固高球桿控制模型的建模與分析

任宏宇

摘 要：當(dāng)代社會(huì)，自動(dòng)控制的思想已經(jīng)滲透到生活的方方面面，在軍事、航空、工業(yè)、農(nóng)業(yè)和手工業(yè)等各個(gè)方面都廣泛應(yīng)用。而自動(dòng)控制系統(tǒng)中最常見(jiàn)的是二階系統(tǒng)，二階系統(tǒng)的種類(lèi)有很多，本文主要以最典型的二階系統(tǒng)之一固高球桿模型為列具體介紹其建模過(guò)程。

關(guān)鍵詞：自動(dòng)控制 二階 固高球桿模型 建模

1 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立

典型的球桿系統(tǒng)主要由兩個(gè)部分組成，分別是控制部分和執(zhí)行部分。在執(zhí)行部分中，橫桿由一根帶刻度的鋼桿和一個(gè)直線(xiàn)位移傳感器構(gòu)成，并保證橫桿的一端保持不動(dòng)，而另一端通過(guò)杠桿臂與減速齒輪邊緣相連，可以保證其上下轉(zhuǎn)動(dòng)。如果橫桿的傾斜角與水平面夾角成時(shí)，小球?qū)?huì)由于重力沿橫桿滾動(dòng)。只要通過(guò)控制部分控制橫桿與水平面的夾角，就可以進(jìn)一步控制小球在橫桿上的位置，橫桿傾斜角度的控制是通過(guò)調(diào)節(jié)電機(jī)的轉(zhuǎn)速來(lái)完成的?？刂撇糠职↖PM100智能控制器、計(jì)算機(jī)、傳感器、光電碼盤(pán)等組成，是基于由DSP控制技術(shù)的36 V、3 A智能伺服驅(qū)動(dòng)單元。球桿運(yùn)動(dòng)的具體過(guò)程為：小球的位置通過(guò)線(xiàn)性傳感器采集信號(hào)反饋給控制單元，控制單元由位置誤差公式計(jì)算控制量，從而控制電機(jī)使減速齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)角度，從而進(jìn)一步控制橫桿的傾斜角，讓小球穩(wěn)定到指定位置。

傳統(tǒng)的球桿系統(tǒng)是一個(gè)開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定的系統(tǒng)，其精確的數(shù)學(xué)模型很難準(zhǔn)確建立，為此我們需要做一些簡(jiǎn)化。為了便于分析，將球桿系統(tǒng)的模型分為三部分： 機(jī)械模型，角度模型和電機(jī)模型。 機(jī)械模型用來(lái)反映小球的位置和橫桿傾斜角之間的關(guān)系，角度模型用來(lái)反映橫桿傾斜角和減速齒輪轉(zhuǎn)角的關(guān)系，電機(jī)模型用來(lái)反映電機(jī)的電壓和減速齒輪轉(zhuǎn)角的關(guān)系。

1.1 機(jī)械模型。通過(guò)受力分析小球在橫桿上應(yīng)受到三個(gè)力的作用： 第一個(gè)為重力作用產(chǎn)生的沿著軸向下的力，第二個(gè)為使小球產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)的力以及第三個(gè)讓小球在橫桿上滾動(dòng)時(shí)受到的摩擦力 。其三個(gè)力的表達(dá)式分別如下：

（1）

（2）

（3）

式中，為橫桿的傾斜角，為小球的質(zhì)量，為重力加速度，為小球的加速度，為橫桿和小球的靜摩擦系數(shù)。依據(jù)牛頓第二定律可得：

（4）

由于小球在橫桿上運(yùn)動(dòng)時(shí)，其與橫桿的滑動(dòng)摩擦力很小，因此可以忽略不計(jì)，另外當(dāng)時(shí)， ，則方程（4）可簡(jiǎn)化為：

（5）

對(duì)上式進(jìn)行拉普拉斯變換得：

（6）

1.2 角度模型。球桿模型中由于橫桿與水平面的夾角和減速齒輪轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系是非線(xiàn)性的、靜態(tài)的，可以近似為：

（7）

上式中，為杠桿臂與減速齒輪的連接點(diǎn)到齒輪中心的距離，為橫桿的長(zhǎng)度。

1.3 電機(jī)模型 。直流電機(jī)是該球桿系統(tǒng)的唯一的動(dòng)力源，我們?cè)O(shè)法通過(guò)控制調(diào)整轉(zhuǎn)速來(lái)控制減速齒輪轉(zhuǎn)角的大小，進(jìn)而影響小球在橫桿上的位置?？紤]到系統(tǒng)中的電機(jī)響應(yīng)速度相當(dāng)快且減速齒輪轉(zhuǎn)角對(duì)電壓的響應(yīng)也很快。因此，可將此電機(jī)模型近似為一個(gè)純比例增益 。從而整個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)由以上三部分構(gòu)成， 由此可以得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下：

