經(jīng)歷“具體”到“抽象”，理解“確定”至“可變”
——“用字母表示數(shù)”教學(xué)實(shí)踐與思考

□ 金秀葉

【課前思考】

“用字母表示數(shù)”是人教版五年級上冊第五單元“簡易方程”的起始課，它是學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)代數(shù)知識的基礎(chǔ)。第一學(xué)段中，學(xué)生接觸過用“圖形符號表示特定量”的內(nèi)容，如（）、□、○等，初步積累了用符號表示數(shù)的經(jīng)驗(yàn)；第二學(xué)段開始學(xué)習(xí)用含有字母的式子表示數(shù)量關(guān)系。本課是“用字母表示數(shù)”的第一課時(shí)，讓學(xué)生經(jīng)歷用字母表示數(shù)的過程，學(xué)會用字母表示一個(gè)量和數(shù)量關(guān)系，體會用字母表示數(shù)的必要性和簡潔性。如何幫助學(xué)生從“具體”到“抽象”，理解從“確定”到“可變”，是本節(jié)課要重點(diǎn)思考并著力解決的關(guān)鍵問題。初學(xué)用字母表示數(shù)，學(xué)生會因不習(xí)慣而感到困難，應(yīng)讓學(xué)生體會到位，因而本節(jié)課主要體現(xiàn)以下幾條主線：（1）抓住學(xué)生起點(diǎn)，從“記數(shù)”到用字母表示“未知數(shù)”。整個(gè)教學(xué)過程，從具體、確定的數(shù)到未知、不確定的數(shù)，理解用字母表示數(shù)的意義，體會用字母表示數(shù)的優(yōu)越性。（2）在同一情境中，不同的字母表示不同的數(shù)。（3）在同一情境中，明確兩個(gè)量之間存在相差或倍比關(guān)系時(shí)，在用一個(gè)字母表示某個(gè)量的前提下，可以用字母關(guān)系式來表示另一個(gè)量。（4）引發(fā)學(xué)生沖突，從“量”到“數(shù)量關(guān)系”，用含有字母的式子表示關(guān)系。本課中讓學(xué)生對“b”和“a＋5”進(jìn)行思辨，根據(jù)兩個(gè)量之間的關(guān)系，初步理解用含有字母的式子能表示數(shù)的含義，讓學(xué)生經(jīng)歷“引發(fā)沖突、修正概念、完善概念”的過程。（5）用三個(gè)紅包的錢數(shù)，分別為a元、（a＋5）元、2a元，讓學(xué)生提出問題，將學(xué)生提出的問題轉(zhuǎn)化成教學(xué)資源，以突破教學(xué)難點(diǎn)。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.在具體情境中理解用字母表示數(shù)的意義，初步認(rèn)識用字母表示數(shù)的作用，能夠根據(jù)具體情境用含有字母的式子表示數(shù)量關(guān)系和一個(gè)量。

2.經(jīng)歷將實(shí)際問題用含有字母的式子進(jìn)行表達(dá)的必要性和過程，體會用字母表示數(shù)的概括性與簡潔性，提高抽象概括能力。

3.發(fā)展符號意識，感悟用字母表示數(shù)的思想，培養(yǎng)創(chuàng)新意識。

【教學(xué)重難點(diǎn)】

1.理解并掌握用字母表示數(shù)的方法，體會用字母表示數(shù)的優(yōu)越性。

2.用含有字母的式子表示數(shù)量關(guān)系和一個(gè)量。

【教學(xué)過程】

一、直接解讀，探究發(fā)現(xiàn)

圖1

1.嘗試表示，引入字母（1）體會確定數(shù)

