論淺埋偏壓隧道圍巖垂直壓力的分布規(guī)律

吳志剛，李定越

（1.中國(guó)公路工程咨詢集團(tuán)有限公司，北京100078；2.中鐵第四勘察設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司，武漢430063）

1 存在的問(wèn)題

淺埋偏壓隧道襯砌所承受的圍巖垂直壓力的計(jì)算方法，在現(xiàn)行TB 10003—2016《鐵路隧道設(shè)計(jì)規(guī)范》[1]及JTG D70-2—2014《公路隧道設(shè)計(jì)規(guī)范》附錄F中有詳細(xì)的論述。在導(dǎo)坑跨度B范圍內(nèi)垂直壓力總量Q附錄F給出的計(jì)算式為：

式中，h、h′為內(nèi)、外側(cè)由拱頂水平至地面的高度，m；B為坑道跨度，m；γ為圍巖重度，kN/m3；θ為頂板土柱兩側(cè)摩擦角，（°）；λ、λ′為內(nèi)、外側(cè)的側(cè)壓力系數(shù)。

但對(duì)垂直壓力在B范圍內(nèi)如何分布，沒(méi)有給出表達(dá)式，只給了這樣的說(shuō)明“假定偏壓分布圖形與地面坡一致”，這是一種圖解的方式，即垂直壓力的分布線與地面坡平行[2]。若進(jìn)行結(jié)構(gòu)內(nèi)力計(jì)算，無(wú)論是采用有限元法還是結(jié)構(gòu)力學(xué)法，對(duì)分布荷載必須有一個(gè)荷載分布的數(shù)學(xué)表達(dá)式，才能進(jìn)行確切的計(jì)算。

現(xiàn)在討論在給出了垂直壓力總量Q的計(jì)算式及假定偏壓分布圖形與地面坡一致的2個(gè)條件的情況下，能不能得出確定的垂直壓力分布的表達(dá)式。

在隧道中線拱頂處設(shè)坐標(biāo)零點(diǎn)，豎向Y軸代表垂直荷載值，水平X軸代表隧道寬度。用qx表示垂直荷載的分布函數(shù)，從偏壓分布圖形與地面坡一致的條件可得出qx是直線函數(shù)，從γ和h的單位能推出的單位是kPa，X軸的單位是m。直線函數(shù)的一般表達(dá)式是:

式中，a和q0為待定常數(shù)。由于是討論圖解方式，繪制直線函數(shù)的圖形時(shí)，要考慮比例系數(shù)k，即在繪圖時(shí)，取Y軸上每單位長(zhǎng)度代表k（kPa）的荷載值，k值可以根據(jù)圖解需要任意選取。將式（2）轉(zhuǎn)換為：

設(shè)qtx=qx/k，則：

下面利用上述2個(gè)條件求a和q0。

從垂直壓力總量為Q，考慮了繪圖比例系數(shù)k后，得出：

從式（4）及定積分的計(jì)算可得出：

即q0B/k=Q/k，q0=Q/B。由于Q、B都是常數(shù)，故q0是可以確定的。從偏壓分布圖形與地面坡一致的條件，并設(shè)地面坡度為1∶m，可得出：

從式（4）可知，dqtx/dk=a/k，可求出a=k/m則：

這就是用來(lái)作圖的直線方程，斜率與地面坡相同。只要取定k值，就可以作出平行于地面坡的直線。但qtx只是圖解時(shí)x點(diǎn)的豎向線段長(zhǎng)度，求出函數(shù)的原值時(shí)要乘以k，即分布函數(shù)為：

由于k可以取任意正數(shù)，故k/m的值有無(wú)限多個(gè)，k/m值是不確的，它的不確定引起qx的值也不確定，隨著k值變動(dòng)而變動(dòng)。也就是說(shuō)，在給出了垂直壓力總量Q的計(jì)算式及假定偏壓分布圖形與地面坡一致的2個(gè)條件后，并不能確定垂直壓力分布的表達(dá)式。由于不能確定表達(dá)式，圖解的結(jié)果也是不確定的。

2 尋求垂直壓力的分布規(guī)律

從上文所述可知，附錄F給出的條件無(wú)法確定垂直荷載分布的表達(dá)式，不僅用表達(dá)式計(jì)算無(wú)法進(jìn)行，圖解也做不了。為了使計(jì)算順利進(jìn)行，必須求出垂直荷載分布的表達(dá)式，找到垂直壓力的分布規(guī)律[3]。尋求垂直荷載分布的表達(dá)式可以參照垂直壓力分塊計(jì)算的原理，進(jìn)行推演求出。垂直壓力由洞頂以上土體重量減去土體兩側(cè)的摩擦力得出，也可以認(rèn)為是洞頂以上土體重量乘以一個(gè)折減系數(shù)得出,即：

式中，Wt為B范圍內(nèi)洞頂以上土體的重量。

設(shè)h0=（h+h′）/2 則：Wt=γB（h+h′）/2=γh0B，由于Wt、Q都是常數(shù)，可設(shè)定一個(gè)折減系數(shù)c=Q/Wt，則Q=Wtc。由此，對(duì)于0～x段的垂直壓力總量可以寫(xiě)為：

式中，Wx為0～x段的土體重量。

Wx=γ（2h0+x/m）x/2，則Qx=γ（2h0+x/m）xc/2，qx=dQx/dx=γc/mx+γch0，化簡(jiǎn)后得：

式中，hx為X軸上任意一點(diǎn)x的土柱高度，m。式（10）是垂直荷載分布的簡(jiǎn)約形式。為了計(jì)算方便，將式（10）轉(zhuǎn)換為x的函數(shù)：

式中的q0與式（4）的q0相同。

經(jīng)過(guò)上述推演，得出了垂直壓力分布的表達(dá)式如式（10）、式（12）所示，揭示了淺埋偏壓隧道圍巖垂直壓力的分布規(guī)律。

3 “偏壓分布圖形與地面坡一致”的假定值得商榷

得出了式（10）、式（12）的表達(dá)式后，為偏壓垂直荷載的數(shù)字化計(jì)算和圖解方式提供了依據(jù)?，F(xiàn)在分析按照式（12）式得出的偏壓分布圖形有什么規(guī)律。為了在圖解方式上說(shuō)明此問(wèn)題，引入比例系數(shù)k，將式（12）變成作圖用的直線方程：

式（13）的一次項(xiàng)系數(shù)為γc/km，一次項(xiàng)系數(shù)即為直線函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，為直線的斜率。斜率要等于1/m直線函數(shù)才能平行地面坡，由于k可以任意取值，一般情況下，γc/k不等于1，有無(wú)數(shù)個(gè)k值做圖解，偏壓分布圖形都不會(huì)與地面坡一致，也就是說(shuō)“偏壓分布圖形與地面坡一致”的假定一般情況下是不正確的。

4 結(jié)論

垂直壓力是由洞頂以上土體重量減去土體兩側(cè)的摩擦力得出，淺埋偏壓隧道圍巖垂直壓力的分布規(guī)律可用公式qx=γc/mx+q0進(jìn)行計(jì)算和圖解，無(wú)需提“偏壓分布圖形與地面坡一致”的假定。