船舶軸頻電場跟蹤*

孫寶全，顏 冰，張伽偉，姜潤翔

(海軍工程大學(xué) 兵器工程學(xué)院， 湖北 武漢 430033)

船舶軸頻電場與船舶靜態(tài)電場一樣是船舶重要的水下電場信號，相比于船舶靜態(tài)電場，軸頻電場頻率低、傳播距離遠(yuǎn)，具有明顯的線譜特征[1-2]。軸頻電場信號的包絡(luò)可視為準(zhǔn)靜態(tài)電場信號，可以由水平電偶極子反演得到[3]，其中包含有位置信息，可以用來實(shí)現(xiàn)對船舶目標(biāo)的跟蹤定位。目前軸頻電場多用于目標(biāo)的被動探測[4-6]，而在跟蹤定位領(lǐng)域的應(yīng)用鮮見報(bào)道。在聲學(xué)環(huán)境復(fù)雜的區(qū)域，相比于聲學(xué)跟蹤定位方法，電場跟蹤所受影響相對較小，可以作為聲跟蹤定位的一個(gè)有效補(bǔ)充。以卡爾曼濾波為代表的濾波估值算法可以根據(jù)傳感器量測信息對目標(biāo)的相關(guān)參數(shù)進(jìn)行實(shí)時(shí)的估計(jì)，在目標(biāo)跟蹤領(lǐng)域獲得越來越廣泛的研究和應(yīng)用[7]。利用船舶軸頻電場對船舶進(jìn)行跟蹤主要應(yīng)用在水雷、水下預(yù)警防護(hù)系統(tǒng)中，由于此類裝備對功耗和計(jì)算資源有較高的要求，為此對濾波算法的復(fù)雜度也提出了較高的要求。相比于粒子濾波，卡爾曼濾波計(jì)算方法簡單，計(jì)算量小，更利于在水下武器中的工程化實(shí)現(xiàn)。

船舶軸頻電場的包絡(luò)可視為準(zhǔn)靜態(tài)信號，因此可以將其視為靜態(tài)電場(Static Electric field，SE)信號對其進(jìn)行建模和跟蹤。但是與靜態(tài)電場不同的是，軸頻電場包絡(luò)獲得的是電場模值，因此也丟失了一部分的方位信息。

文獻(xiàn)[8]中提出了一種在大初始誤差條件下保持濾波穩(wěn)定性的漸進(jìn)更新擴(kuò)展卡爾曼濾波(Progressive Update Extended Kalman Filter，PUEKF)。算法相比傳統(tǒng)卡爾曼濾波算法具有更好的穩(wěn)定性和收斂性。本文將以PUEKF為基礎(chǔ)，對軸頻電場包絡(luò)的跟蹤進(jìn)行研究，探索軸頻電場在船舶跟蹤的可行性以及相關(guān)問題的解決方案。

1 船舶軸頻電場包絡(luò)跟蹤問題描述

跟蹤問題狀態(tài)空間模型為[9]：

(1)

其中：xk∈Rn為k時(shí)刻的n維狀態(tài)向量；yk∈Rm為k時(shí)刻m維觀測向量；狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)a:Rn→Rn；觀測函數(shù)h:Rn→Rm；wk-1∈Rn為狀態(tài)噪聲向量，vk∈Rm為觀測噪聲向量，且wk-1～N(0,Qk-1)，vk～N(0,Rk)，Qk-1為過程噪聲協(xié)方差矩陣，Rk為觀測噪聲協(xié)方差矩陣，{wk-1}和{vk}不相關(guān)。

1.1 觀測方程

在一定距離條件下，船舶軸頻電場包絡(luò)可以用一個(gè)水平偶極子進(jìn)行模擬：

1)利用希爾伯特變換計(jì)算軸頻電場信號的峰值包絡(luò)，并對峰值包絡(luò)進(jìn)行0.5 Hz的低通濾波，得到軸頻電場信號包絡(luò)；

2)采用水平電偶極子對軸頻電場包絡(luò)信號建模；在如圖1所示的“空氣-海水-海床”三層均勻介質(zhì)條件下，任意場點(diǎn)Pf處的電位信號為[10]：

Φ(x,y,z)=Φx(x,y,z)+Φy(x,y,z)

(2)

