基于能量耗散機(jī)制的粗粒土圓度損傷特性分析

何 亮，魏玉峰，潘遠(yuǎn)陽，雷 壯

(地質(zhì)災(zāi)害防治與地質(zhì)環(huán)境保護(hù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(成都理工大學(xué))，四川 成都 610059)

圓度用于反映顆粒原始棱角被磨圓的程度，是顆粒的重要結(jié)構(gòu)特征[1]，探究粗粒土的圓度損傷，對研究粗粒土力學(xué)特性具有重要意義。Wentworth C K[2]首次給出了圓度的定義，指出圓度是最尖的角邊曲率半徑與最長對徑一半的比值。 Cherif Taiba A 等[3]運(yùn)用三軸試驗(yàn)對砂土的顆粒形狀進(jìn)行研究，建立了粉砂顆粒圓度與強(qiáng)度間聯(lián)系，認(rèn)為粗粒土的抗剪性能很大程度上依賴于顆粒圓度。Ghalehjough Babak Karimi 等[4]提出基于直剪試驗(yàn)下，顆粒圓度對土的極限承載力影響大，隨顆粒圓度增大極限承載力降低。Arun P Raj等[5]通過研究常用的圓度測量儀，建立圓度定量模型，分析了圓度測量的影響因素與試驗(yàn)誤差。Vepraskas M J等[6]建立回歸模型以確定砂粒圓度和球形度與土壤錐度指數(shù)及堆積密度和密集土壤休止角的關(guān)系。Zheng J等[7]詳細(xì)介紹了識別粒子角和擬合圓的算法，用以計(jì)算土壤圓度。Zheng Junxing等[8]提出運(yùn)用計(jì)算方法對土壤圓度進(jìn)行計(jì)算，證明了不同類型土壤圓度采用幾何計(jì)算法優(yōu)于圖表法,分析了計(jì)算方法與傳統(tǒng)方法分別計(jì)算顆粒圓度的差異?；谀芰亢纳⒔嵌妊芯考羟性囼?yàn)過程中粗粒土圓度損傷特性，能從本質(zhì)上揭示圓度損傷機(jī)制。謝和平等[9]認(rèn)為巖石變形破壞是能量耗散等綜合作用的結(jié)果，從能量角度提出了巖石強(qiáng)度準(zhǔn)則和破壞準(zhǔn)則。李子運(yùn)等[10]對不同圍壓下的頁巖進(jìn)行分析，提出了峰前以能量積聚為主，破壞過程發(fā)生能量釋放和能量耗散，峰后殘余強(qiáng)度下重新開始積聚能量，但能量積聚能力和效率不如峰前。巖石變形破壞的過程是和外界產(chǎn)生能量交換的過程，基于理論角度分析巖石破壞的能量傳遞與耗散，分析巖石損傷擴(kuò)展過程，對揭示巖石變形破壞本質(zhì)具有重要意義[11-13]。陳中一等[14]運(yùn)用MATLAB對花崗巖裂隙萌生擴(kuò)展的過程研究，探討了裂隙萌生擴(kuò)展影響因素并提出研究新思路。Saurer E[15]基于MATLAB分析模型的斷裂力學(xué)能量平衡和極限平衡方法，定性和定量地模擬非平面剪切帶傳播速率，剪切過程中具有明顯的能量演化特征。

傳統(tǒng)的顆粒圓度研究，多集中于顆粒形狀的研究[16-17]，未定量從能量角度對其損傷本質(zhì)進(jìn)行分析。對于基于能量耗散機(jī)制下，建立粗粒土剪切過程圓度損傷模型，分析了粗粒土剪切過程圓度損傷因子變化與圓度損傷能量的定量關(guān)聯(lián)，對探究粗粒土剪切過程圓度損傷的本質(zhì)是一種有意義的嘗試。近年來對粗粒土的相關(guān)技術(shù)研究成果廣泛運(yùn)用于工程實(shí)踐中[18]，基于能量耗散機(jī)制下對粗粒土圓度損傷進(jìn)行分析，可從本質(zhì)上探究剪切過程中的土體狀態(tài)變化，定性及定量描述圓度損傷的發(fā)揮過程，對分析剪切過程中粗顆粒裂紋擴(kuò)展成因、圓度損傷演化過程具有一定的理論指導(dǎo)意義和工程實(shí)用價(jià)值。

