學(xué)習(xí)進(jìn)階：從“智學(xué)”走向“自慧”的應(yīng)然之徑*

江蘇省宜興市丁蜀高級(jí)中學(xué) (214221)

周 軍

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)立足學(xué)生的認(rèn)知基點(diǎn)，遵循學(xué)生的心理發(fā)展機(jī)制和個(gè)性化學(xué)習(xí)差異，因材施教，循序漸進(jìn).這正是學(xué)習(xí)進(jìn)階理論所倡導(dǎo)的序列化、精致化、高階化的思維教學(xué)愿景.教師在課堂教學(xué)中應(yīng)挖掘數(shù)學(xué)本質(zhì)及數(shù)學(xué)教學(xué)的價(jià)值，精心搭建引領(lǐng)學(xué)生從低層次思維向高階思維演進(jìn)的“腳手架”，合理把控?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的演進(jìn)序、學(xué)生認(rèn)知心理的思維序、教學(xué)時(shí)空拓展的推進(jìn)序，真正還原數(shù)學(xué)教學(xué)的本真價(jià)值:讓學(xué)生獲取生存、生活和適應(yīng)社會(huì)發(fā)展的智慧.這樣才是回歸“人本”的，才是“育化生命”的，才是對(duì)教育價(jià)值的最高領(lǐng)悟.

現(xiàn)實(shí)的教學(xué)過(guò)程中，囿于高中數(shù)學(xué)課時(shí)安排緊張，部分教師依然執(zhí)著于“題海戰(zhàn)”、“應(yīng)試觀”和“循環(huán)練”，忽視學(xué)生的個(gè)性差異，缺乏方法層面的指導(dǎo)和思想價(jià)值的提煉，課堂的話語(yǔ)權(quán)始終被教師掌控，學(xué)生缺少深度學(xué)習(xí)的活動(dòng)體驗(yàn)，因此，“學(xué)而不懂”、“懂而不會(huì)”、“會(huì)而不快”的現(xiàn)象屢屢呈現(xiàn).那么，怎樣設(shè)計(jì)教學(xué)路徑，怎樣激活學(xué)生智慧學(xué)習(xí)進(jìn)而自育慧根理應(yīng)成為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)研究的一個(gè)亟待開展的課題.一節(jié)精準(zhǔn)有序的高三二輪微專題復(fù)習(xí)課能讓我們耳目一新，為我們開啟思維進(jìn)階的智學(xué)模式指明方向.無(wú)錫市教學(xué)能手黎明老師執(zhí)教的“多元變量的最值問(wèn)題”就是這樣一個(gè)優(yōu)質(zhì)的課堂范式.

1.教學(xué)實(shí)錄

涉及“多元變量”的最值問(wèn)題是近年來(lái)各地模擬考試和高考中的熱門考點(diǎn)，這類問(wèn)題形式多變，綜合性強(qiáng)，能有效甄別學(xué)生的思維層級(jí)，能激發(fā)學(xué)生自我挑戰(zhàn)的意識(shí)，能培養(yǎng)高品質(zhì)的關(guān)鍵能力.問(wèn)題解決的策略一般有：函數(shù)與方程思想、不等式思想、換元思想、化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想等.這些策略的背后蘊(yùn)含著高中數(shù)學(xué)主干知識(shí)的重要脈絡(luò)，滲透著可遷移、可拓展、可推廣的數(shù)學(xué)思想方法，育化著可持續(xù)發(fā)展的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).教師的角色定位于教學(xué)時(shí)空的設(shè)計(jì)者，思維進(jìn)階的奠基者，習(xí)得價(jià)值的評(píng)價(jià)者，其任務(wù)在于追溯數(shù)學(xué)本質(zhì)，培養(yǎng)理性思維，助力深度發(fā)展.黎老師正是憑借獨(dú)特的教學(xué)智慧，成就了一堂既“燒腦”又“溢趣”的微專題復(fù)習(xí)課，

片段1

黎：學(xué)習(xí)上，我們要培養(yǎng)“瞻前顧后”的好習(xí)慣，千萬(wàn)不能“喜新厭舊”哦！

(眾生笑，氣氛熱烈.)

黎：當(dāng)遇到新問(wèn)題的時(shí)候，要善于聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí).請(qǐng)大家思考以前的哪些內(nèi)容涉及多元變量的問(wèn)題？

生1：線性規(guī)劃.

生2：基本不等式.

生3：三角形中三角函數(shù).

……

黎：非常好！從同學(xué)們的回答中可以提煉出一個(gè)重要的觀點(diǎn)：用聯(lián)系的視角看問(wèn)題，才能更系統(tǒng)，更深刻.下面，我們就沿著這樣思路，開始今天的探究之旅.先看一下課前熱身的兩個(gè)小題.

