讓每一次跨越都具有成長(zhǎng)的意義
——“長(zhǎng)方形和正方形面積的計(jì)算”教學(xué)思考與實(shí)踐

□ 薛正檜

“長(zhǎng)方形和正方形面積的計(jì)算”是“圖形與幾何”領(lǐng)域內(nèi)一節(jié)具有典型意義的“種子課”，教學(xué)思路總離不開(kāi)“猜想—驗(yàn)證—應(yīng)用”。難道這節(jié)種子課只能這樣上嗎？在品讀了老子的《道德經(jīng)》后，筆者受到了啟發(fā)，現(xiàn)以“跨越”為主線，設(shè)計(jì)并實(shí)踐這一課，教學(xué)如下。

一、從“觀察”到“操作”的跨越

1.①和②相比，哪一個(gè)面積大？你是怎么知道的？

2.③和④相比，哪一個(gè)面積大？你能確定嗎？

3.有什么好辦法能比較出③和④的大小？（擺上相同大小的方格）

面積作為一種量，是可以直接計(jì)量的，它與長(zhǎng)度的計(jì)量方法一樣，都是用相應(yīng)的單位量（1厘米長(zhǎng)的線段、1平方厘米大小的正方形等）與測(cè)量對(duì)象進(jìn)行比較，從而得到相應(yīng)的結(jié)果。從本質(zhì)上看，面積計(jì)算其實(shí)就是單位面積在數(shù)量上的累加。比較兩組圖形面積的大小，讓學(xué)生體驗(yàn)到當(dāng)觀察不能起作用時(shí)，直接計(jì)量才是確定面積大小的基本方法。學(xué)生在認(rèn)識(shí)面積單位時(shí)，已經(jīng)會(huì)用1平方厘米的正方形直接測(cè)量被測(cè)平面圖形的大小，這是一次承前啟后的活動(dòng)。從觀察到操作，是學(xué)生對(duì)面積大小由定性把握到定量刻畫的一次飛躍。

二、從“直接”到“間接”的跨越

1.用邊長(zhǎng)是1厘米的小正方形計(jì)量這些長(zhǎng)方形的面積，看誰(shuí)又對(duì)又快。（長(zhǎng)和寬都是整厘米數(shù)）

2.小正方形不夠了，怎么辦？

3.你最少用幾個(gè)小正方形就能量出它的面積？

這里長(zhǎng)方形面積的計(jì)算體現(xiàn)了操作由直接計(jì)量向間接計(jì)量的過(guò)渡，這個(gè)過(guò)程對(duì)學(xué)生理解其他平面圖形的面積計(jì)算方法、形成解決有關(guān)面積計(jì)算問(wèn)題的一般策略有著十分重要的影響?？凑l(shuí)又對(duì)又快，是在速度上提出了要求；小正方形不夠了，是借新問(wèn)題的刺激“逼迫”學(xué)生采用比鋪滿整個(gè)長(zhǎng)方形更為“經(jīng)濟(jì)”的操作。而最少用幾個(gè)小正方形，是引導(dǎo)學(xué)生逐步想到“沿相鄰的邊框擺”“內(nèi)部斜擺”等優(yōu)化做法，即利用“長(zhǎng)邊和寬邊分別能擺幾個(gè)”來(lái)推測(cè)“一共能擺幾個(gè)”。從直接到間接，學(xué)生的研究方式有了思維的參與。

三、從“高維”到“低維”的跨越

1.你能根據(jù)下圖中長(zhǎng)度的計(jì)量結(jié)果，推想出面積的計(jì)量情況嗎？（每一小段長(zhǎng)度1厘米）

2.只計(jì)量長(zhǎng)度，你能推算出下面這幾個(gè)長(zhǎng)方形的面積嗎？

實(shí)際解決問(wèn)題時(shí)，人們總是在不斷地求簡(jiǎn)、求優(yōu)。一維的計(jì)量是最原始的，二維、三維的計(jì)量雖然可以直接計(jì)量，但大家通常都是先計(jì)量與被測(cè)物相關(guān)的一維量，然后再利用一定的規(guī)則，通過(guò)計(jì)算得出結(jié)果。由此可見(jiàn)，用公式計(jì)算面積其實(shí)就是在間接計(jì)量的基礎(chǔ)上，利用長(zhǎng)度來(lái)求面積，即計(jì)量出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)邊、寬邊分別能擺幾個(gè)小正方形，然后相乘。當(dāng)教師利用推想、計(jì)算兩個(gè)環(huán)節(jié)把這一演變過(guò)程展示出來(lái)以后，學(xué)生對(duì)算理的理解自然就通了。用單位長(zhǎng)度（1厘米、1分米、1米等）來(lái)量長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，建構(gòu)面積計(jì)算的模型，是學(xué)生原有經(jīng)驗(yàn)的提煉、升華。

四、從“計(jì)量”到“計(jì)算”的跨越

1.結(jié)合下面的圖示，說(shuō)一說(shuō)如何計(jì)算這個(gè)長(zhǎng)方形的面積。

2.長(zhǎng)方形的面積怎樣計(jì)算？為什么？

與單位長(zhǎng)度累加不同的是，單位面積累加后要抽象出相應(yīng)的公式。理解面積計(jì)量的原理，是基于學(xué)生已有的測(cè)量經(jīng)驗(yàn)、推算經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)他們進(jìn)一步展開(kāi)深入的思考，確信長(zhǎng)方形的面積與它的長(zhǎng)、寬存在某種關(guān)系，他們完全可以自主推導(dǎo)出公式。長(zhǎng)方形的長(zhǎng)意味著每排擺幾個(gè)，寬意味著擺幾排，面積則意味著一共擺了多少個(gè)，所以長(zhǎng)方形的面積＝長(zhǎng)×寬。長(zhǎng)方形的面積從計(jì)量轉(zhuǎn)向了計(jì)算，操作活動(dòng)升華到了思維活動(dòng)。

五、從“歸納”到“演繹”的跨越

1.你會(huì)照樣子推導(dǎo)正方形的面積計(jì)算公式嗎？（可以結(jié)合圖形來(lái)說(shuō)）

2.你能根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式推導(dǎo)出正方形的面積公式嗎？

基于兒童的思維習(xí)慣擅長(zhǎng)于直觀的特點(diǎn)，他們往往從一個(gè)個(gè)相關(guān)的實(shí)例中找到規(guī)律（不完全歸納），進(jìn)而獲得結(jié)論，但數(shù)學(xué)更熱衷于用“演繹”（從一般到特殊）獲得結(jié)論。小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)既要基于兒童，也要發(fā)展兒童，從正方形面積公式的推導(dǎo)來(lái)看，可以根據(jù)長(zhǎng)方形與正方形的屬種關(guān)系進(jìn)行演繹推理。讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)自己喜歡的方法是對(duì)他們思維即時(shí)水平的測(cè)定，讓學(xué)生試著用“正方形是長(zhǎng)和寬相等的特殊長(zhǎng)方形”來(lái)推導(dǎo)是對(duì)他們思維發(fā)展方向的期待。

“長(zhǎng)方形和正方形面積的計(jì)算”一課中的五大跨越，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)像種子的生長(zhǎng)一樣充滿了生命的意義。