固定于水面的多個(gè)半圓形結(jié)構(gòu)物的水波Bragg反射

丁偉偉， 鄒早建,2， 吳靜萍

(1. 上海交通大學(xué) 船舶海洋與建筑工程學(xué)院， 上海 200240; 2. 上海交通大學(xué) 海洋工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 上海 200240; 3. 武漢理工大學(xué) 交通學(xué)院，武漢 430063)

防波堤在港口和碼頭等海岸工程中一直起著重要的波浪防護(hù)作用.隨著海洋資源開發(fā)的不斷擴(kuò)大和深入，海洋工程結(jié)構(gòu)物的建造和使用已從近海區(qū)域拓展到外海區(qū)域，由于波浪環(huán)境更加惡劣，必須采取有效的防護(hù)措施.浮式防波堤是廣為應(yīng)用的波浪防護(hù)設(shè)施之一.防波堤可由單體或多體結(jié)構(gòu)組成.當(dāng)波浪傳向由多體結(jié)構(gòu)組成的防波堤時(shí)，各結(jié)構(gòu)之間不斷產(chǎn)生連續(xù)的反射和透射.針對某些波浪而言，盡管單個(gè)結(jié)構(gòu)的波浪反射較小，但疊加效應(yīng)將使多體結(jié)構(gòu)產(chǎn)生強(qiáng)烈的波浪反射，從而獲得良好的防波效果[1].當(dāng)多體結(jié)構(gòu)呈周期性布置時(shí)，可稱之為周期結(jié)構(gòu)物.當(dāng)作用在周期結(jié)構(gòu)物上的入射波的法向波長約為該結(jié)構(gòu)物周期長度的2倍時(shí)，入射波可被最大程度地反射，即反射系數(shù)達(dá)到最大值，該現(xiàn)象被稱為Bragg反射或Bragg共振.最早是在利用X射線照射晶體的相關(guān)研究中發(fā)現(xiàn)Bragg反射現(xiàn)象的[2].

在海岸工程和海洋工程中，Heathershaw[3]早在1982年就通過試驗(yàn)研究了表面波與海床波形沙壩之間的相互作用，并闡述了水波Bragg反射現(xiàn)象及其機(jī)理.幾十年來，海底各種結(jié)構(gòu)物引起的水波Bragg反射現(xiàn)象已得到廣泛的研究與應(yīng)用.劉煥文[4]系統(tǒng)地總結(jié)了海底沙壩和人工沙壩引起的水波Bragg反射現(xiàn)象的系列研究進(jìn)展.然而，有關(guān)波浪與浮體之間相互作用的Bragg反射現(xiàn)象的研究在國內(nèi)外尚不多見.Chou[5]通過研究揭示了Bragg反射現(xiàn)象在浮式防波堤研究領(lǐng)域的應(yīng)用前景.

近年來，Bennetts等[6]應(yīng)用變分法研究了多個(gè)浮在水面的圓形彈性板的波浪散射問題，在各彈性板尺寸相同、間距相同時(shí)，觀察到了Bragg反射現(xiàn)象，并得出Bragg反射峰值對應(yīng)的波長較理論預(yù)測值偏大的結(jié)論.Garnaud等[7]基于漸近理論研究了波浪與周期性排列的、可垂向運(yùn)動(dòng)的小圓柱浮標(biāo)之間的相互作用，發(fā)現(xiàn)當(dāng)波浪頻率在Bragg反射對應(yīng)的帶隙寬度內(nèi)時(shí)，波浪將會(huì)發(fā)生強(qiáng)烈的反射，與浮標(biāo)相連的波能提取裝置吸收的能量顯著降低.Linton[8]利用多極展開法分析了浸沒在深水中等間距布置的多排水平圓柱體的波浪傳播問題，發(fā)現(xiàn)當(dāng)入射波頻率在Bragg反射對應(yīng)的帶隙寬度內(nèi)時(shí)，隨著排列數(shù)量的增加，透過多排水平圓柱體的波浪能量趨近于0.Karmakar等[9]基于線性波浪理論研究了有限水深中錨泊穿透自由面的多重柔性膜結(jié)構(gòu)與表面重力波之間的相互作用，簡要分析了雙重膜結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的Bragg反射現(xiàn)象.許玲和Wu等[10-11]試驗(yàn)研究了基于Bragg反射原理布置的水面多重剛性豎直板的消波性能，發(fā)現(xiàn)當(dāng)Bragg反射發(fā)生時(shí)，消波效果明顯增強(qiáng).Ding等[12-13]應(yīng)用特征函數(shù)展開法和寬間距近似法研究了波浪與穿透自由面的多重柔性膜結(jié)構(gòu)之間的相互作用，并分析了Bragg反射的特性，發(fā)現(xiàn)合理布置柔性膜結(jié)構(gòu)能夠增加Bragg反射的有效寬度.Ouyang等[14]基于邊界離散數(shù)值模型研究了多個(gè)水面固定的矩形防波堤的Bragg反射現(xiàn)象，分析了防波堤的間距、個(gè)數(shù)、吃水、自身寬度等參數(shù)對Bragg反射的影響.