題1 設(shè)x≥0，y≥0且x+2y=1，則2x+3y2的最小值為.

題2 已知正實(shí)數(shù)x，y滿足xy+x+y=3，則x+y的最小值為.

黎：大家已經(jīng)作了預(yù)習(xí)，下面請(qǐng)位同學(xué)來(lái)談?wù)劷鉀Q方案.

黎：解題過(guò)程中是否存在忽略的細(xì)節(jié)呢？

黎：很好，觀察敏銳，思維嚴(yán)謹(jǐn).(追問(wèn))你覺得題1的解法依據(jù)是什么？

生5：通過(guò)消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)求最值.

黎：不錯(cuò)！這就揭示了多元變量問(wèn)題的第一個(gè)關(guān)聯(lián)對(duì)象——函數(shù).那么，題2解法的依據(jù)又如何呢？

生6：用基本不等式構(gòu)建不等關(guān)系求最值.

黎：很好！呈現(xiàn)了等與不等的轉(zhuǎn)化，揭示了多元變量問(wèn)題的第二個(gè)關(guān)聯(lián)對(duì)象——不等式.

設(shè)計(jì)價(jià)值評(píng)析：監(jiān)測(cè)學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和思維起點(diǎn)，暴露學(xué)生的迷思概念，通過(guò)適時(shí)追問(wèn)、元認(rèn)知提示語(yǔ)、比較辨析，引導(dǎo)學(xué)生不僅關(guān)注“漁魚之術(shù)”，更要洞悉“漁魚之道”.同時(shí)，從方法論的層面揭示了多元變量最值問(wèn)題的兩個(gè)轉(zhuǎn)化走向，為后續(xù)的深入探究開啟生長(zhǎng)空間.

片段2

探究1：(2011浙江)設(shè)x，y是實(shí)數(shù)，且4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值為.

黎：這是浙江省的高考題，典型的多元變量最值問(wèn)題，入口寬泛，內(nèi)涵豐富.請(qǐng)大家依據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)尋求突破口.

(學(xué)生若有所思，躍躍欲試.)

黎：回答很流暢！你是如何思考的呢？

黎：觀察入微，分析透徹，給你點(diǎn)贊！從結(jié)構(gòu)的視角審視條件與目標(biāo)的關(guān)系，通過(guò)轉(zhuǎn)化，導(dǎo)通思維路徑，達(dá)成目標(biāo)，這是分析和解決問(wèn)題的重要能力，需要有意識(shí)培養(yǎng).下面，如果改變結(jié)論：求3x+y的最大值，又該如何處理呢？

(學(xué)生沉默，面露糾結(jié)之色.)

黎：剛剛的方法還適用嗎？

生8：不能用了，結(jié)構(gòu)上的聯(lián)系似乎沒有了.

生9：考慮將條件式消元后代入目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)求最值，可是不會(huì)消元了.

黎(追問(wèn))：你覺得為什么無(wú)法消元？可以跟前面的題目做個(gè)對(duì)比.

生9(思索片刻，恍然大悟)：我明白了！前面的題條件中變量x，y各自的指數(shù)統(tǒng)一，可以用一個(gè)變量表示另一個(gè)變量，而本題條件中x，y各自的指數(shù)明顯不統(tǒng)一，所以無(wú)法通過(guò)變量分離來(lái)消元.

黎：很棒！問(wèn)題的癥結(jié)分析得很到位.看來(lái)，消元之法是沒用武之地嘍！老師也沒什么好辦法了(無(wú)奈地笑)，你們還有高招嗎？

生10：平時(shí)我們習(xí)慣于將條件式變形代入目標(biāo)式消元，這次反過(guò)來(lái)，可以考慮將目標(biāo)式代入條件式處理.

黎：你的想法很有創(chuàng)意！具體說(shuō)說(shuō)怎么做？

生10：先目標(biāo)式換元，令3x+y=t，則y=t-3x，代入條件式得10x2-5tx+t2-1=0，后面怎么處理，還沒想好.

黎：生10的問(wèn)題，可能也是大家在糾結(jié)的.其實(shí)，他通過(guò)換元、消元得到的不再是函數(shù)，而是一個(gè)方程.關(guān)鍵在于搞清變量x和t的角色定位，主元意識(shí)很重要，由于t是待求的，視為參數(shù)，那么x理應(yīng)為主元，隨即轉(zhuǎn)化為一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)解的問(wèn)題，用Δ≥0輕松解決.

