修正的響應(yīng)面方法優(yōu)化螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)*

蔣國(guó)慶，陳萬(wàn)華，王元興

(中國(guó)空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心， 四川 綿陽(yáng) 621000)

螺栓法蘭連接作為火箭箭體級(jí)與級(jí)之間主要的連接方式之一，其力學(xué)性能在很大程度上影響著火箭發(fā)射的成敗，而其結(jié)構(gòu)質(zhì)量也在一定程度上影響著射程[1]。以某型火箭為例，若其結(jié)構(gòu)質(zhì)量減輕1 kg，則射程會(huì)增加接近1 km。可見(jiàn)對(duì)箭體級(jí)間螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)開展減重優(yōu)化是非常必要的。

眾所周知，火箭的總質(zhì)量是相當(dāng)可觀的，其連接部位一般偏向保守設(shè)計(jì)，導(dǎo)致該處質(zhì)量偏大，存在較大的優(yōu)化空間。然而，連接部位結(jié)構(gòu)異常復(fù)雜，采用傳統(tǒng)的優(yōu)化方法進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算時(shí)，不僅計(jì)算效率低，且難以得到最優(yōu)結(jié)果?；谟邢拊浖亩伍_發(fā)語(yǔ)言(如Abaqus的Python語(yǔ)言、MSC.Patran的PCL(Patran command language)語(yǔ)言等)得到結(jié)構(gòu)的參數(shù)化模型，隨后根據(jù)響應(yīng)面方法的基本原理構(gòu)建結(jié)構(gòu)中所關(guān)注的靜力學(xué)或者動(dòng)力學(xué)響應(yīng)指標(biāo)與相關(guān)參數(shù)之間的響應(yīng)面模型，再選用遺傳算法、模擬退火算法等智能算法對(duì)該響應(yīng)面模型進(jìn)行優(yōu)化，這是一種可行的優(yōu)化思路。蔣國(guó)慶等[2]基于PCL語(yǔ)言建立了螺栓法蘭連接的參數(shù)化模型，并分析了結(jié)構(gòu)剛度對(duì)主要幾何參數(shù)的敏感系數(shù)，進(jìn)而得到了敏感參數(shù)和鈍感參數(shù)。申志彬等[3]基于PCL語(yǔ)言建立了集建模與分析于一體的星形藥柱參數(shù)化模型，并分析了結(jié)構(gòu)主要幾何參數(shù)對(duì)最大Von Mises 應(yīng)變的影響規(guī)律。萬(wàn)華平等[4]提出了一種基于高斯過(guò)程響應(yīng)面的有限元模型修正方法，相較于傳統(tǒng)參數(shù)型響應(yīng)面方法而言，該方法用于有限元模型修正更有優(yōu)勢(shì)。鮑諾等[5]基于參數(shù)化模型和拉丁方試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法獲得了多項(xiàng)式響應(yīng)面模型，以響應(yīng)面模型預(yù)測(cè)結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果之間的誤差為目標(biāo)函數(shù)，并采用自適應(yīng)模擬退火算法獲得了最優(yōu)的響應(yīng)面參數(shù)，進(jìn)而得到了修正后的響應(yīng)面模型，優(yōu)化后的響應(yīng)面模型具有良好的復(fù)現(xiàn)和預(yù)測(cè)能力。魏錦輝等[6]提出了基于具有全局收斂特性的自適應(yīng)響應(yīng)面的結(jié)構(gòu)有限元修正方法，該方法能夠有效避免陷入局部最優(yōu)，且只需少量樣本點(diǎn)即可得到全局最優(yōu)解。歐陽(yáng)琦等[7]考慮到響應(yīng)面方法在并行子空間優(yōu)化中的不足，提出了基于鄰域加強(qiáng)的優(yōu)化方法，改進(jìn)后方法的優(yōu)化效率得到了較大的改善。麻越垠等[8]基于響應(yīng)面方法對(duì)葉柵擺動(dòng)裝置有限元模型的多個(gè)參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化，優(yōu)化后模型的模態(tài)分析結(jié)果與模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果之間的相關(guān)性得到明顯提高。

本文以箭體級(jí)間螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)化模型為研究對(duì)象，在綜合考慮前述響應(yīng)指標(biāo)與優(yōu)化參數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系的基礎(chǔ)上，提出一種修正響應(yīng)面模型。

1 響應(yīng)面方法

一般而言，螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)的參數(shù)主要指的是幾何參數(shù)，設(shè)其n個(gè)參數(shù)分別為x1,x2,…,xn，則其響應(yīng)y(如位移、應(yīng)力、加速度等)與參數(shù)之間的關(guān)系可用式(1)表示：

y=f(x1,x2,…,xn)+ε

(1)

式中：f(x1,x2,…,xn)為響應(yīng)函數(shù)；ε為隨機(jī)誤差，其均值為0、方差為σ2。由式(1)擬合得到的模型稱為響應(yīng)面模型，其預(yù)測(cè)精度主要取決于f的優(yōu)劣程度。f一般為多項(xiàng)式，例如二階多項(xiàng)式，如式(2)所示。