本文研究固定布置于水面的、靜水面以下形狀為半圓形的多個(gè)穿透自由面結(jié)構(gòu)物引起的水波Bragg反射現(xiàn)象，基于線性波浪理論建立數(shù)學(xué)模型，并基于邊界元法(BEM)對其求解.計(jì)算多個(gè)固定于海底的浸沒半圓形結(jié)構(gòu)物的波浪反射系數(shù)，并將計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)中的理論解進(jìn)行對比，以驗(yàn)證BEM的正確性；計(jì)算并對比水面單個(gè)半圓形結(jié)構(gòu)和多個(gè)半圓形結(jié)構(gòu)衰減波浪的效果，以證明利用多個(gè)半圓形結(jié)構(gòu)物的Bragg反射來衰減波浪的有效性；進(jìn)而，系統(tǒng)地分析了多個(gè)半圓形結(jié)構(gòu)物的個(gè)數(shù)、半徑、間距等參數(shù)對Bragg反射特性的影響，研究結(jié)果可為基于Bragg反射原理的防波堤設(shè)計(jì)提供參考依據(jù).

1 數(shù)學(xué)描述

均勻水深(h)中固定于靜水面的N個(gè)形狀和尺寸完全相同的二維剛性結(jié)構(gòu)如圖1所示，每個(gè)結(jié)構(gòu)在靜水面以下的形狀均為半圓形.結(jié)構(gòu)半徑為a，吃水為d，且有a=d；兩個(gè)相鄰結(jié)構(gòu)間距為S；該系列結(jié)構(gòu)組成一個(gè)周期結(jié)構(gòu)物，周期長度L=S+2a；頻率為ω、波幅為ζ的單色波從遠(yuǎn)場傳向該結(jié)構(gòu)物，假設(shè)波幅ζ是小量.建立二維笛卡爾坐標(biāo)系O-xz，x軸水平向右為正，z軸垂直向上為正，坐標(biāo)原點(diǎn)O位于靜水面且在第1個(gè)半圓形結(jié)構(gòu)的圓心.

基于線性波浪理論，假定流體無黏且不可壓縮、運(yùn)動(dòng)無旋且關(guān)于時(shí)間t是簡諧的，則整個(gè)流域內(nèi)的速度勢Φ(x,z,t)可表示為

Φ(x,z,t)=Re[φ(x,z)e-iω t]

(1)

式中：Re表示取實(shí)部；φ(x,z)為空間速度勢.上述單色波的速度勢可表示為

(2)

式中：g為重力加速度；k=2π/λ為波數(shù)(λ為入射波波長)，是頻散方程ω2=gktanhkh的正實(shí)數(shù)根.

圖1 固定于水面的多個(gè)半圓形結(jié)構(gòu)物

流場中流體運(yùn)動(dòng)的控制方程為Laplace方程：

(3)

綜合線性化的運(yùn)動(dòng)學(xué)邊界條件和動(dòng)力學(xué)邊界條件，得到復(fù)合的線性自由面條件為

(4)

水底的不可滲透條件為

?φ/?z=0,z=-h

(5)

各個(gè)結(jié)構(gòu)固定不動(dòng)，其物面條件為

(6)

式中：n為結(jié)構(gòu)表面的單位法向量.Sommerfeld遠(yuǎn)場輻射條件為

(7)