1 剪切中粗粒土能量的傳遞與耗散

粗粒土剪切過程中能量不能憑空產(chǎn)生，也不能憑空消失，只能以一種形式轉(zhuǎn)換成另一種形式[19-20]。針對剪切系統(tǒng)粗粒土在法向應(yīng)力荷載作用下，剪切過程中滿足系統(tǒng)能量守恒定律[21]。在外力作用下通過復(fù)雜的功能轉(zhuǎn)換關(guān)系，基于熱力學(xué)第二定律[19]，土體作為開放系統(tǒng)，為不可逆過程，致使整個階段能量逐漸減少。

粗粒土在剪切系統(tǒng)中，以剪切盒粗粒土為整體研究對象，在外力做功初始總能量為E，剪切系統(tǒng)剪切達(dá)到應(yīng)力峰值臨界狀態(tài)具有一個動能增量Ek，以剪切系統(tǒng)作為介質(zhì)，能量傳遞至顆粒系統(tǒng)。一部分能量克服摩擦力做功，以摩擦熱E0形式散失，基于熱力學(xué)第二定律知摩擦生熱為不可逆過程，致使系統(tǒng)整體能量逐漸減少；一部分轉(zhuǎn)換為顆粒剪脹(剪縮)所需能量E1，宏觀體現(xiàn)在顆?？紫堵试龃?減小)；一部分轉(zhuǎn)換為顆粒間重新排列所需能量E2，具體表現(xiàn)為粗粒土在剪切盒內(nèi)以錯動、翻滾、掉落等形式產(chǎn)生動能與勢能，另一部分因產(chǎn)生顆粒破碎粗粒土系統(tǒng)吸收部分能量E3?；谙到y(tǒng)能量守恒下，可知滿足基本理論準(zhǔn)則：

E=E0+E1+E2+E3+EK

(1)

式(1)為剪切初始-應(yīng)力峰值過程中，以粗粒土整體作為研究對象，基于系統(tǒng)能量守恒下建立的能量轉(zhuǎn)化關(guān)系，如圖1所示。

圖1 粗粒土系統(tǒng)剪切過程能量轉(zhuǎn)換傳遞關(guān)系Fig.1 Various energy transfer relationships in the shear process of coarse-grained soil systems

剪切過程中，以單個顆粒為研究對象，外力所做功，首先以剪切盒為介質(zhì)傳遞到顆粒整體，顆粒粒間應(yīng)力發(fā)生改變，表現(xiàn)出各向異性，以單個顆粒為介質(zhì)能量發(fā)生傳遞與耗散。一部分能量作為顆粒損傷演化所需能量，顆粒開始產(chǎn)生微裂紋和顆粒產(chǎn)生應(yīng)力集中，微裂紋在整個過程逐漸增加、匯聚、擴(kuò)展，逐漸貫通，形成新的微表面；另一部分能量以彈性勢能的形式存儲在顆粒內(nèi)部，逐漸積累，彈性勢能逐漸匯聚過程中，達(dá)到臨界狀態(tài)，以劇烈的方式將能量輸出，顆粒產(chǎn)生變形破壞，以動能、摩擦熱、聲波能、輻射能等形式體現(xiàn)，彈性勢能為顆粒變形破壞的主要能量(圖2)。

圖2 粗顆粒剪切過程能量轉(zhuǎn)換傳遞關(guān)系Fig.2 Energy transfer relationship in coarse particle shearing process

外力做功輸入總能量U0，一部分以彈性勢能形式儲存在顆粒內(nèi)部(用Ue表示)，另一部分發(fā)生應(yīng)力集中產(chǎn)生塑性勢能(Um)。

U0=Ue+Um

(2)

在應(yīng)力空間下，總能量U0可按式(3)計(jì)算：

(3)

彈性勢能可按式(4)進(jìn)行計(jì)算：

(4)

式中：Ue——單個顆粒彈性勢能；

σi=1，2，3——應(yīng)力；

塑性勢能雖對于單個顆粒，其所占比例較小，卻是產(chǎn)生塑性區(qū)域、引起顆粒圓度損傷的關(guān)鍵勢能，不可忽略，按式(5)計(jì)算：

(5)

