福建省石獅市華僑中學(xué) (362700)
蔡振樹(shù)
命題是艱辛而又富有挑戰(zhàn)性的工作,積極參與命題活動(dòng),可以加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)方法的理解,加深對(duì)高考考試說(shuō)明的要求等方面的領(lǐng)悟,強(qiáng)化知識(shí)與方法體系的建構(gòu),提高教師自身業(yè)務(wù)素養(yǎng),提升課堂教學(xué)的有效性.試題命制中關(guān)于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查如何落實(shí)到位,六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)如何在解題過(guò)程中考查落地,是命題者需要重點(diǎn)研究的課題.下面筆者以函數(shù)導(dǎo)數(shù)試題的命制過(guò)程評(píng)析為例,結(jié)合多年參加各級(jí)考試命題的經(jīng)歷談幾點(diǎn)感想.
例1 已知函數(shù)f(x)=ax-lnx-1,(a∈R).
(Ⅰ)?x∈(0,+∞),bx-2≤f(x),若f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)是x=1,求實(shí)數(shù)b的取值范圍;
試題(Ⅱ)問(wèn)是本題的核心,通過(guò)設(shè)置對(duì)參數(shù)的討論,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì),并利用單調(diào)性比較大小,考查了分類討論、推理計(jì)算能力.題中函數(shù)與不等式結(jié)合為學(xué)生解答提供廣闊的發(fā)揮空間,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)要求學(xué)生具備一般到特殊的問(wèn)題轉(zhuǎn)化能力,重點(diǎn)考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng).
試題評(píng)析:導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容之一.本試題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用,分步設(shè)問(wèn),逐步推進(jìn),考查由淺入深,重點(diǎn)突出,提高思維層次,使學(xué)生更深刻的理解導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,同時(shí)對(duì)學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)落實(shí)提供了載體.本題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的手法,層次分明,區(qū)分度高.它比較能反映學(xué)生是否真正掌握數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì),使不同層次的學(xué)生的思維得到充分展示,進(jìn)一步考查學(xué)生學(xué)習(xí)的潛能.
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)b的取值范圍;
(Ⅱ)證明:x1+x2>2.
命制過(guò)程:試題源于某模擬考試題,題目如下:
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(Ⅱ)記函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為x1,x1.證明:x1x1>e2.
若令t=lnx,則方程可化為t-met=0.
為了提升試題難度,考慮增加考點(diǎn)知識(shí),考查函數(shù)的極值,從而修改了題目的條件,得到如下試題:
函數(shù)f(x)=x+bex(b為常數(shù))有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2.
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)b的取值范圍;
(Ⅱ)證明:x1+x2>2.
試題評(píng)析:本題重點(diǎn)在于對(duì)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)的滲透,借助函數(shù)問(wèn)題的研究考查本質(zhì)的數(shù)學(xué)思想和方法.換元法是編擬試題的一種常用方法,在數(shù)學(xué)命題中通過(guò)換元,可以改變?cè)囶}的“包裝”條件、結(jié)論的表述形式、提升或降低試題難度等.在本題的命制過(guò)程中,采用換元的方法,將一道含對(duì)數(shù)函數(shù)的問(wèn)題改編為含指數(shù)函數(shù)的問(wèn)題,得到一道“煥然一新”的試題,具有明確考查目標(biāo),能根據(jù)考查意圖合理調(diào)整條件與設(shè)問(wèn),從而使試題自然不造作.本題表述簡(jiǎn)潔,解法多樣,有內(nèi)涵,考查面廣,滲透考查邏輯推理、運(yùn)算求解等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),是能力思想的重要體現(xiàn).
例3 已知函數(shù)f(x)=lnx-kx+k.
(Ⅰ)若f(x)≥0有唯一解,求k值;
命制過(guò)程:著眼數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升,欲命制一道函數(shù)不等式問(wèn)題作為理科壓軸試題,故設(shè)想函數(shù)背景適當(dāng)復(fù)雜,可含有指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)等形式,基于上述想法,本題從(Ⅱ)問(wèn)的設(shè)置開(kāi)始.
設(shè)想三:適當(dāng)增加解題的難度,引入?yún)?shù)a,當(dāng)a≤1時(shí),證明不等式ex-xlnx>ax2+1,接下來(lái)的問(wèn)題就是,高中現(xiàn)階段,學(xué)生能否利用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行證明,證明過(guò)程中是否會(huì)出現(xiàn)高中現(xiàn)階段無(wú)法解決的情況、難度過(guò)大或難度不夠等問(wèn)題,于是命題者模擬學(xué)生進(jìn)行解答.
圖1 圖2 圖3
設(shè)想五:(Ⅱ)問(wèn)的不等式證明,若用到不等式lnx≤x-1進(jìn)行放縮,則可簡(jiǎn)化證明過(guò)程,故命題者想在(Ⅰ)問(wèn)中設(shè)置與該不等式相關(guān)問(wèn)題,為問(wèn)題(Ⅱ)做鋪墊.構(gòu)造函數(shù)f(x)=lnx-kx+1,討論f(x)的單調(diào)性,或f(x)=lnx-kx+k,f(x)≥0有唯一解,求k值.這兩種問(wèn)法都可以考查到分類討論思想,而第二種問(wèn)法可以讓學(xué)生更好的分析f(x)=lnx-kx+k的圖像及直接得出結(jié)論lnx≤x-1,至此確定(Ⅰ)問(wèn).
試題評(píng)析:本題關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)差異,突出創(chuàng)新,探索數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)考查的落地實(shí)踐,試題分步設(shè)問(wèn),(Ⅰ)問(wèn)中的函數(shù)f(x)=lnx-kx+k是學(xué)生較為熟悉的,從而降低了對(duì)學(xué)生心理沖擊,進(jìn)而提高試題的效度.通過(guò)題目的設(shè)問(wèn),充分考查多種數(shù)學(xué)思想,通過(guò)對(duì)“唯一性”的研究,考查思維的嚴(yán)密性,實(shí)現(xiàn)了知識(shí)與能力的雙重檢測(cè).而(Ⅱ)問(wèn)則將函數(shù)與不等式有機(jī)結(jié)合,對(duì)計(jì)算難度,思維深度的要求逐步提高,層次分明,差異創(chuàng)新,能較好的達(dá)到設(shè)計(jì)預(yù)想.試題對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)提出較高要求,無(wú)論是推理還是運(yùn)算,區(qū)分度高,讓學(xué)生思維廣度和深度都得到充分發(fā)展.
在試題命制過(guò)程中,如何探索數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)從理念到實(shí)踐的落地,問(wèn)題是載體,構(gòu)思是關(guān)鍵,引導(dǎo)是路徑,提升是目標(biāo).函數(shù)導(dǎo)數(shù)試題屬于綜合性較強(qiáng)的問(wèn)題,對(duì)其進(jìn)行合理化設(shè)計(jì),可以發(fā)揮重要的作用.多種數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是交叉互相滲透,不能絕對(duì)化割裂開(kāi)來(lái),素養(yǎng)是綜合的體現(xiàn),通過(guò)對(duì)試題的學(xué)習(xí)探究是提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力和核心素養(yǎng)的主要途徑.因此通過(guò)試題命制過(guò)程的研究不僅對(duì)教師,而且對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)都是有意義的,也是很有價(jià)值的.