巧用基本不等式 妙解最值問題*

廣東省惠州市東江高級中學(xué) (516000) 湖北省黃岡市長沖高級中學(xué) (438700)

李 旭 唐松明

基本不等式是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考的熱點(diǎn)問題，但在高考命題中，很少能夠見到直接考查基本不等式的題目，往往是將基本不等式與三角函數(shù)、解析幾何、恒成立問題、數(shù)列、向量等問題結(jié)合起來.在歷年的考試題目中，這類結(jié)合問題大部分是以最值問題展現(xiàn)出來，而最值問題的求解技巧靈活，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中普遍感覺困難，往往不知何時(shí)運(yùn)用基本不等式，以及該用基本不等式中哪個(gè)公式.本文將對上述問題結(jié)合今年的模考題和往年的高考題加以說明，解析處理這些問題的通解通法，與各位師生共享.

一、基本不等式回顧及運(yùn)用

利用上述的基本不等式，易得如下的幾個(gè)重要不等式:

(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R).

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，上述五個(gè)不等式是教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，需要學(xué)生熟練掌握并能合理運(yùn)用解決相關(guān)題目，我們首先來看如下的例題：

例1 已知a>0,b>0,ab=a+b+3，求a+b的最小值.

變式1 已知a>0,b>0,ab=a+b+3，求ab的最小值；

變式2 已知a>0,b>0,ab=ka+b+3，其中為k正數(shù)，求ab的最小值；

變式3 已知a>0,b>0,kab=la+b+3，其中為k,l正數(shù)，求ab的最小值.

從例題和變式問題的解答過程中我們可以得出以下兩個(gè)簡單的結(jié)論：

已知x>0，y>0，則

二、基本不等式運(yùn)用再探究

第一節(jié)中，結(jié)合基本不等式我們討論了與之有關(guān)的最值問題的一般解法，顯然上述例題是基本的，而高考的命題原則是來自課本但要高于課本.為此，我們結(jié)合最近的高考模擬題進(jìn)一步討論基本不等式在最值問題中的運(yùn)用.

1.與三角形問題相關(guān)聯(lián)

例1 (2018江蘇高考理科卷第13題)在ΔABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,∠ABC=120°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，且BD=1,則4a+c的最小值為.

評析：先根據(jù)三角形面積公式給出等式條件，再利用基本不等式求問題的最值.在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧以及基本不等式成立的條件：一正二定三相等，其中“正”表示字母為正數(shù)；“定”表示不等式的另一邊必須為定值；“等”即等號取得的條件.只有滿足上述條件才能應(yīng)用基本不等式，否則會出現(xiàn)錯(cuò)誤.

2.與解析幾何問題相關(guān)聯(lián)

例2 (武漢市2019屆高中二月份調(diào)研數(shù)學(xué)卷(理))已知A,B為拋物線y2=4x上兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且OA⊥OB，則|AB|的最小值為( ).

評析：本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系以及利用基本不等式求兩點(diǎn)間距離的最值問題，對于這樣一道選擇題，需要學(xué)生對公式的記憶和運(yùn)用都要十分熟練.同時(shí)，如果把本題中的拋物線換成橢圓或雙曲線我們又該如何得到什么樣的結(jié)果呢？希望讀者可以做更進(jìn)一步的探討.

3.與恒成立問題相關(guān)聯(lián)

評析：本題看似簡單，但實(shí)際上蘊(yùn)含了很多重要的數(shù)學(xué)思想.當(dāng)然，如果題設(shè)中的a換成關(guān)于a函數(shù)g(a)，這時(shí)就需要再一次處理g(a)+4≥5恒成立問題.類似的變化還有很多，但這些變化都是形式上的，本質(zhì)依然是處理不等式最值問題的方法技巧.

4.與數(shù)列問題相關(guān)聯(lián)

5.與向量問題相關(guān)聯(lián)

圖1

解析:如圖1所示，以A點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，其中A(0,0)，B(1,0).

評析：本題考查了向量中模長的相關(guān)知識，在利用向量數(shù)量積的幾何意義的同時(shí)涉及到不等式的放縮問題，如何巧妙且恰到好處的運(yùn)用基本不等式是關(guān)鍵.合理建立坐標(biāo)系，巧妙設(shè)點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合，幾何問題代數(shù)化是解決本題的主要思路.

三、反思感悟

考題千變?nèi)f化，但萬變不離其宗.教師在教學(xué)中一定要把握基本不等式的核心——“一正，二定，三相等”：一正是首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是要看和或積是否為定值(和定積最大，積定和最小)；三相等是驗(yàn)證等號能否成立(主要注意兩點(diǎn)，一是相等時(shí)參數(shù)是否在定義域內(nèi)，二是多次用“≥”或“≤”時(shí)等號能否同時(shí)成立).

同時(shí)，我們希望教師自己能合理選取例題，掌握命題技巧，洞悉事物間的本質(zhì)聯(lián)系，希望我們的學(xué)生能通過對有限典型例題的學(xué)習(xí)，去領(lǐng)悟到那種解無限道題的數(shù)學(xué)機(jī)智；我們教學(xué)的對象不是題目，而是鮮活的個(gè)體，是持續(xù)發(fā)展中的學(xué)生，所以教學(xué)內(nèi)容需要豐富，課堂呈現(xiàn)必須生動(dòng)；我們教育的目的不僅是會做題，更是要培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會發(fā)現(xiàn)、學(xué)會思考，用知識解決問題、用理性欣賞世界！