其中：x,y,z是場點(diǎn)坐標(biāo)；x0,y0,z0是場源位置坐標(biāo)；η=(σ1-σ2)/(σ1+σ2)是海底反射系數(shù)；σ1是海水電導(dǎo)率；σ2是海床電導(dǎo)率；D為海水深度；h為坐標(biāo)系原點(diǎn)深度。r1k,r2k,r1m,r2m分別為：

圖1 空氣-海水-海床三層均勻介質(zhì)坐標(biāo)系Fig.1 Air-seawater-seabed three-layer uniform media coordinate system

那么便可以得到相應(yīng)的電場信號：

E=(Ex,Ey,Ez)=-Φ

(3)

其中，Ex,Ey,Ez分別為：

則在第j(j=1,2,…,J)個(gè)電場傳感器量測到的目標(biāo)包絡(luò)信號可建模如下：

(4)

(5)

1.2 狀態(tài)方程

根據(jù)觀測方程定義k時(shí)刻船舶目標(biāo)狀態(tài)向量：

(6)

其中，rk=[x,y,z]T，Vk=[Vx,Vy]T(忽略z方向上運(yùn)動)。

根據(jù)船舶目標(biāo)低機(jī)動假設(shè)，將船舶目標(biāo)運(yùn)動建模為離散白噪聲加速度(Discrete White Noise Acceleration, DWNA)模型，因此式(1)中a(·)為線性變換F，即：

Ts為采樣時(shí)間間隔。

2 基于最大似然選擇的多初值PUEKF

船舶軸頻電場包絡(luò)跟蹤中，單憑包絡(luò)信息無法確定船舶的起始狀態(tài)，而濾波初值的設(shè)定對于濾波算法的性能具有至關(guān)重要的影響?，F(xiàn)有的濾波算法中不論是分布近似方法(粒子濾波類)還是矩近似方法(卡爾曼濾波類)，均不能保證任意初值條件下的濾波收斂性，根本原因在于參與濾波更新的量是根據(jù)當(dāng)前一步預(yù)測狀態(tài)，因此初值與真實(shí)值之間相差過大會導(dǎo)致濾波發(fā)散。其實(shí)對于水面目標(biāo)跟蹤，濾波初值主要確定的是水面初始距離rxy,0，航行角ψ0，速度V0，電偶極矩p0，那么便可得到濾波初值為：

x0|0=[rxy,0cos(ψ0);rxy,0sin(ψ0);z0;

V0cos(ψ0);V0sin(ψ0);p0]

對于水面目標(biāo)而言，z0可由傳感器深度得出。V0可由跟蹤的目標(biāo)特性由經(jīng)驗(yàn)值進(jìn)行設(shè)定。最難確定的是rxy,0，ψ0，p0。由電場的觀測模型可知，在傳感器位置已知的情況下，|E|是r和p的函數(shù)，因此可以根據(jù)|E|設(shè)計(jì)一個(gè)r和p的初值估計(jì)方法，然后依據(jù)多初值模型基本原理[11-12]，假定多個(gè)初值起始濾波，并由最大似然法選出最優(yōu)結(jié)果。

2.1 基于最大似然選擇的多初值模型

假定目標(biāo)真值(或者濾波最優(yōu)初值)是多個(gè)可能假設(shè)初值中的一個(gè)，且概率相等，則

(7)

(8)

那么

(9)

(10)

其中

(11)

2.2 多初值模型參數(shù)確定

三層介質(zhì)下點(diǎn)電源電場公式較為復(fù)雜，根據(jù)其推算出初始目標(biāo)距離等同于濾波算法本身，為此設(shè)計(jì)一個(gè)簡化公式估計(jì)距離。

在全空間充滿電導(dǎo)率為σ的導(dǎo)體媒質(zhì)，那么場點(diǎn)處的標(biāo)量電位為：

(12)

那么對應(yīng)的電場模值為：

(13)

由恒穩(wěn)電場的鏡像理論，在空氣-海水-海底三層介質(zhì)中，位于海水中的源在海水中產(chǎn)生的靜態(tài)電場等效為無限大海水區(qū)域中，源及其通過兩個(gè)界面形成的無數(shù)個(gè)鏡像在場點(diǎn)處產(chǎn)生的電場疊加。鏡像的強(qiáng)度與源強(qiáng)度相同，只是與場點(diǎn)的距離發(fā)生了變化。為此3層介質(zhì)中電場模值的計(jì)算可以在源強(qiáng)度中加一個(gè)修正系數(shù)mx，mx可取一個(gè)經(jīng)驗(yàn)值，與海水深度有關(guān)，則

