回到師生共長(zhǎng)的“起點(diǎn)”處
——聽“認(rèn)識(shí)三角形的高”一課有感

◇羅超海 李利娥

教學(xué)片段一：

大屏幕出示圖1。

圖1

師：圖中畫的是什么，你們見過嗎？

生：見過，這個(gè)像農(nóng)村房子的屋頂。

師：這種屋頂所用的梁，我們把它稱為“人字梁”。人字梁的屋頂之所以做成三角形，就是因?yàn)槿切卧诒姸喽噙呅谓Y(jié)構(gòu)中最穩(wěn)定、最牢固，而且這樣設(shè)計(jì)，更有空間感和立體感。

師：如果要測(cè)量這個(gè)人字梁的高，你認(rèn)為應(yīng)該從哪里量到哪里？實(shí)際上就是測(cè)量圖中哪條線段的長(zhǎng)？同桌可以輕聲討論一下。

生1：就是量中間最長(zhǎng)的那條線段。

生2：就是從這個(gè)人字梁上面那個(gè)頂點(diǎn)到下面這條邊的垂直線段的長(zhǎng)度。

師：現(xiàn)在，我們把這個(gè)人字梁所表示的三角形畫下來，從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊作一條垂直線段，這條垂直線段就是三角形的高。

（教師邊講解邊在黑板上畫三角形及其高，標(biāo)上直角標(biāo)記，并在所畫線段的旁邊標(biāo)出“高”字。然后指出：這條對(duì)邊就是三角形的底。在圖中寫上“底”字，指名學(xué)生回憶剛才畫高的過程，說一說什么是三角形的高，什么是三角形的底。接著，教師出示“小試牛刀”。如圖2）

圖2

學(xué)生完成后組織反饋交流。在交流圖2 第二個(gè)三角形底邊上的高時(shí)，教師展示了幾幅學(xué)生作品（如圖 3）。

圖3

教師引導(dǎo)學(xué)生討論辨析時(shí)，一生高高地把手舉起，并示意老師叫他。

生1：老師，我發(fā)現(xiàn)畫三角形的高，其實(shí)與上學(xué)期我們學(xué)習(xí)過的有個(gè)知識(shí)差不多。

師：哪個(gè)知識(shí)？

生1：就是過直線外一點(diǎn)畫已知直線的垂直線段。你看，我們把這個(gè)三角形其他兩條邊忽略，留下底，跟這個(gè)底相對(duì)的頂點(diǎn)就是上面這個(gè)點(diǎn)，過這個(gè)點(diǎn)畫下面底的垂直線段，就是這個(gè)底的高。

生2：不對(duì)，這個(gè)垂直線段的垂足不在底上。

生1：這個(gè)底可以延長(zhǎng)啊，把它看作一條直線就可以了。 我剛剛在作業(yè)單上畫了， 你們看。（如圖 4）

圖4

師：那你能到前面來一邊展示一邊講給大家聽嗎？

生1：我先畫一條直線，然后在直線外畫一個(gè)點(diǎn)A，過這一點(diǎn)作這條直線的垂直線段。再在直線上截取一條線段BC 當(dāng)作三角形的底，將點(diǎn)A 分別與B 點(diǎn)、C 點(diǎn)連起來， 這個(gè)三角形就像老師給的左邊那個(gè)三角形。我在這條直線上再取一個(gè)點(diǎn) D，把 A 和 D 連起來，那么三角形 ACD 就像右邊這個(gè)三角形。我剛剛畫的垂直線段就是這兩個(gè)三角形底邊上的高。

師驚喜地問其他同學(xué)：你們聽懂了嗎？

……

【啟發(fā)與重建】

本案例中，教師根據(jù)教材中測(cè)量“人字梁”的高度這一現(xiàn)實(shí)情境，引導(dǎo)學(xué)生感知三角形的底和高，并由此抽象出三角形底和高的概念。在練習(xí)設(shè)計(jì)上，教師認(rèn)識(shí)到作高特別是作指定底邊上的高是一個(gè)難點(diǎn)，所以有意延伸，除了教材上作三角形的高（在三角形內(nèi)），還補(bǔ)充了一道題，作三角形的高（在三角形外）。反饋交流時(shí)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生要么沒找著頂點(diǎn)就畫， 要么搞不清誰是底邊，要么畫得不夠垂直（如圖3）。究其原因，教材中高的定義比較難理解，在教師的“細(xì)致”講解過程中，學(xué)生對(duì)什么是對(duì)邊、如何向?qū)呑鞔咕€等問題，可能是越學(xué)越糊涂，越練越混淆。而生1 發(fā)現(xiàn)和采用的方法，巧妙地將新知轉(zhuǎn)化為舊知，即畫高時(shí)可以“忽略”其他兩條邊，按照之前已掌握的 “過直線外一點(diǎn)畫已知直線的垂直線段”的技能操作，這樣“頂點(diǎn)”“對(duì)邊”自然呈現(xiàn)，難點(diǎn)迎刃而解。

