揭示數(shù)學(xué)本質(zhì) 關(guān)注數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)

江蘇省無錫市立人高級中學(xué) (214161)

鄭寶生 沈熠璠

前一段時間，我區(qū)開展高中數(shù)學(xué)青年教師評優(yōu)課，有幸作為評委的我們，參與了整個聽課和評課的過程.所用教材是蘇教版普通高中數(shù)學(xué)必修4，內(nèi)容是“兩角差的余弦公式”(以下稱為“公式”).青年教師們各顯身手，呈現(xiàn)了許多不同的教學(xué)方案，其教學(xué)風(fēng)格自然也各具特色，不同的方案會有哪些優(yōu)勢和不足？有沒有更好的教學(xué)方案？這些問題一直困擾著我，促使我仔細分析、深入思考，試圖找出恰當?shù)睦碛蓙碚f服自己，更期待說服別人，故形成如下文字.

一、課堂教學(xué)設(shè)計案例

不同的課堂教學(xué)設(shè)計方案會產(chǎn)生不同的教學(xué)效果.在這次區(qū)評優(yōu)課眾多的教學(xué)方案中，其主流也就是如下兩種，而第三種是筆者課后的探究所得，需要對教材的知識內(nèi)容進行前后次序的調(diào)整.

1.在習(xí)題的解答中發(fā)現(xiàn)問題

從普通高中蘇教版教材必修4，習(xí)題2.4探究拓展中的第22題開始.

方案一

同樣可得cos(90°-60°)=cos90°cos60°+sin90°sin60°，由于cos90°=0，sin90°=1,所以cos30°=sin60°等式成立.

事實上，由于向量的夾角θ∈[0,π]，則θ=α-β+2kπ或θ=β-α+2kπ，k∈Z.所以等式成立.

評議：這樣的課堂教學(xué)簡潔明快、直奔主題，從特殊到一般的探究方法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的抽象過程.然而，公式的產(chǎn)生既不是生活實際的需求，也不是數(shù)學(xué)發(fā)展的需要，僅僅是解題中找到的規(guī)律而已，缺少知識產(chǎn)生的必要性，不能更好地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)部需求，難以調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.其次，向量數(shù)量積的運算公式已經(jīng)存在，無需學(xué)生去發(fā)現(xiàn)，只要進行等式是否成立的檢驗，這樣就失去了公式的發(fā)現(xiàn)過程，不利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題能力的培養(yǎng).最后，開頭的習(xí)題已經(jīng)告訴了定理的證明過程，無需在證明方法上進行更多的思考，只要澄清向量的夾角與α-β之間的關(guān)系，這使得公式的證明降低了思維含量，不利于學(xué)生思維能力的培養(yǎng).

2.從誘導(dǎo)公式的結(jié)果中發(fā)現(xiàn)問題

從學(xué)生熟悉的數(shù)學(xué)情境中入手，通過恰當?shù)膯栴}，既能體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識間內(nèi)在的聯(lián)系，又能更好地激發(fā)學(xué)生的求知欲望.

方案二

問題3 我們學(xué)過的知識中哪里有cos15°在直角三角形ABC中，∠A=15°，∠C=90°，則∠B=75°，我們會解的是30°角的直角三角形，怎么辦？

問題6 對于任意角α、β怎樣證明cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ？

(1)在我們學(xué)過的知識中，哪里可以找到sinα、cosα和sinβ、cosβ？

(2)在單位圓中怎樣得到cosα·cosβ+sinα·sinβ？退一步，能找到x1x2+y1y2嗎？

(證明略).

3.在誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)中發(fā)現(xiàn)問題

由于現(xiàn)在的普通高中數(shù)學(xué)沒有按照教材編排的順序進行學(xué)習(xí)，而是學(xué)習(xí)必修1后，直接學(xué)習(xí)必修4然后再學(xué)習(xí)必修2，這樣必修4中三角函數(shù)兩角差的余弦公式的學(xué)習(xí)，先于必修2中解析幾何直線與圓的學(xué)習(xí)，導(dǎo)致三角函數(shù)中單位圓中對稱性的運用受到制約，三角函數(shù)中兩角差的余弦公式其本質(zhì)就是圓的對稱性，如何通過單位圓的對稱性來展示數(shù)學(xué)公式的發(fā)現(xiàn)過程，筆者進行了如下的探討：首先要學(xué)習(xí)必修2中的解析幾何的“直線和圓”，然后再來學(xué)習(xí)必修4中的“三角函數(shù)”.其次對于教材中知識內(nèi)容的次序也要進行調(diào)整，凸現(xiàn)兩角差的余弦公式的數(shù)學(xué)本質(zhì).