式中：Um——塑性勢能；

εj——塑性應(yīng)變；

σj——塑性應(yīng)力。

2 能量耗散下的圓度損傷演化分析

剪切系統(tǒng)從初始-應(yīng)力峰值階段，剪切帶附近顆粒發(fā)生翻滾、錯動、平動、破碎、擠壓掉落等，頂部及底部顆粒無明顯相對運(yùn)動趨勢，忽略不計(jì)。對于剪切系統(tǒng)圓度損傷區(qū)域主要集中于剪切帶，在外力作用下，隨剪切系統(tǒng)啟動，粒間應(yīng)力出現(xiàn)各向異性，顆粒產(chǎn)生運(yùn)動致使顆粒表面棱角磨損圓度增大。

任意粗顆?；诙S平面形狀如圖3所示，定義顆粒為n邊形，按表面凸起棱角，可將顆粒二維表面劃分為由n/2個三角形構(gòu)成。針對顆粒在剪切過程中，因顆粒內(nèi)部塑性勢能匯聚形成微裂紋，裂紋一旦貫通，由圖3可知，顆粒初始棱角面積為定值，顆粒邊界微裂紋貫通產(chǎn)生棱角磨損，顆粒棱角面積逐漸減小，當(dāng)顆粒棱角逐漸磨損至近似于內(nèi)切圓，總面積無限趨近于內(nèi)切圓面積其圓度值最大。因能量沿最易路徑傳遞，顆粒受粒間應(yīng)力，塑性勢能匯聚引起的微裂紋貫通先發(fā)生于顆粒邊界，一旦顆粒中部微裂紋貫通顆粒產(chǎn)生核心區(qū)域破碎。顆粒在能量匯聚過程中，表面棱角逐漸被磨損，從而改變顆粒圓度，圓度在能量耗散、傳遞過程中損傷演化。定義粗顆粒圓度損傷因子Dr,棱角面積減少量D，初始面積為D0。

(6)

圖3 顆粒圓度損傷幾何計(jì)算示意圖Fig.3 Schematic diagram showing geometric calculation of particle roundness damage

應(yīng)力集中產(chǎn)生的塑性勢能，主要貢獻(xiàn)于顆粒邊界處微裂紋貫通，導(dǎo)致顆粒磨損與顆粒核心區(qū)裂紋貫通，使顆粒大面積破碎。引起顆粒圓度損傷的塑性勢能主要為棱角磨損部分能量，其值遠(yuǎn)小于使顆粒核心區(qū)破碎的塑性勢能，這部分因圓度損傷所需消耗的能量與總塑性勢能比值為圓度損傷因子Dr值。顆粒產(chǎn)生應(yīng)力集中塑性勢能為Um，因圓度損傷單個顆粒所需能量為Uf。

Uf=UmDr

(7)

由式(5)可知，針對顆粒單體而言，剪切中塑性區(qū)不斷貫通，塑性勢能不斷增大，圓度損傷宏觀體現(xiàn)在粗顆粒表面微裂紋演化，致使顆粒在剪切過程中磨損，以磨屑形式從表面剝落。匯聚于顆粒棱角處的塑性勢能用于棱角處微裂紋貫通，這部分能量為圓度損傷所需能量。一部分用于顆粒核心區(qū)附近微裂紋貫通，使顆粒大面積產(chǎn)生破碎?；谧钚『哪茉?最小熵產(chǎn)生原理)[22]顆粒破碎時(shí)，應(yīng)力集中現(xiàn)象被釋緩，單個顆粒任意時(shí)間t的顆粒破碎耗能率為：

(8)

式中：T，Jk，Xk——微小單位體積在瞬時(shí)t的絕對溫度、相對應(yīng)的“流”、相對應(yīng)的“力”。

顆粒核心區(qū)域主裂紋貫通，使顆粒大面積產(chǎn)生破碎所消耗的塑性勢能用Us表示，總耗能率為時(shí)間函數(shù)，對總耗能率積分得：

(9)

根據(jù)式(7)～(9)可知，單個顆粒剪切過程中塑性勢能Um可表示為：

(10)

此時(shí)對于單個粗顆?？偰芰靠杀硎緸椋?/p>

(11)

式(11)為單個顆粒圓度損傷因子的能量演化關(guān)系，單個顆粒受到總能量大部分轉(zhuǎn)變?yōu)閺椥詣菽?，少部分轉(zhuǎn)變?yōu)樗苄詣菽埽诖诸w粒中形成塑性區(qū)，剪切過程中塑性區(qū)發(fā)育，產(chǎn)生微裂紋，棱角處微裂紋貫通，棱角被磨損，圓度持續(xù)損傷演化，粗顆粒主裂紋貫通顆粒破碎。