黎：請(qǐng)大家回憶一下，以前的學(xué)習(xí)中有沒有類似的研究經(jīng)歷？

(一石激起千層浪.學(xué)生下意識(shí)地相互討論、辨析.)

生11：條件是一個(gè)二元二次方程，如果沒有xy這一項(xiàng)，就表示橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，現(xiàn)在多了這一項(xiàng)，我猜還應(yīng)該是橢圓.目標(biāo)是一個(gè)二元一次方程，含有參數(shù)t，表示一組平行直線.這樣問(wèn)題就可以轉(zhuǎn)化為直線與橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題，那么剛剛的解法就很合理了.

黎：視角轉(zhuǎn)換得很漂亮！從幾何背景追溯問(wèn)題的本源，有助于思維的可視化.這樣多元變量的另外兩個(gè)關(guān)聯(lián)對(duì)象：方程和幾何圖形，很自然地浮出水面.剛才生11大膽猜想條件表示橢圓，是有道理的，可以用坐標(biāo)變換去驗(yàn)證——發(fā)生旋轉(zhuǎn)的橢圓，他的這種創(chuàng)新意識(shí)值得大家學(xué)習(xí).

黎：對(duì)于4x2+y2+xy=1，如果去掉xy，求3x+y的最大值，是否很熟悉呢？在哪里遇到過(guò)？

生12：附加題中經(jīng)常做，可以用三角換元.

黎：很好！此題能否類比操作呢？

黎:精彩！此處應(yīng)有掌聲.通過(guò)配方，變形為平方和為常數(shù)的形式，依據(jù)sin2θ+cos2θ=1進(jìn)行換元.至此，三角函數(shù)也成為多元變量的重要關(guān)聯(lián)對(duì)象.

設(shè)計(jì)價(jià)值評(píng)析：學(xué)習(xí)進(jìn)階理論強(qiáng)調(diào)為學(xué)生的思維演進(jìn)搭“階”，幫助學(xué)生的認(rèn)知從單向走向多維，從線性走向立體，從碎片化走向系統(tǒng)化.教師在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)設(shè)問(wèn)，通過(guò)一題多解，一題多變，一題多思，固化通性通法，構(gòu)建思想模塊，明辨疑難癥結(jié)，強(qiáng)化理性思維.更值得一題的是，在重要的思維節(jié)點(diǎn)，濃墨重彩，甚至不惜稚化思維，以期激發(fā)學(xué)生的探究欲望，從而達(dá)成師生的思維同頻共振，也促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)自主、自覺、自然地形成.

片段3

黎：對(duì)于這道高考題，大家的直覺思維是什么呢？

生14：減少變量，多變量最好轉(zhuǎn)化為單變量.

黎：看來(lái)，減元是硬道理！那么，如何減，還是要講策略的，請(qǐng)大家思考一下.

黎：很好！可否消去x或z呢？

生15：應(yīng)該也行，不過(guò)對(duì)于分式，將分子變復(fù)雜比分母變復(fù)雜容易處理.

黎：觀察敏銳！這就體現(xiàn)了運(yùn)算的簡(jiǎn)約化.下面，通過(guò)兩個(gè)變式進(jìn)一步感悟減元的常見策略.

變式2：已知實(shí)數(shù)a，b，c，滿足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，則實(shí)數(shù)a的最大值為.

(學(xué)生分組討論，練習(xí)嘗試.)

黎：請(qǐng)兩位學(xué)生代表，解說(shuō)你們的研究成果.

黎：這里用到不等式放縮消元以及齊次分式整體化消元的策略，請(qǐng)大家細(xì)心積累經(jīng)驗(yàn)，靈活運(yùn)用.

黎：心中有公式，手下當(dāng)無(wú)礙.還有別的途徑嗎？從幾何背景考慮下.

生18：可以把a(bǔ)當(dāng)做不變量，那么前一個(gè)方程表示直線，后一個(gè)方程表示圓，這樣可以聯(lián)立方程組通過(guò)消元后用Δ≥0即可解決.

黎:不錯(cuò)！既然是直線和圓的位置關(guān)系的判斷，還能優(yōu)化處理嗎？

生19：可以用圓心到直線的距離和半徑作比較，即d≤r.

黎：非常好！這樣更簡(jiǎn)潔，更能體現(xiàn)以形助數(shù)的解析味.

設(shè)計(jì)價(jià)值評(píng)析：生態(tài)課堂觀下學(xué)生是思維活動(dòng)的主體，教師充當(dāng)設(shè)計(jì)者和引領(lǐng)者，通過(guò)過(guò)分組探究、代表展示、深度對(duì)話的形式培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和深刻性，通過(guò)變式訓(xùn)練讓學(xué)生自主積淀策略模塊并辯證比較，理性選擇，激發(fā)學(xué)生思維的批判性.