2 求解方法

應(yīng)用BEM求解上述邊值問題.為了方便求解速度勢，在該周期結(jié)構(gòu)物左側(cè)x=xl處和右側(cè)x=xr處分別引入2個(gè)截?cái)嗝?見圖1)，且都離其相鄰結(jié)構(gòu)的距離足夠遠(yuǎn).整個(gè)區(qū)域劃分為區(qū)域1(x≤xl)、區(qū)域2(xl

φ1(x,z)=

(8)

(9)

區(qū)域2和區(qū)域1的交界面x=xl處的壓力連續(xù)性條件和速度連續(xù)性條件分別為

φ2(x,z)|x=xl=φ1(x,z)|x=xl

(10)

(11)

區(qū)域2和區(qū)域3的交界面x=xr處的壓力連續(xù)性條件和速度連續(xù)性條件分別為

φ2(x,z)|x=xr=φ3(x,z)|x=xr

(12)

(13)

將式(8)代入式(10)和(11)，疊加后得到關(guān)系式

(14)

將式(9)代入式(12)和(13)，疊加后得到關(guān)系式

(15)

給定Green函數(shù)形式為

G(P,Q)=-lnr(P,Q)=

(16)

由Green第二定理，區(qū)域2內(nèi)部(不含邊界)和邊界上的速度勢分別滿足下列關(guān)系式：

-2πφ2(P)=

(17)

-πφ2(P)=

(18)

式中：定積分方向逆時(shí)針為正；邊界面C由左側(cè)截?cái)嗝鍯l、海底Cs、右側(cè)截?cái)嗝鍯r、若干段靜水面Cw和若干個(gè)靜水面以下的結(jié)構(gòu)表面Cb組成.

為了數(shù)值求解邊界上的速度勢，所有邊界被離散成一系列的小單元(邊界元).采用常數(shù)源邊界元，每個(gè)小單元上存在一個(gè)速度勢值，將源點(diǎn)和配置點(diǎn)(滿足相應(yīng)邊界條件的場點(diǎn))布置在每個(gè)小單元的中點(diǎn).將式(4)、(5)、(6)、(14)、(15)代入式(18)，并對所得到的方程進(jìn)行離散后可得

(19)

式中：

式中：Δl為Q所在小單元的長度.

假設(shè)小單元的總數(shù)為M，則可得到M個(gè)類似于式(19)的代數(shù)方程組.求解該方程組，即可得到每個(gè)小單元上的速度勢值.將式(8)代入式(10)，兩邊再同時(shí)乘以coshk(h+z)，可得到

φ2(xl,z)coshk(h+z)=

(22)

對式(22)關(guān)于z從-h到0積分，整理后可得

R=-AI+

(23)

(24)

對式(24)關(guān)于z從-h到0積分，整理后可得

(25)

反射系數(shù)和透射系數(shù)分別定義為反射波高和透射波高與入射波高的比值，可按以下公式計(jì)算

Kr=|R/AI|

(26)

Kt=|T/AI|

(27)

3 結(jié)果與討論

本文旨在研究固定于水面的多個(gè)半圓形結(jié)構(gòu)物引起的水波Bragg反射現(xiàn)象.Bragg反射的特性可由發(fā)生條件、反射強(qiáng)度和有效寬度3個(gè)要素表示.發(fā)生條件由Bragg反射現(xiàn)象發(fā)生時(shí)的最大反射系數(shù)對應(yīng)的2L/λ值表示；反射強(qiáng)度由Bragg反射現(xiàn)象發(fā)生時(shí)的最大反射系數(shù)表示，記為Kp；有效寬度[15]由Bragg反射區(qū)域內(nèi)滿足Kr≥Kp/2時(shí)，2L/λ的取值范圍表示，記為Eb.反射強(qiáng)度和有效寬度是判斷基于Bragg反射原理的防波堤衰減波浪有效性的2個(gè)重要指標(biāo).

3.1 方法驗(yàn)證

由于缺少可供比較的靜水面上多個(gè)半圓形結(jié)構(gòu)物與水波相互作用的理論計(jì)算、數(shù)值模擬或試驗(yàn)測定結(jié)果，為了驗(yàn)證BEM的正確性，以固定于海底的多個(gè)浸沒半圓形結(jié)構(gòu)物為對象，計(jì)算其反射系數(shù)并將計(jì)算結(jié)果與現(xiàn)有的理論解進(jìn)行比較.