師：生活中我們經(jīng)常會收發(fā)紅包，前幾天我就發(fā)過一個(gè)紅包，看懂了嗎？（出示微信紅包圖，如圖1）請你把它記錄在練習(xí)紙上。

（生獨(dú)立記錄，師板書：18元）

（2）體會用字母表示數(shù)的意義

師：（笑）紅包一發(fā)出去啊，我也會收到紅包。這是我收到的第1個(gè)紅包（如圖2）。多少元？會寫嗎？

（生皺眉、搖頭）

師：碰到什么困難了？還沒點(diǎn)開哦！那你們猜猜看是多少元。

生：12元、18元……師：能再大點(diǎn)嗎？

圖2

生：150元、200元、500元……

生：我覺得不可能是500元，因?yàn)槲抑垃F(xiàn)在發(fā)微信紅包一次不能超過200元。

師：微信紅包一次最大多少元？最小呢？生：最少發(fā)0.01元，最多不能超過200元。

問題驅(qū)動：0.01～200元只是一個(gè)范圍，這里面有許多數(shù)，你能用什么方法來表示這個(gè)范圍里面的任意一個(gè)數(shù)嗎？自己在練習(xí)紙上試一試！

（設(shè)計(jì)意圖：剛開始學(xué)生容易糾結(jié)于紅包的范圍，大部分都用0.01～200元表示，后來改變提問，告訴學(xué)生0.01～200元是一個(gè)范圍，里面有許多的數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生想辦法表示出這個(gè)范圍內(nèi)的任意一個(gè)數(shù)，學(xué)生想到了用“？”、圖形以及字母來表示這個(gè)數(shù)。）

生：1～18。

師：表示出所有的可能了嗎？

生：用？、△。

師：你是怎么想的？哦，你認(rèn)為它是未知的。生：x元。生：a元。

師：有同學(xué)用符號或圖形來表示，也有同學(xué)用字母表示。同學(xué)們，對于一個(gè)未知的數(shù)量，數(shù)學(xué)家們也想表示，你們猜最后用的是什么方法？

（課件出示資料：韋達(dá)（1540—1603），法國數(shù)學(xué)家，是第一個(gè)系統(tǒng)使用字母來表示數(shù)的人，被譽(yù)為“代數(shù)學(xué)之父”。）

師：同學(xué)們，你們真是太厲害了，知道用字母來表示一個(gè)數(shù)，今天這節(jié)課我們就一起來學(xué)習(xí)“用字母表示數(shù)”。

（設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生深刻理解未知的量，體會用字母可以表示不確定的、未知的數(shù)，這是本節(jié)課的首要目標(biāo)，即一元認(rèn)知水平。）

師：好，剛才的x、a……用這些字母代表未知的數(shù)，都是可以的。那現(xiàn)在我們統(tǒng)一用a元來表示第一個(gè)紅包的錢數(shù)。你表示好了嗎？（板書：a元）

（3）思辨已知與未知

師：剛剛我們分別用“18”和“a”表示紅包的錢數(shù)，有什么不同呢？

生：18是一個(gè)已知的數(shù)（板書：已知），a是一個(gè)未知的數(shù)（板書：未知）。

（4）感受多元性

師：收到的第2個(gè)紅包，還沒點(diǎn)開，多少元呢，能把它表示出來嗎？a元？b元？……

師：可以嗎？這些字母都表示了未知的數(shù)，你覺得哪個(gè)更好？

師：是啊，字母不同，代表的數(shù)也不同，那第2個(gè)紅包我們就用b元來表示吧。

2.走進(jìn)代數(shù)，感受思想

（1）關(guān)注聯(lián)系，引發(fā)思辨

師：第2個(gè)紅包比第1個(gè)紅包多5元，可以怎么表示呢？

師：（a+5）元，都這么表示的嗎？怎么想的？（呈現(xiàn)b和a+5）

師：之前我們用b元表示了第2個(gè)紅包的錢數(shù)，增加一個(gè)信息后用了（a+5）元來表示，你覺得哪個(gè)更好呢？

生：（a+5）元更好，因?yàn)樗萣元更具體。

師：什么叫更具體？

生：（a+5）元表明和第1個(gè)紅包是有關(guān)系的。

生：（a+5）元還能表示第2個(gè)紅包比第1個(gè)紅包多5元。

師：是啊，b元是可以的，但（a+5）元不僅可以表示出第2個(gè)紅包的錢數(shù)，而且可以看出第2個(gè)紅包比第1個(gè)多5元的關(guān)系。好，現(xiàn)在我們已經(jīng)很清楚了，第2個(gè)紅包的錢數(shù)就可以用（a＋5）元來表示。

