分?jǐn)?shù)在教科書(shū)中的不同意義（上）

◇林碧珍

分?jǐn)?shù)與小數(shù)、百分率、比等概念關(guān)系密切。對(duì)于分?jǐn)?shù)，在大陸和臺(tái)灣兩岸教科書(shū)中有各自的發(fā)展脈絡(luò)。

在大陸教科書(shū)中，分?jǐn)?shù)首次出現(xiàn)是在三年級(jí)，學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)； 四年級(jí)教科書(shū)中沒(méi)有編入分?jǐn)?shù)內(nèi)容，一直到了五年級(jí)，才出現(xiàn)分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)，內(nèi)容包括分?jǐn)?shù)的定義、分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系、真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算等。不同版本的教科書(shū)幾乎都將分?jǐn)?shù)集中編入三個(gè)學(xué)期。

臺(tái)灣教科書(shū)將分?jǐn)?shù)分布于三至六年級(jí)共八個(gè)學(xué)期中。三年級(jí)時(shí)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)、同分母分?jǐn)?shù)的大小比較與加減；四年級(jí)時(shí)學(xué)習(xí)假分?jǐn)?shù)與帶分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)的整數(shù)倍、等值分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)、分?jǐn)?shù)與小數(shù)互化；五年級(jí)時(shí)學(xué)習(xí)異分母分?jǐn)?shù)的比較與加減、找出等值分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)乘法；六年級(jí)時(shí)學(xué)習(xí)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)除法及分?jǐn)?shù)的四則混合運(yùn)算。不同年級(jí)在復(fù)雜度與難度上有不同的安排，如：在分?jǐn)?shù)類(lèi)型方面，從低年級(jí)的單位分?jǐn)?shù)（大陸教科書(shū)中以分?jǐn)?shù)單位稱(chēng)之)、真分?jǐn)?shù)，到中年級(jí)的假分?jǐn)?shù)及帶分?jǐn)?shù)；在分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算方面，從中年級(jí)的同分母分?jǐn)?shù)的加減法到高年級(jí)的乘數(shù)（除數(shù)）為分?jǐn)?shù)的乘法（除法）。不同年級(jí)的教科書(shū)也從學(xué)理上考慮分?jǐn)?shù)的多種不同意義，每種意義都有其各自的角色、功能及發(fā)展脈絡(luò)。

然而，教師在解讀或使用教科書(shū)時(shí)，往往僅關(guān)注分?jǐn)?shù)的類(lèi)型或四則運(yùn)算，而難以察覺(jué)分?jǐn)?shù)的不同意義。例如，分布于不同年級(jí)教科書(shū)中的三種分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)活動(dòng)的題目A、B、C，如下。教師在解讀時(shí)可能僅關(guān)注可用乘法解決這些問(wèn)題，而忽略了三個(gè)問(wèn)題中代表的不同意義。

若教師沒(méi)有厘清分?jǐn)?shù)的不同意義，疏于處理這些不同的意義在不同年級(jí)教科書(shū)中的地位，會(huì)導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)時(shí)感覺(jué)困難。因此，借由2018年11月份在溫州大學(xué)舉辦的“第二屆兩岸‘溫清’小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究暨中澳比較教育論壇”這個(gè)交流機(jī)會(huì)，探討臺(tái)灣教科書(shū)中分?jǐn)?shù)不同意義的發(fā)展脈絡(luò)。

一、在課堂中學(xué)生提出的疑問(wèn)

學(xué)生在小學(xué)階段第一次經(jīng)歷數(shù)系擴(kuò)展：從整數(shù)到分?jǐn)?shù)的擴(kuò)展。分?jǐn)?shù)是要解決整數(shù)無(wú)法解決的問(wèn)題，例如，1 個(gè)月餅平均分成4 塊，每塊月餅的大小無(wú)法用正整數(shù)表示，需要擴(kuò)充到分?jǐn)?shù)，用分?jǐn)?shù)表示1 塊月餅的大小。 分?jǐn)?shù)比正整數(shù)復(fù)雜許多，學(xué)習(xí)難度也較高，正整數(shù)的性質(zhì)不一定可以直接推廣到分?jǐn)?shù)。學(xué)生可能會(huì)將整數(shù)的性質(zhì)類(lèi)推到分?jǐn)?shù)上，以致產(chǎn)生錯(cuò)誤或迷思概念。許多研究也證實(shí)分?jǐn)?shù)是小學(xué)階段學(xué)生感到最難學(xué)的內(nèi)容。在課堂中，學(xué)生常見(jiàn)的疑問(wèn)如下：