當(dāng)N=3時(shí)，3種不同算例(Ex1，L/h=4.0,a/h=0.3；Ex2，L/h=4.0,a/h=0.5；Ex3，L/h=2.0,a/h=0.5)中，基于BEM的反射系數(shù)計(jì)算結(jié)果和基于多極展開法(MEM)的反射系數(shù)計(jì)算結(jié)果[17]的對比如圖2所示，其中kh表示無因次波數(shù).由圖2可見，2種方法的結(jié)果較為吻合，僅在kh>2.0時(shí)有微小誤差.導(dǎo)致誤差的原因可能是由于此時(shí)波長較小，在BEM中需要采用較小的單元來提高計(jì)算結(jié)果的精度，而過小的單元也會(huì)帶來數(shù)值誤差，這是用BEM求解短波問題的一個(gè)難點(diǎn).

3.2 Bragg反射效果

為了研究Bragg反射效果，考慮3種不同的結(jié)構(gòu)物布置形式：C1，單個(gè)半圓形結(jié)構(gòu)物固定于水面，且a/h=0.25；C2，多個(gè)半圓形結(jié)構(gòu)物固定于水面，且N=3,a/h=0.25,S/h=2.5；C3，多個(gè)半圓形結(jié)構(gòu)物固定于水底，且N=3,a/h=0.25,S/h=2.5. 3種不同結(jié)構(gòu)物布置形式下，反射系數(shù)隨無因次波數(shù)的變化情況如圖3所示.

圖3 3種不同布置形式下的反射系數(shù)比較

由圖3可見：對于固定于水面的單個(gè)半圓形結(jié)構(gòu)物，反射系數(shù)隨著無因次波數(shù)的增大而增大；對于多個(gè)半圓形結(jié)構(gòu)物，不論是固定于水面還是水底，反射系數(shù)的變化均較為復(fù)雜，存在若干波峰和波谷；水面周期結(jié)構(gòu)物的反射系數(shù)明顯大于水底周期結(jié)構(gòu)物的反射系數(shù)，這是因?yàn)樵诰€性波浪理論下，隨著水深的增加，水質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能沿垂向指數(shù)衰減，能量更多地集中在近水面處.水面周期結(jié)構(gòu)物在kh=1.18(轉(zhuǎn)換后的發(fā)生條件為2L/λ=1.13)時(shí)發(fā)生Bragg反射，反射強(qiáng)度Kp=0.90；單個(gè)水面結(jié)構(gòu)物在kh=1.18時(shí)的反射強(qiáng)度Kp=0.48(由此時(shí)對應(yīng)的反射系數(shù)表示)，明顯小于水面周期結(jié)構(gòu)物的Bragg反射強(qiáng)度；水底周期結(jié)構(gòu)物在kh=1.03(轉(zhuǎn)換后的發(fā)生條件為2L/λ=0.98)時(shí)發(fā)生Bragg反射，反射強(qiáng)度Kp=0.20，也明顯小于水面周期結(jié)構(gòu)物的Bragg反射強(qiáng)度.因此，利用水面周期結(jié)構(gòu)物的Bragg反射能夠更有效地衰減波浪.

3.3 結(jié)構(gòu)個(gè)數(shù)的影響

設(shè)a/h=0.25，S/h=2.5，結(jié)構(gòu)個(gè)數(shù)對反射系數(shù)的影響如圖4所示，相應(yīng)的反映Bragg反射特性的3個(gè)要素如表1所示.從圖4和表1中可以看出：在不同結(jié)構(gòu)個(gè)數(shù)下，反射系數(shù)隨2L/λ的變化均較為復(fù)雜，存在若干波峰和波谷；結(jié)構(gòu)個(gè)數(shù)越多，波峰和波谷的數(shù)目越多.在所有不同的結(jié)構(gòu)個(gè)數(shù)的情況下都能觀察到Bragg反射現(xiàn)象，且反射的發(fā)生條件均在理論條件2L/λ=1.0[3]附近，但均位于其右側(cè)，即波長偏小處.隨著結(jié)構(gòu)個(gè)數(shù)的增多，反射的發(fā)生條件逐漸向左側(cè)偏移，更加靠近理論條件，說明結(jié)構(gòu)物的個(gè)數(shù)越多越能精確地利用Bragg反射原理.同時(shí)，隨著結(jié)構(gòu)個(gè)數(shù)的增多，反射強(qiáng)度不斷增大(如N=5時(shí)，Kp=0.98，幾乎實(shí)現(xiàn)了全反射)，但此時(shí)有效寬度會(huì)減小.