受此啟發(fā)，筆者對(duì)“認(rèn)識(shí)三角形的高”進(jìn)行了教學(xué)重建。

教學(xué)片段二：

1.在作業(yè)單上按要求畫一畫。

要求1：過A、B 兩點(diǎn)畫一條直線。

要求2：過直線外一點(diǎn)C，畫出點(diǎn)C 到直線AB 的垂直線段。

要求 3：連接 AC、BC，用彩筆描出三角形ABC。

圖5

2.讓學(xué)生用自己的語言說一說三角形是怎么形成的， 并在此基礎(chǔ)上概括總結(jié)出三角形的定義，明確“邊”“頂點(diǎn)”概念的同時(shí)，告訴學(xué)生這時(shí)線段AB 又叫作三角形的底，從頂點(diǎn)C 到AB 畫的垂直線段又叫作高，從而抽象出“底”和“高”的概念。

3.教師提問：你覺得這個(gè)三角形另外兩條邊上有高嗎？ 你覺得BC 邊上的高應(yīng)該怎么畫呢？從哪個(gè)點(diǎn)出發(fā)？AC 邊上的高怎么畫呢？（學(xué)生交流后獨(dú)立完成，展示評(píng)講）

4.過點(diǎn) C 畫直線 AB 的平行線 l，在直線 l 上取一點(diǎn)D，圍成直角三角形ABD，討論AB 邊上的高該怎么畫。

5.在l 上取一點(diǎn)E，圍成鈍角三角形ABE，討論辨析AB 邊上的高該怎么畫。

6.觀察作業(yè)單上銳角三角形ABC、直角三角形 ABD、鈍角三角形 ABE 中，AB 邊上的三條高，說一說它們的相同與不同之處。

【思考】

美國(guó)教育心理學(xué)家奧蘇貝爾說：“影響學(xué)習(xí)的最主要原因是學(xué)生已經(jīng)知道了什么， 我們應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)生原有的知識(shí)狀況去進(jìn)行教學(xué)?！边@就需要教師真正了解學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)在哪里，并基于此展開教學(xué)。

整體統(tǒng)攬，把握起點(diǎn)。教師要把握好學(xué)習(xí)的邏輯起點(diǎn)， 除了需要具有較完備的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，還必須讀懂教材的編排體系。在教學(xué)一個(gè)知識(shí)點(diǎn)前，教師應(yīng)弄明白學(xué)生在此之前已經(jīng)學(xué)過哪些相關(guān)的知識(shí)， 以后還要學(xué)習(xí)哪些相關(guān)的知識(shí)，了解知識(shí)的來龍去脈。上述教學(xué)片段一中，教師沒有關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的邏輯起點(diǎn)，沒有聯(lián)想到四年級(jí)上冊(cè)學(xué)過的 “過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線”這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，只是照本宣科，缺少精心預(yù)設(shè)。

適度整合，二次開發(fā)。作為一線教師，應(yīng)根據(jù)本班學(xué)生的真實(shí)起點(diǎn)，創(chuàng)造性地使用教材，適度調(diào)整，合理開發(fā)。比如“認(rèn)識(shí)三角形的高”，教材給出的只有作銳角三角形的三條高， 即高在三角形內(nèi)， 那么直角三角形的高和鈍角三角形的高要不要涉及呢？筆者以為，高在三角形外這種情況雖然有難度，但只要巧妙設(shè)計(jì)，不但能降低知識(shí)點(diǎn)的難度， 還能在對(duì)比和辨析中強(qiáng)化高的意義以及高的各種情況之間的聯(lián)系。 如教學(xué)片段二中，利用四年級(jí)上冊(cè)學(xué)過的“兩條平行線之間的距離處處相等”，讓學(xué)生感知無論是什么三角形，作AB 邊上的高都是從與它相對(duì)的頂點(diǎn)出發(fā)作垂線段，這是它們的相同點(diǎn)，所不同的是有的垂線段在三角形內(nèi)， 有的與三角形的一條邊重合，有的在三角形外。這樣設(shè)計(jì)，將原本孤立的知識(shí)點(diǎn)連成線，讓學(xué)生見木又見林。

反詰自我，提升教學(xué)力。教師雖然有意識(shí)地去關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)， 但不可能親歷學(xué)生知識(shí)形成的過程，因此，教學(xué)預(yù)設(shè)對(duì)學(xué)生的起點(diǎn)定位有所偏頗，不能“面面俱到”也是能理解的。所以，教師在課堂教學(xué)中，應(yīng)該給足學(xué)生話語權(quán)，讓學(xué)生有足夠的時(shí)間和機(jī)會(huì)表達(dá)自己的想法，關(guān)注學(xué)生思維過程的同時(shí)有效利用、及時(shí)調(diào)整預(yù)案，關(guān)注知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，使之成為課堂教學(xué)的“正催化劑”。課后，教師還需要及時(shí)反思課堂教學(xué)，把精彩的生成充實(shí)進(jìn)自己的教學(xué)素材，豐富教學(xué)內(nèi)容，努力提高自己讀懂學(xué)生、處理教材的能力，探尋自身教學(xué)力提升的生長(zhǎng)點(diǎn)。