1.1 盒蠟筆 12 支，妹妹用了 3 支，用了幾盒蠟筆？ 請(qǐng)畫(huà)圖表示。

圖1

圖2

3.老師準(zhǔn)備了12 瓶汽水，1 瓶汽水正好倒?jié)M10 杯，老師喝了3 杯，老師喝了多少瓶？

4.將1 個(gè)蛋糕平均分成8 塊，弟弟吃了2 塊后，妹妹再吃剩下的6 塊中的3 塊，妹妹吃了多少個(gè)蛋糕？

5.1 盒餅干12 塊， 平均分給第一組的6 人和第二組的6 人，每人拿到幾塊餅干？每人拿到幾盒餅干？

6.老師買(mǎi)了4 條面包，每一條都平均切成8片，第一組吃了10 片，第一組吃了幾條面包？請(qǐng)畫(huà)圖表示吃掉的面包。

學(xué)生說(shuō)：“如圖3，為什么答案不是10 16 條？”

圖3

圖4

9.2 條巧克力平均分給5 人，每人吃了多少條巧克力？1 條巧克力平均分給5 人，2 人共吃了多少條巧克力？

12.3 的 4 倍是 12，12 是 3 的倍數(shù)， 哥哥的錢(qián)數(shù)是全部的倍，哥哥的錢(qián)數(shù)是弟弟的倍。

學(xué)生說(shuō)：“不都是倍數(shù)嗎？有什么不一樣？”

這13 個(gè)疑問(wèn)中，疑問(wèn)1～8 都與分?jǐn)?shù)的部分-整體關(guān)系有關(guān)，學(xué)生理解困難的根源是沒(méi)有掌握整體單位量“1”（即大陸所說(shuō)的單位“1”）的概念。學(xué)生提出疑問(wèn)13，主要是因?yàn)闆](méi)有理解運(yùn)算法則背后的意義， 而只熟背運(yùn)算法則或公式。學(xué)生提出疑問(wèn)9～12 的主要根源是沒(méi)有厘清分?jǐn)?shù)的不同意義。由此可見(jiàn)，學(xué)生學(xué)習(xí)困難的部分原因是沒(méi)有厘清分?jǐn)?shù)的不同意義。

二、分?jǐn)?shù)在教科書(shū)中的不同意義

造成學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)困難的原因分為三類(lèi)：知識(shí)本質(zhì)的成因、心理的成因、教育的成因。心理的成因包含學(xué)生的學(xué)習(xí)特質(zhì)、學(xué)生的用功程度等，教育的成因包含教學(xué)法、教材的安排等。下面將從知識(shí)本質(zhì)的觀點(diǎn)分析小學(xué)階段分?jǐn)?shù)六種意義的發(fā)展脈絡(luò)。

（一）部分-整體關(guān)系。

分?jǐn)?shù)意義的建立是從部分-整體的關(guān)系引入的。將一個(gè)整體量分割成幾等份，其中部分量的大小用整體量來(lái)描述，分?jǐn)?shù)表示部分量和整體量的關(guān)系。例如，將1 個(gè)月餅分成4 等份，其中3份的大小就是個(gè)月餅。“個(gè)”涵蓋三個(gè)子概念：（1）個(gè)，是整體單位量的單位，表示什么東西被分（1 個(gè)月餅被分）；（2）分母“4”，表示怎么分（分成4 等份）；（3）分子“3”，表示取多少（取 3 份）。

臺(tái)灣早期的教科書(shū)在處理分?jǐn)?shù)中要求算出部分量大小的問(wèn)題時(shí)，在題干中以沒(méi)有單位量詞的“全部的幾分之幾”或“占全部的多少”來(lái)提問(wèn)（當(dāng)前大陸的教科書(shū)就是這樣處理的——編者注），如：把1 個(gè)蛋糕平均分成 4 份，其中 1 份是它的幾分之一？把1 個(gè)蛋糕平均分成4 份，其中1 份占全部蛋糕的多少？若以“1 份是1 個(gè)月餅的描述，則是部分和整體的相對(duì)關(guān)系，而非包含關(guān)系，容易導(dǎo)致學(xué)生在指認(rèn)整體單位量方面出現(xiàn)困難。

自1997年以后， 臺(tái)灣教科書(shū)為了幫助學(xué)生掌握整體單位量“1”，在設(shè)計(jì)上做了一項(xiàng)重大的改變， 就是對(duì)于要求算出部分量大小的題目，在題干中改為用含有單位量詞的句子來(lái)提問(wèn)， 如：把1 個(gè)蛋糕平均分成4 份，其中的1 份是多少個(gè)蛋糕？其答案為“1 份是個(gè)蛋糕”，1 份蛋糕的大小是一種絕對(duì)量。

