淺談求不定積分的第一換元積分法

楊付貴

摘 要：在微積分中，已知函數(shù)需要求它的導(dǎo)數(shù)或微分。而在實(shí)際應(yīng)用中，大多數(shù)情況是已知函數(shù)需要求它的積分，即微分法的逆運(yùn)算——積分。由于在積分學(xué)中，不定積分是定積分、重積分、曲線積分和曲面積分的基礎(chǔ)，因此，學(xué)好不定積分十分重要。然而，在學(xué)習(xí)不定積分過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，不定積分不像求導(dǎo)數(shù)或微分那樣直觀和“有章可循”。不定積分看似形式多樣，變幻莫測(cè)，但并不是毫無(wú)解題規(guī)律可言。在教學(xué)中，如何采用簡(jiǎn)單可行的方法，本文根據(jù)自己多年來(lái)在教學(xué)和學(xué)習(xí)過(guò)程中經(jīng)驗(yàn)和體會(huì)，對(duì)不定積分的第一換元積分法的解法首先做了簡(jiǎn)介，然后進(jìn)行歸納和總結(jié)。為讀者在學(xué)習(xí)不定積分的第一換元積分法時(shí)提供思路。文中如有錯(cuò)誤之處，望讀者批評(píng)指正。

關(guān)鍵詞：不定積分；換元法；湊微分法。

不定積分的換元積分法分為第一換元法（湊微分法）、第二換元法兩種基本方法。而在解題過(guò)程中我們更加關(guān)注的是什么時(shí)候使用第一換元法，什么情況下使用第二換元法，以及如何換元，通常情況下一種好的換元方法會(huì)讓題目的解答變得簡(jiǎn)便。由于不定積分的第一換元積分法（湊微分法）是不定積分學(xué)中的一類非常重要的、基本的計(jì)算積分的方法。也是不定積分中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)。學(xué)生們?cè)趯W(xué)習(xí)（或復(fù)習(xí)）不定積分的第一換元法（湊微分法）法時(shí)，對(duì)其使用并不熟練，特別是對(duì)于普通高校文科的學(xué)生以及民辦高校的學(xué)生，用第一換元法（湊微分法）解題的技巧表現(xiàn)得更生硬，他們不知道什么時(shí)候用不定積分的第一換元積分法（湊微分法），如何換元，以及怎樣才能夠更加熟悉，掌握，應(yīng)用第一換元積分法。下面我結(jié)合自己近四十年，在各高校講授高等數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)和體會(huì)，談一下第一換元積分法（湊微分法）的基本思想，然后通過(guò)舉例，詳細(xì)介紹不定積分第一換元積分法的求解方法及使用要點(diǎn)與技巧。最后進(jìn)行歸納，總結(jié)。僅供大學(xué)生學(xué)習(xí)不定積分的第一換元積分法（湊微分法）時(shí)參考。

一.第一換元法（湊微分法）的基本思想

第一換元積分法也稱為湊微分法。它是求不定積分的一種非常重要的方法，對(duì)于給定的 直接積分比較困難，而積分 較容易積分，使用第一換元法關(guān)鍵是想辦法從被積表達(dá)式中湊出一個(gè)積分變量，將所給積分變成一個(gè)外函數(shù) 易積，內(nèi)函數(shù) 可微的積分，也就是說(shuō)從被積函數(shù)分g（x）中分離出一個(gè)因子 ，即 使 和 湊成某函數(shù)的微分 ， 然后，令 ，則有

而積分 或是基本積分表中的某一形式，或可以用其它積分法容易求得，最后再變量還原（當(dāng)然，這里也可以不用引進(jìn)中間變量u，而直接將

看成中間變量即可 ）。從而求得原不定積分。所以，第一換元積分法也稱為湊微分法。因此，要掌握第一換元積分法，就必須十分熟悉基本積分公式表，知道什么樣的積分事基本積分公式表中有的，什么樣的積分是基本積分公式表中沒(méi)有的，只有這樣，才能將所給的積分湊成積分基本積分公式表中的某一種形式。

二.第一換元法（湊微分法）的積分舉例

例1：求

解：顯然，用直接積分法求解很麻煩，需要將被積函數(shù)利用二項(xiàng)式展開(kāi)成101項(xiàng)，然后利用不定積分的性質(zhì)，對(duì)這101項(xiàng)函數(shù)分別積分，這樣做非常麻煩。那么，我們能不能把積分 湊出基本積分公式表中的某一形式呢？我們不妨試試看。由于 形式上和基本積分公式表中的 很相似，所以，我們不妨試著向積分 的方向湊。由于

，所以 （令 ）

，這樣

到此積分做完了嗎？由于原來(lái)的積分變量是 x ，現(xiàn)在為u，務(wù)必要變量還原。將 代入，最后得到：

注1：使用不定積分的第一換元法（湊微分法），最后結(jié)果中，一定要將變量還原。

注2：對(duì)第一換元法較熟練后，也可以不用引進(jìn)中間變量 u ，而直接將 看成中間變量即可。

例2：求

解：顯然直接積分很困難，那么能否用第一換元積分法呢？如果能用，又如何湊微分呢？

我們不妨試試看。由于 ，所以

，從而有

例3：求

解：顯然直接積分不行，那么能否用第一換元積分法呢？如果能用，又如何湊微分呢？

我們一定會(huì)想到積分公式 而這里有點(diǎn)不同的是a2 與1不同，因此，我們想辦法把原積分變成這種形式，很簡(jiǎn)單，只要把a(bǔ)2提出來(lái)即可。即

例4：求

解：顯然查表查不到，我們也想用第一換元積分法，那么又如何湊微分呢？由于 我們不妨試一試把 cosx放到d的后面，當(dāng)然有時(shí)不一定能成功，我們可以多湊幾次。

。 （類似地，可求得

）

例5：求

解：顯然，我們不妨用半角公式來(lái)降冪試試看。

注3：對(duì)于 ， 的偶次方的不定積分，比如 ，

等等，他們都有一個(gè)固定的方法，即用半角公式來(lái)降冪去求不定積分。

例6：求

解：由于被積函數(shù)是 與 的乘積，所以我們不妨將

分成 ，而試著把 湊成 ，再把

代入，則原積分就變成了以 為變量的不定積分了。即

例7：求

解：由于被積函數(shù)是 與 的乘積，我們不妨用積化和差公式來(lái)嘗試一下，

注4：對(duì)于被積函數(shù)是 的積分，它們有一個(gè)固定的方法，就是利用積化和差公式，然后再利用第一換元積分法來(lái)求積分。

例8：求

解：做這個(gè)題的方法不是唯一的，它和求導(dǎo)不同。我們知道求導(dǎo)數(shù)一般只有一種方法，而積分則不然，當(dāng)然積分結(jié)果也可能不一致，那么怎么判斷積分結(jié)果對(duì)不對(duì)呢？方法很簡(jiǎn)單，就是將結(jié)果求導(dǎo)數(shù)，若導(dǎo)數(shù)是被積函數(shù)，則結(jié)果正確，否則，結(jié)果不正確?，F(xiàn)在我們給出這個(gè)題的一種解法。

例9：求

解：這個(gè)題很典型，方法也不是唯一的，現(xiàn)在我們也給出這個(gè)題的一種一般性解法。希望讀者有意識(shí)的學(xué)會(huì)它。