（設(shè)計(jì)意圖：通過對“b”和“a＋5”進(jìn)行思辨，關(guān)注兩個(gè)量之間的關(guān)系，讓學(xué)生經(jīng)歷用含有字母的式子表示數(shù)的抽象過程，這是本節(jié)課的難點(diǎn)——字母可以參與運(yùn)算。）

師：第3個(gè)紅包是第1個(gè)紅包的2倍，怎么表示第3個(gè)紅包呢？

（生在黑板上寫下a×2）

師：怎么想的？

生：a的2倍，就用a×2表示。

師：原來它和第1個(gè)紅包也是有關(guān)系的。在寫含有字母的式子時(shí)，數(shù)和字母相乘的時(shí)候，一般要把數(shù)寫在字母前面，乘號可以省略，如n×6＝6n，所以a×2=2a，你們也可以寫寫看。

（2）提出問題，解決問題

師：現(xiàn)在根據(jù)這3個(gè)紅包的信息，你能提出什么數(shù)學(xué)問題嗎？

（同桌討論，反饋交流）

①第1個(gè)紅包和第2個(gè)紅包一共多少元？

生：a＋a＋5＝（2a＋5）元。

②第2個(gè)紅包和第3個(gè)紅包一共多少元？

生：a＋5＋2a=（3a＋5）元。

③那這3個(gè)紅包一共多少元？

（師投影學(xué)生作業(yè)：a＋a＋5＋2a）

師：一共是多少呢？

生：（4a＋5）元。

師：要知道3個(gè)紅包一共多少元，只要知道第幾個(gè)紅包就可以了？

師板書：當(dāng)a＝10時(shí)，

④第3個(gè)紅包比第2個(gè)紅包多幾元？

師：相差多少我們以前是用什么方法解決的？

生：減法。

師：現(xiàn)在你會列式嗎？

生：2a－（a+5）。

⑤哪個(gè)紅包最大？

師：那到底哪個(gè)紅包最大呢？

生：我覺得第3個(gè)紅包最大，比如a=6元，第2個(gè)紅包是11元，第3個(gè)紅包是12元。

生：也可能是第2個(gè)紅包最大，a=1元，第2個(gè)紅包是6元，第3個(gè)紅包是2元。

師：居然被你反轉(zhuǎn)了，太不可思議了！

生：我覺得也可能是相等的。

師：什么意思？

生：如果a=5元，第2個(gè)紅包是10元，第3個(gè)紅包也是10元。

（掌聲響起，學(xué)生臉上表現(xiàn)出不可思議的表情）

師：用字母表示數(shù)也是可以比大小的，看來這是一個(gè)好問題，學(xué)數(shù)學(xué)就應(yīng)該學(xué)會問問題。

（設(shè)計(jì)意圖：根據(jù)學(xué)生提出的問題組織教學(xué)，學(xué)生在交流活動中，呈現(xiàn)自己的想法，用字母表示數(shù)時(shí)要比較大小，在碰撞中課堂不斷反轉(zhuǎn)，實(shí)現(xiàn)了從“算術(shù)思維”到“代數(shù)思維”的轉(zhuǎn)變。）

（3）課堂小結(jié)

師：今天我們學(xué)了“用字母表示數(shù)”，學(xué)了這節(jié)課后你有什么想法？

生：用字母可以表示未知的數(shù)。

生：我感覺字母很神奇……

二、鞏固練習(xí)，加深理解

1.創(chuàng)設(shè)情境，加深理解

根據(jù)剪下的長方形紙條的長度計(jì)算面積，完成下表。

長度/cm面積/cm2 5 6 9 15 ……

（1）體會簡潔性

師：求面積你們是怎樣列式的？

生：長×寬。

思考：“……”在這里表示什么呢？你能把所有的情況都表示出來嗎？

（2）聯(lián)想意義

師：在這里，“4a”表示這個(gè)長方形的面積?！?a”在不同的情境中可以表示不同的含義。比如：一輛汽車每小時(shí)行a千米，4小時(shí)行的路程就用“4a”千米來表示。你覺得“4a”在生活中還可以表示什么呢？把你的想法在四人小組里交流一下。