圖4 不同結(jié)構(gòu)個(gè)數(shù)下反射系數(shù)隨2L/λ的變化

表1 不同結(jié)構(gòu)個(gè)數(shù)下的Bragg反射特性

3.4 結(jié)構(gòu)半徑的影響

設(shè)N=3，S/h=2.5，結(jié)構(gòu)半徑a/h對反射系數(shù)的影響如圖5所示，相應(yīng)的反映Bragg反射特性的3個(gè)要素如表2所示.

從圖5和表2中可以看出，對于不同的結(jié)構(gòu)半徑，反射系數(shù)在整個(gè)2L/λ范圍內(nèi)的變化趨勢是相似的.Bragg反射的發(fā)生條件均在理論條件2L/λ=1.0附近，但均位于其右側(cè)，即波長偏小處.隨著結(jié)構(gòu)半徑的減小，反射的發(fā)生條件向左偏移，逐漸靠近理論條件，說明小半徑結(jié)構(gòu)能夠更加精確地利用Bragg共振原理，但隨著結(jié)構(gòu)半徑的減小，反射強(qiáng)度和有效寬度均減小.

圖5 不同結(jié)構(gòu)半徑下反射系數(shù)隨2L/λ的變化

表2 不同結(jié)構(gòu)半徑下的Bragg反射特性

3.5 結(jié)構(gòu)間距的影響

設(shè)N=3，a/h=0.25，結(jié)構(gòu)間距S/h對反射系數(shù)的影響如圖6所示，相應(yīng)的反映Bragg反射特性的3個(gè)要素如表3所示.從圖6和表3中可以看出，隨著結(jié)構(gòu)間距的增大，Bragg反射的發(fā)生條件逐漸向左偏移，即更接近理論條件2L/λ=1.0，說明大間距結(jié)構(gòu)能更精確地利用Bragg共振原理，但隨著結(jié)構(gòu)間距的增大，反射強(qiáng)度和有效寬度均減小.盡管在小間距時(shí)Bragg反射強(qiáng)度最大，但其發(fā)生條件對應(yīng)的波長最小，因此限制了其在衰減長波長水波中的應(yīng)用.如：S/h=1.5時(shí)，反射的發(fā)生條件對應(yīng)的波長λ=32.3 m；S/h=3.5時(shí)，反射的發(fā)生條件對應(yīng)的波長λ=73.4 m.應(yīng)用Bragg反射衰減長波長水波時(shí)，由于有大間距結(jié)構(gòu)的需求，可通過增加結(jié)構(gòu)個(gè)數(shù)來抵消其反射強(qiáng)度的減小，通過增大結(jié)構(gòu)半徑來抵消其有效寬度的減小.

圖6 不同結(jié)構(gòu)間距下反射系數(shù)隨2L/λ的變化

表3 不同結(jié)構(gòu)間距下的Bragg反射特性

4 結(jié)論

(1) 固定于水面的多個(gè)半圓形結(jié)構(gòu)物的Bragg反射發(fā)生條件在理論條件附近；個(gè)數(shù)較多、半徑較小、間距較大的結(jié)構(gòu)物能更精確地利用Bragg反射原理.

(2) 增加結(jié)構(gòu)個(gè)數(shù)能夠增加Bragg反射強(qiáng)度，但會(huì)減小有效寬度；增大結(jié)構(gòu)半徑能同時(shí)增加Bragg反射強(qiáng)度和有效寬度；增大結(jié)構(gòu)間距會(huì)同時(shí)減小Bragg反射強(qiáng)度和有效寬度.

本文的研究結(jié)果對基于Bragg反射原理的防波堤設(shè)計(jì)具有一定的參考價(jià)值.

致謝感謝英國勞氏船級社基金會(huì)(LRF)通過倫敦大學(xué)學(xué)院、上海交通大學(xué)和哈爾濱工程大學(xué)聯(lián)合中心提供的資助.