方案三

問題2 上述兩個問題的相同之處和不同之處是什么？

圖2

圖3

二、課后反思及感悟

課堂教學(xué)效果受教師的影響也受學(xué)生的制約，教學(xué)方案的設(shè)計直接影響著教學(xué)效果，教學(xué)方案的先天不足，必然導(dǎo)致教學(xué)質(zhì)量的下降，優(yōu)秀的教學(xué)方案既能反映數(shù)學(xué)的本質(zhì)，又能觸動學(xué)生的疑慮，點燃學(xué)生的思緒，激發(fā)學(xué)生的求知欲望，使得數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)真正落到實處.

1.揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，重視數(shù)學(xué)經(jīng)驗的積累

三個方案各不相同，反映了教師對數(shù)學(xué)知識的不同理解，以及執(zhí)教者不同的教學(xué)理念.方案一缺少了知識產(chǎn)生的必要性，但也反映了數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生的歸納過程，從知識傳授的角度看，它會給學(xué)生帶來更多的疑慮，為什么要解這樣的題目？這樣的方法你是怎樣想到的？丟失了許多學(xué)生獨立思考的機緣；從育人的角度看，學(xué)生體會不到數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，感悟不到數(shù)學(xué)知識研究的方式方法，不利于學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)觀，這對于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)會產(chǎn)生負面影響.方案二充分展示了數(shù)學(xué)歸納的一面，從情境到問題，從數(shù)值拼湊到假設(shè)檢驗，從數(shù)學(xué)猜想到數(shù)學(xué)抽象，整個教學(xué)過程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)研究最基本的方式方法，這對于學(xué)生積累數(shù)學(xué)研究的經(jīng)驗，形成數(shù)學(xué)研究的套路是很有幫助的.方案三更多地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)演繹的一面，從找到兩個三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的對稱性開始，沿著對稱性這條主線逐漸推理下去，最后推得兩角差的余弦公式，而這個公式的數(shù)學(xué)本質(zhì)就是：單位圓中，任意兩個角的終邊關(guān)于某一條直徑所在直線對稱，所以說圓是最好的刻畫三角函數(shù)的數(shù)學(xué)模型.數(shù)學(xué)經(jīng)驗的積累、數(shù)學(xué)本質(zhì)的把握，對于理解公式進而理解數(shù)學(xué)是十分有益的.

2.關(guān)注數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，彰顯學(xué)生的主體作用

3.展示數(shù)學(xué)思想，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)有三個基本特征，一般性、嚴謹性和應(yīng)用的廣泛性，這是數(shù)學(xué)領(lǐng)域里的普遍共識，與之對應(yīng)的數(shù)學(xué)基本思想是：抽象、推理和模型，反映在學(xué)生身上的思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力，就是六個數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng).上述三個教學(xué)方案，都體現(xiàn)了從特殊到一般的抽象過程，數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的合情推理與數(shù)學(xué)證明的邏輯推理過程，以及形成公式的建模過程，由于選擇的路徑不同，所表現(xiàn)出來的數(shù)學(xué)基本思想強弱差距很大，落實到學(xué)生思想或行為上的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)必然不同.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)需要揭示數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，理清數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，展示數(shù)學(xué)的研究方法，使學(xué)生真正走進數(shù)學(xué)內(nèi)部，近距離觸摸數(shù)學(xué)知識的發(fā)展脈絡(luò)，這樣才能讓數(shù)學(xué)散發(fā)出自身的魅力，吸引和感染更多的學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)、會學(xué)數(shù)學(xué).其次，學(xué)生思維的主動參與是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的根本保證，沒有學(xué)生參與的課堂教學(xué)，只是教師的一味灌輸，學(xué)生的被動記憶，他們的才華得不到施展，情感得不到宣泄，發(fā)現(xiàn)問題、分析問題的能力得不到鍛煉和培養(yǎng)，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展必然落空.這樣培養(yǎng)出來的學(xué)生不會思考、缺乏主見，不會思考的人無法辨別是非，缺乏主見的人沒有創(chuàng)新能力.所以說，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)需要揭示數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，讓學(xué)生的思維真正動起來，實現(xiàn)思維的相互碰創(chuàng)，這樣的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)才會充滿勃勃生機.