一道教師解題技能競賽題的命題手法探究

江西省南昌市第十五中學 (330039)

龍光鵬

1.試題呈現

(Ⅰ)求實數a的取值范圍；

這是2019年3月1日南昌市高中數學教師解題技能競賽的21題，試題設計新穎，內容豐富，具有一定的難度.如能探明試題的本源，必將有助于理清試題的解題思路，那么命題者是如何命制出這道試題的呢？帶著這個疑問，筆者展開了命題本源的探索之旅.

2.執(zhí)果尋因

圖1 圖2

得知函數y=lnx-x無零點，于是將函數y=lnx-x圖像向上平移a(a>1)個單位長度得到函數y=lnx-x+a，其圖像如圖2所示.

第(Ⅰ)問設計為：求實數a的取值范圍；是高考常規(guī)考查的情形，為大家所熟悉.

然而在(Ⅱ)問的設置上是怎樣在繼承中有創(chuàng)新呢？讓我們一起來揭開其神秘的面紗！

首先，通過圖2發(fā)現x1+x2>2，證明如下：

3.命題手法探究

經過探究，筆者發(fā)現本題的命題思路是：基于函數極值點、函數拐點、類比對稱中心，結合切線放縮.其主要還是考查拐點偏移問題.

我們知道，若函數f(x)關于點(a,b)成中心對稱，則有f(x)+f(2a-x)=2b.遷移應用此對稱的思想，我們得到：若函數f(x)有拐點(a,b)，則可以探究位于拐點兩側具有一定對稱特征的兩點與拐點的關系.如若函數f(x)有拐點(a,b)且x1+x2=2a，則試探究f(x1)+f(x2)與2b的關系.

4.命制新題

模仿上述的命題手法，筆者命制如下試題：

已知函數f(x)=(x+1)lnx-ax有兩個極值點x1,x2.

(Ⅰ)求a的取值范圍；

(Ⅱ)求證：f(x1)+f(x2)<2a-8.

解析：(Ⅰ)易得a>2；