(2)

式中：ai為待定系數(shù)，當(dāng)i≠j時(shí)aij表示變量xi和xj兩者之間的耦合作用；當(dāng)i=j時(shí)aij表示變量xi的二次效應(yīng)。

對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行m次(m≥n+1)設(shè)置并分別進(jìn)行數(shù)值計(jì)算(以下簡(jiǎn)稱數(shù)值試驗(yàn))，從而可以得到y(tǒng)的m個(gè)數(shù)值試驗(yàn)值。將這些參數(shù)及對(duì)應(yīng)的響應(yīng)面預(yù)測(cè)值分別代入式(2)，可以得到如下方程組：

(3)

式(3)的矩陣形式為：

(4)

記這m次試驗(yàn)的數(shù)值試驗(yàn)值向量為：

Y=[y(1),y(2),…,y(m)]T

(5)

為使響應(yīng)面模型的預(yù)測(cè)誤差最小，由最小二乘法有：

(6)

將式(4)代入到式(6)中，可以得到：

δ(A)=(XA-Y)T(XA-Y)

(7)

為使得函數(shù)δ(A)取極值，需要滿足如下條件：

(8)

對(duì)式(8)進(jìn)行化簡(jiǎn)，可得

(XA-Y)TX=0

(9)

當(dāng)XTX不奇異時(shí)，可得到A的表達(dá)式為：

A=(XTX)-1XTY

(10)

將數(shù)值試驗(yàn)值和試驗(yàn)參數(shù)代入式(10)即可得到待定系數(shù)的值，進(jìn)而可得相應(yīng)的響應(yīng)面模型。

2 修正響應(yīng)面模型

由式(1)和式(10)可知，響應(yīng)面模型的預(yù)測(cè)精度主要取決于響應(yīng)函數(shù)和數(shù)值試驗(yàn)。在數(shù)值試驗(yàn)相同的條件下，響應(yīng)函數(shù)的選取則顯得格外重要[9]。一般而言，多項(xiàng)式響應(yīng)函數(shù)具有一定的普遍性，能夠解決大部分?jǐn)M合問(wèn)題。在此，把與多項(xiàng)式響應(yīng)函數(shù)相對(duì)應(yīng)的響應(yīng)面模型稱為經(jīng)典響應(yīng)面模型。為提高經(jīng)典響應(yīng)面模型的擬合精度和預(yù)測(cè)精度，有時(shí)需要多次調(diào)整多項(xiàng)式的次數(shù)和數(shù)值試驗(yàn)的次數(shù)。這一過(guò)程需要耗費(fèi)大量的時(shí)間和精力。即便如此，有時(shí)也不能得到理想的預(yù)測(cè)精度。因此，需要根據(jù)實(shí)際情況對(duì)多項(xiàng)式響應(yīng)函數(shù)進(jìn)行一定修正。

經(jīng)典響應(yīng)面模型的普適性意味著它與實(shí)際案例的關(guān)聯(lián)度不高。因此，對(duì)經(jīng)典響應(yīng)面模型進(jìn)行修正時(shí)特別需要與具體實(shí)際相結(jié)合。對(duì)螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化時(shí)，需要根據(jù)優(yōu)化約束條件與優(yōu)化參數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，建立合理的修正響應(yīng)面模型。

(a) 實(shí)際結(jié)構(gòu)(a) Actual structure (b) 簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)(b) Simplified structure圖1 火箭級(jí)間連接結(jié)構(gòu)及其簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)Fig.1 Connection structure in rocket and its simplified structure

根據(jù)火箭箭體級(jí)間螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)的實(shí)際形式(如圖1(a)所示)，設(shè)計(jì)如圖1(b)所示簡(jiǎn)化后的螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)(該結(jié)構(gòu)高為700 mm，外徑為300 mm)，其中法蘭質(zhì)量主要由內(nèi)翻法蘭寬度t2和內(nèi)翻法蘭厚度t3決定。對(duì)法蘭進(jìn)行以質(zhì)量最輕為優(yōu)化目標(biāo)時(shí)，若設(shè)置約束條件為軸向拉伸載荷作用下頂端位移d不大于某一指定數(shù)值，則需要構(gòu)建該位移與優(yōu)化參數(shù)之間的響應(yīng)面模型。

為構(gòu)建合理的修正響應(yīng)面模型，設(shè)計(jì)如表1所示數(shù)值試驗(yàn)，以獲得d與優(yōu)化參數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，表中t2和t3的單位均為mm，下同。

根據(jù)數(shù)值試驗(yàn)一的計(jì)算結(jié)果，可得d與優(yōu)化參數(shù)之間的關(guān)系曲線如圖2所示。

由圖2可知，內(nèi)翻法蘭寬度t2與模型頂端軸向位移之間近似為二次函數(shù)關(guān)系，內(nèi)翻法蘭厚度t3與該位移之間近似為倒數(shù)關(guān)系。令x1=t2、x2=t3，設(shè)計(jì)修正響應(yīng)面模型為：

(11)