(14)

那么由此便可以根據(jù)電場強(qiáng)度模值估算距離

(15)

對于目標(biāo)源強(qiáng)度，可以根據(jù)經(jīng)驗(yàn)設(shè)置幾個(gè)可能值p(i)(i=1,2,…,K)，其中p(1)與p(K)分別對應(yīng)可能的最小和最大源強(qiáng)度。則在p(i)(i≠1,i≠K)應(yīng)在p(1)與p(K)的數(shù)值范圍之間等比例分布或者根據(jù)經(jīng)驗(yàn)設(shè)定，等比例分布可按式(16)進(jìn)行，則

此外，本研究發(fā)現(xiàn)拒絕作業(yè)治療組主要照顧者的焦慮情緒得分隨著時(shí)間有下降，但是抑郁情緒得分隨著時(shí)間卻逐漸增高，且每個(gè)時(shí)間點(diǎn)的兩兩比較均有顯著統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。臨床中抑郁的癥狀常有內(nèi)疚、自責(zé)、絕望感等，且抑郁的病人常采用負(fù)面的應(yīng)對方式。國外有學(xué)者對120名燒傷患兒家屬調(diào)查發(fā)現(xiàn)，家屬對小兒意外燒傷的反應(yīng)及其應(yīng)對方式對患兒的心理康復(fù)起著重要的作用[11]。Simons等[12]采用案例的方法認(rèn)為，家屬的無效應(yīng)對方式有可能給燒傷后的治療帶來風(fēng)險(xiǎn)。這提示主要照顧者的抑郁情緒更需要引起臨床工作者的重視。

(16)

2.3 漸進(jìn)更新擴(kuò)展卡爾曼濾波

(17)

那么結(jié)合EKF的基本步驟可得PUEKF算法步驟，如算法1所示。

算法1 PUEKF算法步驟

綜上所述，可給出多初值漸進(jìn)更新擴(kuò)展卡爾曼濾波(Multiple Initial PUEKF，MI-PUEKF)跟蹤算法的基本步驟為:

4)進(jìn)入下一時(shí)刻的濾波或到達(dá)預(yù)定時(shí)刻后終止濾波。

3 傳感器陣列

基于最大似然法的MI-PUEKF可以解決如何選取初值，并提供了一種如何判斷正確軌跡的方法。但是這種可行性必須有一個(gè)前提，那就是觀測模型可觀，即其解具有唯一性。軸頻電場包絡(luò)丟失了方向信息，從觀測方程以及電場的特性可知，對于單個(gè)傳感器，同一個(gè)信號值可以對應(yīng)幾個(gè)狀態(tài)，此時(shí)，濾波器的結(jié)果是不可信的。為此在對軸頻電場包絡(luò)的研究中必須研究傳感器陣列所需最少傳感器數(shù)目及其排布方式。

考慮如下的仿真情景，目標(biāo)電偶極矩p=100 A·m；以傳感器陣列為基礎(chǔ)建立右手坐標(biāo)系，傳感器所在線為Y軸，傳感器中心點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，X軸過原點(diǎn)垂直于Y軸；Z軸向上。假設(shè)目標(biāo)分別從π/4，3π/4，5π/4，7π/4四個(gè)方向勻速通過傳感器陣列，觀察傳感器接收到的信號特征。

不失一般性，假設(shè)三個(gè)三軸電場傳感器，其位置分別為[0,5,0;0,0,0;5,0,0]，船舶的其他初始參數(shù)見表1。

表1 仿真場景參數(shù)

圖2所示是三個(gè)傳感器上的|Ex|信號。從圖2(a)可以看出傳感器1(0,5,0)上航向π/4，3π/4的兩個(gè)軌跡的|Ex|是相同的；5π/4，7π/4兩個(gè)軌跡的|Ex|是相同的。|Ey|,|Ez|亦是如