生：每千克蘋果a元，4千克蘋果4a元。

生：每分鐘寫a個(gè)字，4分鐘寫4a個(gè)字。

生：如果正方形的邊長為a，周長就表示為4a。

……

師：你們都很會思考，看來4a在生活中可以表示很多實(shí)際含義。

（設(shè)計(jì)意圖：對“4a”這一式子可以表示的實(shí)際含義進(jìn)行多樣化的解讀，讓學(xué)生經(jīng)歷從一般到特殊的過程，體驗(yàn)字母表示數(shù)的價(jià)值，理解含有字母的式子所表示的數(shù)量關(guān)系。）

2.獨(dú)立探究，感悟關(guān)系

師：請你在紙上寫出三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)。

（生獨(dú)立完成后教師組織交流反饋）

生：4，5，6。

生：100，101，102。

師：檢查相鄰兩數(shù)相差多少。你能用字母表示出來嗎？

生：a，b，c。

生：x，x+1，x+2。

生：a，b，c是不可以的，因?yàn)閍，b，c不一定相差1，這只是英文字母中的順序。

生：x，x+1，x+2，這個(gè)可以，因?yàn)橄噜弮蓚€(gè)數(shù)都相差1。

師：剛才我們是把第1個(gè)數(shù)表示為x，那如果我們把第2個(gè)數(shù)表示為x，那另外兩個(gè)數(shù)怎么表示呢？（板書：x－1，x，x+1）想一想：這兩種方法不變的是什么？

（設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步體會用字母表示數(shù)的簡潔性，加深對數(shù)量關(guān)系的理解，感悟代數(shù)的神奇。）

師：同學(xué)們，無論字母是表示第1個(gè)數(shù)還是第2個(gè)數(shù)，只要能表示出這三個(gè)數(shù)之間的關(guān)系都是可以的?？磥碜帜刚娴暮苌衿?，它能以不變應(yīng)萬變，相信大家在以后的學(xué)習(xí)中會有更多的發(fā)現(xiàn)。

【課后思考】

好學(xué)的天性促使學(xué)生在本節(jié)課中不斷地根據(jù)信息發(fā)現(xiàn)問題、提出問題。課始，以問題引領(lǐng)，引發(fā)學(xué)生思辨：“0.01～200元只是一個(gè)范圍，這里面有許多個(gè)數(shù)，你能用什么方法來表示這個(gè)范圍里面任意的一個(gè)數(shù)？”學(xué)生想到用“？”或符號來表示，再想到用字母表示數(shù)，層層深入，感悟符號表示的思想。接著，學(xué)生根據(jù)數(shù)量關(guān)系用含有字母的式子表示第2個(gè)紅包和第3個(gè)紅包的錢數(shù)，又根據(jù)這三個(gè)紅包之間的聯(lián)系，積極思考提出問題，并產(chǎn)生解決它的欲望，形成了“問題意識”，特別是“第3個(gè)紅包比第2個(gè)紅包多幾元”“哪個(gè)紅包最大”這兩個(gè)問題，讓學(xué)生的思維向著縱向和橫向不斷延伸，學(xué)生在交流中很自然地想到用“代入求值”，從而感受到隨著a取值的變化，a+5和2a的值也會發(fā)生變化。學(xué)生覺得用字母表示數(shù)真的很神奇。張奠宙先生說過“數(shù)學(xué)的價(jià)值在于運(yùn)算”，對于用字母表示數(shù)，功夫要花在“字母參與運(yùn)算”上，這一點(diǎn)在本節(jié)課中得到了落實(shí)。