2.連續(xù)量與離散量。

臺(tái)灣教科書(shū)強(qiáng)調(diào)在具體情境中幫助學(xué)生建立分?jǐn)?shù)概念。 具體情境中的量分為連續(xù)量及離散量?jī)煞N。在連續(xù)量情境中，整體量強(qiáng)調(diào)要等分或平均分，也就是大小一樣，但形狀不一定相同。如圖5，陰影區(qū)域是張紙，每等份的形狀不需要相同。

圖5

在生活中，處處存在離散量。對(duì)于離散量，在乎的是它的個(gè)數(shù)而不是其他屬性（如大小、形狀等）。例如，上面提及的疑問(wèn)1，蠟筆使用后每支的長(zhǎng)短不一樣，是很自然的事情。生活中的離散量大小不一定都一樣，例如，每個(gè)人的身高或體重不一定都一樣，或每個(gè)蘋(píng)果的大小或質(zhì)量不一定都相等。

圖4（a）的錯(cuò)誤是忽視整體單位量18 顆。圖4（b）的錯(cuò)誤是其表示的是包而非包。圖4（c）和圖 4（d）中都將 18 顆再重新分成 9 等份，但圖4（c）的錯(cuò)誤是沒(méi)有厘清4 份和4 顆的不同；圖 4（d）是沒(méi)有厘清單位應(yīng)該是“包”而非“顆”。雖然有關(guān)離散量的分?jǐn)?shù)問(wèn)題比有關(guān)連續(xù)量的分?jǐn)?shù)問(wèn)題復(fù)雜許多，尤其是單位分?jǐn)?shù)的內(nèi)容物為多個(gè)物時(shí)，但它是后續(xù)建立等值分?jǐn)?shù)概念及理解分?jǐn)?shù)乘法意義的重要基礎(chǔ)，所以非常重要。近年來(lái)，張奠宙教授已提出大陸教科書(shū)忽視了分?jǐn)?shù)的包含除問(wèn)題，而分?jǐn)?shù)的包含除問(wèn)題是離散量單位分?jǐn)?shù)的內(nèi)容物為多個(gè)物的一種類(lèi)型［1］。

（二）單位分量的累加。（測(cè)量）

部分-整體關(guān)系無(wú)法建立分子比分母大的假分?jǐn)?shù)概念。為了建立假分?jǐn)?shù)的概念，需要將分?jǐn)?shù)的意義從部分-整體關(guān)系擴(kuò)展到單位分量的累加。部分-整體關(guān)系是將解釋為4 等份中的3 份，而單位分量的累加是將解釋為 3 個(gè)。真分?jǐn)?shù)不僅可以用部分-整體關(guān)系解讀，也可以用單位分量的累加解讀，但假分?jǐn)?shù)無(wú)法用部分-整體關(guān)系解讀，僅能用單位分量的累加解讀。

將分?jǐn)?shù)意義擴(kuò)張為單位分量的累加，仍需與舊經(jīng)驗(yàn)部分-整體意義聯(lián)系起來(lái)，如3 個(gè)條巧克力=條巧克力，如圖6；也需要通過(guò)單位分量的累加重新建立分?jǐn)?shù)的數(shù)詞序列，如單位分量的累加建立的分?jǐn)?shù)和部分-整體關(guān)系建立的分?jǐn)?shù)一樣，是帶單位的。

圖6

單位分量的累加能幫助學(xué)生厘清在分?jǐn)?shù)加減乘除運(yùn)算中所犯的錯(cuò)誤或出現(xiàn)的迷思概念。例如，疑問(wèn)8 源于對(duì)整體單位量不理解，厘清這種疑惑的教學(xué)策略有：（1）利用部分-整體關(guān)系可解釋為1 盒巧克力有6 顆盒有 2 顆，盒有3 顆，2 顆巧克力和3 顆巧克力合起來(lái)是5 顆，是盒；（2）利用單位分量的累加，將解讀為 2 個(gè)和 3 個(gè)合起來(lái)， 是 5 個(gè)

單位分量的累加能幫助學(xué)生理解同分母分?jǐn)?shù)除法的意義，如：一條緞帶長(zhǎng)米，每米做1 朵花，共可做幾朵花？÷（2 個(gè)此處的結(jié)果 2 是 2 朵花或 2 個(gè)米，但不是 2 個(gè)米?；氐皆瓎?wèn)題情境，可以用來(lái)厘清學(xué)生提出的疑問(wèn)13。