浙江省金華市第六中學(xué) (321000)
虞 懿
例2 定義在R上的函數(shù)f(x),均有
解析:由f(x)+2017≤f(x+2017)=f(x+1+2016)≤f(x+1)+2016,所以f(x+1)≥f(x)+1①,又利用①式得f(x)+2016≥f(x+2016)=f(x+2015+1)≥f(x+2015)+1=f(x+2014+1)+1≥f(x+2014)+2≥…≥f(x+1)+2015,所以f(x+1)≤f(x)+1②,由①、②得f(x+1)=f(x)+1,從而an+1-an=1,所以a2018=a1+(2018-1)×1=2019.
評(píng)注:本題由遞推關(guān)系,通過迭代得到f(x+1)≥f(x)+1且f(x+1)≤f(x)+1,再利用“夾逼法則”將不等式轉(zhuǎn)化為等式.
例3 若實(shí)數(shù)x,y滿足2x-3≤ln(x+y+1)+ln(x-y-2),則xy=.
評(píng)注:借助不等式lnx≤x-1(x>0)是順利求解本題的關(guān)鍵.
例5a,b為實(shí)數(shù),不等式|x2+ax+b|≤|x2-7x+12|對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立,則a+b=.
解析:因?yàn)閤2-7x+12=(x-3)(x-4),所以在|x2+ax+b|≤|x2-7x+12|中,令x=3與x=4得9+3a+b=0和16+4a+b=0,解得a=-7,b=12,所以a+b=5.
評(píng)注:題中有兩個(gè)參數(shù),但只有一個(gè)絕對(duì)值不等式,要求我們求出參數(shù)的值,這似乎有點(diǎn)“山重水復(fù)疑無路”.但通過合理賦值可得不等式|9+3a+b|≤0與|16+4a+b|≤0,這樣就夾出了兩個(gè)方程9+3a+b=0和16+4a+b=0,真可謂“柳暗花明又一村”.
“夾逼法則”體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美,借助夾逼法則解題,方法精巧,思路獨(dú)特.不等與相等是既對(duì)立又統(tǒng)一的兩個(gè)概念,“夾逼法則”有力地將它們統(tǒng)一起來,從而有效地將不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為相等關(guān)系,使一些看似復(fù)雜的問題迎刃而解.