數(shù)分布的本質(zhì)，能更好地讓學(xué)生加深對(duì)其的理解，看到一行行算式，也發(fā)現(xiàn)概率也是那樣的美．對(duì)于同一個(gè)問題，采用不同的解法，可以看出隨機(jī)變量函數(shù)的分布也不是孤立的知識(shí)點(diǎn)，與其他章節(jié)也有著千絲萬縷的聯(lián)系．比較幾種方法，分布函數(shù)法是最容易想到的方法，但計(jì)算比較復(fù)雜，計(jì)算量大．最后一種方法，還沒有人用過，通過試驗(yàn)，也是一種可行的方法，以后的教學(xué)過程中，會(huì)逐漸讓學(xué)生理解此方法，讓學(xué)生學(xué)好隨機(jī)變量函數(shù)之余，也感慨密度函數(shù)的規(guī)范性還有如此妙用．以上是個(gè)人的一些看法，總之，視野越開闊，授課就會(huì)越輕松．