與之相對(duì)應(yīng)的經(jīng)典響應(yīng)面模型為：

(12)

為求得式(11)和式(12)中的未知數(shù)，根據(jù)均勻試驗(yàn)原理設(shè)計(jì)得到表2所示數(shù)值試驗(yàn)，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表2。

(a) 內(nèi)翻法蘭寬度t2(a) Width of flange t2

(b) 內(nèi)翻法蘭厚度t3(b) Thickness of flange t3圖2 頂端位移d與優(yōu)化參數(shù)關(guān)系曲線Fig.2 The curve between d and parameters

表1 數(shù)值試驗(yàn)一

表2 數(shù)值試驗(yàn)二

根據(jù)表2的相關(guān)數(shù)據(jù)，可計(jì)算得到修正響應(yīng)面模型和經(jīng)典響應(yīng)面模型分別為：

(13)

d=0.059 0+0.035 5x1-0.181 1x2-

(14)

與式(14)相比，式(13)中其余項(xiàng)的系數(shù)遠(yuǎn)小于0.000 1，在此忽略不計(jì)。式(13)和式(14)所對(duì)應(yīng)的曲面分別如圖3和圖4所示。

圖3 經(jīng)典響應(yīng)面Fig.3 Typical response surface

圖4 修正響應(yīng)面Fig.4 Modified response surface

為對(duì)比兩個(gè)模型的預(yù)測(cè)精度，重新設(shè)計(jì)數(shù)值試驗(yàn)并統(tǒng)計(jì)計(jì)算結(jié)果如表3所示。采用式(13)和式(14)分別對(duì)數(shù)值試驗(yàn)進(jìn)行預(yù)測(cè)，把預(yù)測(cè)結(jié)果和預(yù)測(cè)誤差也統(tǒng)計(jì)于表3。

由表3可知，修正響應(yīng)面模型的預(yù)測(cè)值誤差相對(duì)比較均勻，且最大誤差絕對(duì)值要明顯小于經(jīng)典響應(yīng)面模型的相應(yīng)值，最大誤差為7.55%。因此，對(duì)螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化時(shí)，可以優(yōu)先考慮修正響應(yīng)面模型。

3 螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化

對(duì)螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化時(shí)，設(shè)置其優(yōu)化目標(biāo)為法蘭質(zhì)量最輕，取法蘭密度為ρ=2.7×10-9t/mm3，則法蘭質(zhì)量為：

(15)

式中，Mflange的單位為t。

考慮到現(xiàn)有的螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)模型是根據(jù)現(xiàn)有經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)而得，在給定載荷(即50 kN集中拉力)作用下模型頂端軸向位移為0.14 mm。因此，可將該值設(shè)置為約束條件之一。綜合考慮參數(shù)的可變范圍，可得螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)的優(yōu)化模型為：

(16)

采用遺傳算法對(duì)式(16)進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化計(jì)算，其中種群數(shù)設(shè)置為50，迭代次數(shù)設(shè)置為40，優(yōu)化過(guò)程如圖5所示。由圖5可知，當(dāng)?shù)螖?shù)為15時(shí)，已經(jīng)得到優(yōu)化結(jié)果，統(tǒng)計(jì)如表4所示。

表3 數(shù)值試驗(yàn)三

圖5 修正響應(yīng)面模型優(yōu)化計(jì)算過(guò)程Fig.5 Optimization process of the modified response surface model

x1/mmx2/mmMflange/kg優(yōu)化前26101.096優(yōu)化后14.006.700.424變化幅度/%-46.15-32.96-61.36

由表4可知，法蘭質(zhì)量得到大幅度減小，取得了較為理想的優(yōu)化結(jié)果。為驗(yàn)證優(yōu)化結(jié)果的有效性，利用優(yōu)化后的參數(shù)，建立優(yōu)化后的螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)模型的有限元模型并進(jìn)行相同拉力載荷下的靜力學(xué)分析，得到模型頂端軸向位移為0.13 mm。該位移值與目標(biāo)位移相差-7.14%。即優(yōu)化后的法蘭結(jié)構(gòu)不僅質(zhì)量得到了大幅度減小，且模型的抗拉剛度得到一定增強(qiáng)，所以優(yōu)化效果是非常明顯的。

4 結(jié)論

基于結(jié)構(gòu)參數(shù)與所關(guān)注結(jié)構(gòu)響應(yīng)之間的內(nèi)在關(guān)系，建立了螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)的修正響應(yīng)面模型，并采用遺傳算法對(duì)法蘭進(jìn)行了以質(zhì)量最輕為目標(biāo)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，得到的主要結(jié)論如下。

1)修正響應(yīng)面模型考慮了優(yōu)化參數(shù)與響應(yīng)之間的內(nèi)在聯(lián)系，因而其擬合精度明顯優(yōu)于經(jīng)典響應(yīng)面模型；

2)響應(yīng)面方法與遺傳算法相結(jié)合是一種合理的優(yōu)化思路，不僅能得到滿意的優(yōu)化結(jié)果，還能極大地提高優(yōu)化效率。