將式(5)代入式(10)可建立基于能量耗散機(jī)制下圓度損傷模型：

(12)

3 損傷模型的試驗(yàn)研究

試驗(yàn)研究采用可視化剪切儀，選擇初始圓度較小的花崗巖顆粒與圓度較大的鵝卵石顆粒進(jìn)行試驗(yàn)，可根據(jù)磨圓度將其分為棱角型接觸、圓型接觸兩類顆粒。為減小顆粒間及試樣間尺寸效應(yīng)影響，控制試驗(yàn)所用粗顆最大高度不超過剪切盒高度的1/20[23]。實(shí)驗(yàn)前對顆粒進(jìn)行篩分試驗(yàn)，選用級配較好的顆粒組進(jìn)行試驗(yàn)。剪切過程中，顆粒之間接觸力、受力面積等發(fā)生改變，顆粒產(chǎn)生一定的轉(zhuǎn)角和位移，尤其剪切帶內(nèi)顆粒表現(xiàn)明顯?？紤]到邊界效應(yīng)對試驗(yàn)結(jié)果的影響，剪切過程中，對顆粒剪切帶核心區(qū)域粗顆粒進(jìn)行標(biāo)記，運(yùn)用image-pro對剪切粗顆粒提取信息數(shù)據(jù)，探究粗顆粒剪切過程中圓度損傷與力學(xué)特性響應(yīng)。開展法向應(yīng)力分別為100 kPa，200 kPa，300 kPa的室內(nèi)試驗(yàn)，獲得應(yīng)力-位移統(tǒng)計(jì)表(表1)。

表1 峰值應(yīng)力-位移統(tǒng)計(jì)

通過整理試驗(yàn)數(shù)據(jù)得到不同顆粒類型下各組試樣破壞時(shí)的庫倫強(qiáng)度擬合直線，由室內(nèi)試驗(yàn)得到數(shù)值擬合曲線，如圖4所示。

圖4 兩類粗粒土強(qiáng)度擬合直線Fig.4 Fitting of strength of two types of coarse-grained soil

通過強(qiáng)度特性剪切試驗(yàn)結(jié)果表明，棱角型接觸式粗粒土強(qiáng)度參數(shù)值大于圓型，抗剪強(qiáng)度大。根據(jù)粗粒土剪切過程能量耗散關(guān)系，對于圓度較小的顆粒，剪切過程中對應(yīng)顆粒轉(zhuǎn)動動能、平動動能等發(fā)生改變。傳遞到顆粒內(nèi)部積聚的塑性勢能較大，剪切過程中，更易產(chǎn)生微裂紋及使顆粒產(chǎn)生磨損，增大顆粒圓度。根據(jù)式(12)圓度損傷模型可知，圓度損傷因子Dr值增大，導(dǎo)致所需圓度損傷能增大，圓度損傷所需能量的定量變化是影響粗粒土力學(xué)特性呈現(xiàn)差異性的根本因素。

根據(jù)圓度損傷模型，采用MATLAB對模型進(jìn)行分析，根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果花崗巖顆粒圓度較小，在試驗(yàn)過程中，其圓度損傷較大，觀測效果更明顯。同一直剪系統(tǒng)下，達(dá)到剪切峰值臨界狀態(tài)一定，粗粒土在剪切過程中滿足熱力學(xué)第一定律，基于能量耗散機(jī)制下相同法向應(yīng)力的圓度損傷值無限趨近。針對花崗巖顆粒擬合三種法向應(yīng)力下圓度損傷因子(Dr)、圓度損傷所需能量(Uf)、剪切位移(S)散點(diǎn)圖如5所示。在法向應(yīng)力分別為100 Pka，200 kPa，300 kPa下，Dr=1%，Dr=0.805%，Dr=0.374%時(shí)，散點(diǎn)圖基于三維空間第一次出現(xiàn)拐點(diǎn)，此時(shí)對應(yīng)的Uf=0.035，S=0.59。Uf=0.018，S=0.25，Uf=0.007，S=0.18。

圖5 圓度損傷因子與能量、剪切位移散點(diǎn)圖Fig.5 Roundness damage and scatter plot of energy and shear displacement

花崗巖剪切過程圓度損傷基于100 kPa，200 kPa，300 kPa下存在差異，圓度損傷隨法向應(yīng)力增大，與顆粒力學(xué)特性響應(yīng)速度越快。如圖5所示，剪切過程出現(xiàn)了2次較大拐點(diǎn)，用T1，T2表示。2次拐點(diǎn)對應(yīng)的Uf、Dr、S如表2所示。