(a) sensor#1 |Ex|

(b) sensor#2|Ex|

(c) sensor#3|Ex|圖2 傳感器上|Ex|信號Fig.2 Signal |Ex| on sensor

此。從圖2(b)～(c)可知，傳感器2、傳感器3上的信號也有類似特征，整理總結(jié)如表2所示。其中數(shù)字相同表示按信號相同分組。

表2 傳感器上信號特征分組

由此可以總結(jié)一個(gè)基本結(jié)論，對于原點(diǎn)上的傳感器，基于X軸和Y軸對稱的軌跡產(chǎn)生的信號是相同的。對于位于X(Y)軸上的傳感器，基于X(Y)軸對稱的軌跡產(chǎn)生的信號是相同的。因此，在濾波跟蹤中至少需要3個(gè)傳感器，且3個(gè)傳感器不能位于同一直線上才能保證解的唯一性。

4 仿真結(jié)果及分析

考慮如下的仿真情景，電偶極子電偶極矩p=100 A·m；以傳感器陣列為基礎(chǔ)建立右手坐標(biāo)系，傳感器所在線為Y軸，傳感器中心點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，X軸過原點(diǎn)垂直于Y軸；Z軸向上。選用三個(gè)三軸電場傳感器，其位置為o1,2,3，其他初始狀態(tài)見表3；此外，過程加速度噪聲強(qiáng)度σx=σy=0.1，α=0.001；觀測噪聲協(xié)方差矩陣Rk=σ2I2×2，σ=1×10-7。

表3 仿真場景參數(shù)

對MI-PUEKF濾波器配置，假設(shè)目標(biāo)源強(qiáng)度分布在K=3等級上，即p1=50 A·m，p1=100 A·m，p1=200 A·m。利用式(15)得到三個(gè)可能的目標(biāo)平面初始距離。在各個(gè)距離上假定四個(gè)起始方位π/4，3π/4，5π/4，7π/4，總的濾波器數(shù)量為K·NF=12。

(18)

仿真次數(shù)MC=100。

(a) SensorPosition1

(b) SensorPosition2圖3 各個(gè)初值條件下濾波器的總均方根誤差Fig.3 Total root mean square errors of the filter under each initial value condition

(a) SensorPosition1

(b) SensorPosition2圖4 各個(gè)初值條件下濾波器的均方根誤差曲線Fig.4 Root mean square error curves of the filter under each initial value condition

(a) SensorPosition1

(b) SensorPosition2圖5 各個(gè)初值條件下濾波器的對數(shù)似然值Fig.5 Logarithmic likelihood value of the filter under each initial value condition

(a) SensorPosition1

(b) SensorPosition2圖6 跟蹤結(jié)果(對數(shù)似然值最大的前3個(gè)模型)Fig.6 Tracking results (models of the first three maximum logarithmic likelihood value)

仿真結(jié)果表明：

1)軸頻電場包絡(luò)跟蹤所需傳感器數(shù)目至少三個(gè)，且不能位于一條直線上；

2)在傳感器陣列滿足要求的情況下，基于最大似然的多初值模型可以解決軸頻電場包絡(luò)跟蹤先驗(yàn)信息缺失的問題，且基于對數(shù)似然函數(shù)值可以選擇出濾波最優(yōu)的結(jié)果；

3)三個(gè)收斂的初值模型其初始假設(shè)方位為3π/4，相比其他假設(shè)，與真實(shí)方位最接近，可見，相比于距離而言，跟蹤誤差對方位先驗(yàn)信息更加敏感。

5 結(jié)論

本文研究了利用船舶軸頻電場包絡(luò)對船舶進(jìn)行跟蹤的可行性。船舶軸頻電場包絡(luò)可以視為準(zhǔn)靜態(tài)電場，但是僅可以獲得電場模值信息，因此丟失了一部分方位信息，這對傳感器陣列提出了要求，傳感器數(shù)目不能少于三個(gè)，至少有三個(gè)傳感器不在一條直線上。針對軸頻電場包絡(luò)跟蹤中先驗(yàn)信息缺失的問題，文章引入了一種基于最大似然選擇的多初值漸進(jìn)更新擴(kuò)展卡爾曼濾波方法。仿真結(jié)果表明，軸頻電場包絡(luò)跟蹤中濾波方法對方位先驗(yàn)信息更加敏感，多初值漸進(jìn)更新擴(kuò)展卡爾曼濾波方法能夠有效地解決先驗(yàn)信息缺失條件下的軸頻電場包絡(luò)跟蹤問題，具有重要的實(shí)際意義。