（8）

一般情況下，可將的值近似為1，則可近似為：

（9）

總 結(jié)

此方法通過(guò)建立多個(gè)數(shù)學(xué)模型間接地將固高球桿模型的基本原理表示清楚，將實(shí)際模型與理論推導(dǎo)緊密結(jié)合，巧妙地簡(jiǎn)化模型可以更好的理解和仿真二階系統(tǒng)。另外，在實(shí)際地簡(jiǎn)化過(guò)程中，做出必要的近似也是一個(gè)非常好的手段，這樣不僅可以得到想要的結(jié)果，還省去了不必要的計(jì)算。對(duì)于一般的系統(tǒng)而言，如果只是想要弄清楚其原理的話(huà)，這樣的方法是非常實(shí)用而高效的。自動(dòng)控制原理中的二階系統(tǒng)種類(lèi)繁多，但其原理都大同小異，本文所選擇的二階模型是最典型的二階系統(tǒng)模型之一，讀者可以以此為基礎(chǔ)，自行深入學(xué)習(xí)其他二階模型的建立過(guò)程與分析方法。

2? 原系統(tǒng)的校正算法

通過(guò)這一系列的模型建立，我們已經(jīng)大致了解了該模型的原理，下一步我們對(duì)此模型進(jìn)行時(shí)域和頻域分析，從而判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性及各項(xiàng)性能指標(biāo)。這里的系統(tǒng)仿真可以借助matlab軟件中的Simulink元件庫(kù)進(jìn)行，這個(gè)元件庫(kù)使用起來(lái)方便快捷，有很多人性化的設(shè)計(jì)，非常適合初學(xué)者嘗試。如果想要對(duì)原系統(tǒng)的性能進(jìn)行改善，我在這里為大家介紹幾種常見(jiàn)的系統(tǒng)校正方式，例如pid算法、大林算法、最小拍無(wú)紋波控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、模糊控制等。這些校正算法各有優(yōu)缺點(diǎn)，平常實(shí)際控制領(lǐng)域應(yīng)用最多的是pid算法，它最大的優(yōu)點(diǎn)是不需要完全求出原系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，而是通過(guò)不斷改變?cè)O(shè)定值來(lái)查看實(shí)際效果與目標(biāo)效果之間的差距，并努力消除這個(gè)誤差。Pid算法被廣泛應(yīng)用的另一個(gè)原因就是其原理簡(jiǎn)單，p代表比例控制，適當(dāng)?shù)脑龃髉可以加快系統(tǒng)的響應(yīng)速度，使系統(tǒng)的上升時(shí)間縮短，但是如果p太大則會(huì)導(dǎo)致超調(diào)量增大從而引起系統(tǒng)穩(wěn)定性下降，反而對(duì)系統(tǒng)不利;i代表積分控制，增大i可以減小穩(wěn)態(tài)誤差，提高系統(tǒng)穩(wěn)定性;而d代表微分控制，增大d可以快速減小系統(tǒng)超調(diào)量，使系統(tǒng)快速穩(wěn)定，提高其動(dòng)態(tài)性能。在比例積分微分三者的共同作用下，一般控制系統(tǒng)往往能夠滿(mǎn)足要求，常用的還有pi控制和pd控制。其他算法就不再一一例舉。

3? 擾動(dòng)和反饋

很多情況下，一般系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)控制是不穩(wěn)定的，如果一旦有擾動(dòng)信號(hào)加入，系統(tǒng)便立刻開(kāi)始不穩(wěn)定。故在設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)需要人為地加入負(fù)反饋，這樣便可以使系統(tǒng)在受到擾動(dòng)信號(hào)干擾時(shí)系統(tǒng)震蕩小，不至于不穩(wěn)定。不同的系統(tǒng)需要引入的反饋也不同，普通系統(tǒng)一般在仿真時(shí)可以利用單位階躍信號(hào)來(lái)進(jìn)行反饋。而常見(jiàn)的干擾信號(hào)有單位階躍、單位脈沖、單位速度、單位加速度以及隨機(jī)擾動(dòng)等，種類(lèi)繁多。

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