黎：《禮記·中庸》有云：“博學(xué)之，審問(wèn)之，慎思之，明辨之，篤行之.”這說(shuō)的是為學(xué)的幾個(gè)層次，我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)亦當(dāng)如此.希望同學(xué)們循序漸進(jìn)，習(xí)得有價(jià)值的數(shù)學(xué)，自育生命成長(zhǎng)之慧根.

設(shè)計(jì)價(jià)值評(píng)析：通過(guò)吟誦勵(lì)志語(yǔ)，喚起師生感悟文化的共鳴，彰顯了數(shù)學(xué)教育的人文價(jià)值.同時(shí)，為學(xué)之境切合學(xué)習(xí)進(jìn)階理論的演進(jìn)規(guī)律，無(wú)意中形成融通之勢(shì)，可謂無(wú)心插柳柳成蔭.

2.學(xué)習(xí)進(jìn)階視域下的智學(xué)課堂呈現(xiàn)怎樣的教學(xué)生態(tài)？

高三二輪的微專題設(shè)計(jì)要體現(xiàn)“因微而準(zhǔn)、因微而細(xì)、因微而深、因微而精.”立足學(xué)情，定點(diǎn)突破，說(shuō)有價(jià)值的數(shù)學(xué)，引可遷移的思維.實(shí)施過(guò)程中應(yīng)明確以下要素.

(1)科學(xué)選擇定位適切

微專題源于高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)問(wèn)題和學(xué)生的疑點(diǎn)、難點(diǎn)問(wèn)題，選擇蘊(yùn)含方法思想典型題目作為思維載體，注重例題、變式、練習(xí)間的層次性和關(guān)聯(lián)性，讓學(xué)生自主建構(gòu)解決一類問(wèn)題的思維導(dǎo)圖.當(dāng)然，二輪復(fù)習(xí)內(nèi)容有一定難度，所以不同生源的學(xué)校、不同組合的班級(jí)、不同層次的學(xué)生選擇的微專題數(shù)目和深度應(yīng)有所差異，必須遵循讓學(xué)生“跳一跳夠得到”的原則，立足讓不同的學(xué)生得到不同的發(fā)展.

(2)凸顯主體活動(dòng)引智

學(xué)生和教師的思維落差是客觀存在的，倘若教師主觀臆斷，越俎代庖，過(guò)多干擾學(xué)生的個(gè)性化思維活動(dòng)，那么學(xué)生必將收獲甚微，興趣索然.因此，讓學(xué)生獲得課堂的話語(yǔ)權(quán)和活動(dòng)權(quán)，凸顯其主體地位，顯得至關(guān)重要.首先，先練后講.讓學(xué)生板演示錯(cuò)，師生共同糾錯(cuò)；讓學(xué)生展示多種解法，師生共同評(píng)價(jià).這樣增強(qiáng)學(xué)生的思辨意識(shí).其次，分組討論，集中展示.讓學(xué)生在討論和展示中激發(fā)思維火花，分享成功經(jīng)驗(yàn)，汲取失誤教訓(xùn)，形成思維固著.教師可通過(guò)元認(rèn)知提問(wèn)、適度點(diǎn)撥、稚化自我等方式，幫助學(xué)生突破思維瓶頸，強(qiáng)化思路拓展，促進(jìn)深度學(xué)習(xí).

(3)自主整理優(yōu)化結(jié)構(gòu)

二輪復(fù)習(xí)的課堂容量和思維深度對(duì)學(xué)生而言都是極大的挑戰(zhàn)，因此，為學(xué)生留白，讓學(xué)生內(nèi)化也是必不可少的.首先，確保自主整理的時(shí)間.每節(jié)課結(jié)束前，可留十到十五分鐘，讓學(xué)生畫思維導(dǎo)圖，自主總結(jié)；每周安排二到三節(jié)反思課，讓學(xué)生消化反思.其次，引導(dǎo)學(xué)生系統(tǒng)化整理.對(duì)于錯(cuò)題要按知識(shí)點(diǎn)、方法、思想等線索歸類，提醒學(xué)生自己提煉解題方法和規(guī)律，從而完善和優(yōu)化自己的思維結(jié)構(gòu).最后，創(chuàng)造讓學(xué)生展示整理成果的機(jī)會(huì).比如，讓學(xué)生編題、說(shuō)題，調(diào)動(dòng)學(xué)生執(zhí)行整理工作的積極性.