表2 剪切過程圓度損傷拐點(diǎn)特征值統(tǒng)計(jì)

由圖5、表2可知，第一次圓度損傷過程出現(xiàn)拐點(diǎn)，隨法向應(yīng)力增大出現(xiàn)拐點(diǎn)延遲，此階段為粗顆粒在試驗(yàn)條件下顆粒間粒間應(yīng)力急劇變化的結(jié)果，圓度損傷因子急劇增大宏觀體現(xiàn)于剪切盒內(nèi)顆粒所處狀態(tài)的改變。隨著剪切行為的持續(xù)，達(dá)到應(yīng)力峰值，第二次出現(xiàn)拐點(diǎn)，傳遞到顆粒內(nèi)部的彈塑性勢能逐漸匯聚，塑性勢能的產(chǎn)生使顆粒產(chǎn)生微裂紋。達(dá)到應(yīng)力峰值時(shí)，單個顆粒塑性區(qū)發(fā)育，微裂紋貫通，塑性勢能達(dá)到最大。當(dāng)圓度增大后，顆粒棱角已被磨損，繼續(xù)進(jìn)行剪切，圓度損傷逐漸達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。

法向應(yīng)力對粗粒土圓度損傷具有一定影響[24]，主要原因?yàn)榉ㄏ驊?yīng)力大小不同，對傳遞到顆粒內(nèi)部應(yīng)力大小存在差異，粒間應(yīng)力大小的改變對粗粒土在試驗(yàn)過程中具有不同程度的束縛作用[25]，從而影響著粗粒土剪切過程中圓度損傷程度。如圖6圓度損傷因子與圓度損傷所需能量所示。

圖6 圓度損傷與能量關(guān)系圖Fig.6 Roundness damage and energy diagram

100 kPa下，Dr=6%時(shí)，Uf=0.239且尚未趨于穩(wěn)定。200 kPa時(shí)，Dr=4.794%，Uf=0.405。300 kPa時(shí)，Dr=4.046%，Uf=0.407。所需圓度損傷能量已趨于穩(wěn)定。試驗(yàn)結(jié)果表明針對同一顆粒，達(dá)到峰值狀態(tài)圓度損傷因子隨法向應(yīng)力增大而減小，所需的圓度損傷能增大。

將同一法向應(yīng)力下，顆粒剪切過程圓度損傷過程分為3個階段。第一個階段為圓度損傷響應(yīng)階段，即為第一次出現(xiàn)損傷拐點(diǎn)，此階段粗顆粒圓度損傷對粒間應(yīng)力的突然變化做出響應(yīng)。第二個階段為圓度損傷演化階段，即到第二次出現(xiàn)拐點(diǎn)應(yīng)力達(dá)到峰值時(shí)，此階段粗顆粒塑性勢能急劇增大，顆粒表面微裂紋持續(xù)演化，對應(yīng)曲線變化較大。第三個階段為圓度損傷穩(wěn)定階段，隨著剪切持續(xù)進(jìn)行，損傷因子增大，但損傷演化階段峰值微裂紋已貫通，塑性勢能大部分以顆粒表面能用于裂紋貫通，形成新的顆粒表面，在剪切未結(jié)束前顆粒繼續(xù)錯動、翻滾、平動等運(yùn)動，不斷磨損，損傷因子繼續(xù)增大。

4 結(jié)論

(1)圓度不同的顆粒(花崗巖、卵石)隨圓度減小，傳遞到顆粒內(nèi)部積聚的塑性勢能增大，更易在顆粒邊界棱角處產(chǎn)生微裂紋使顆粒磨損，增大顆粒圓度，其強(qiáng)度特性減小。

(2)粗粒土剪切過程中，顆粒圓度損傷因子改變導(dǎo)致圓度所需能量變化，形成圓度損傷的持續(xù)演化。圓度損傷演化過程存在2次損傷拐點(diǎn)，可將損傷過程分為：圓度損傷響應(yīng)、圓度損傷演化、圓度損傷穩(wěn)定三個階段。

(3)同一類型顆粒，法向應(yīng)力增大，達(dá)到損傷臨界狀態(tài)圓度損傷所需能量增大，顆粒圓度損傷因子減小，達(dá)到損傷穩(wěn)定階段所需能量增大。