自制教具在初中數(shù)學(xué)課堂中的應(yīng)用研究

劉健權(quán) 孫婧琦 焦寶聰 董黎明

摘? 要 初中數(shù)學(xué)課堂離不開抽象概念與具體事物的融合，在此基礎(chǔ)上，使用一定的教具不僅可以調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)科的積極性，更能培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。首先分析自制教具在初中數(shù)學(xué)課堂中的應(yīng)用現(xiàn)狀，然后介紹“拍賣現(xiàn)場(chǎng)”教具的制作過程和使用方法，并以初中博弈數(shù)學(xué)課堂為例，對(duì)該教具的應(yīng)用原則進(jìn)行詳細(xì)分析，最后對(duì)自制教具在初中數(shù)學(xué)課堂中的應(yīng)用意義進(jìn)行闡述，以期為相關(guān)主題的研究和實(shí)踐提供借鑒。

關(guān)鍵詞 自制教具;初中數(shù)學(xué);邏輯思維;博弈思維;拍賣現(xiàn)場(chǎng);3D One

中圖分類號(hào)：G633.6? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B

文章編號(hào)：1671-489X（2019）07-0029-05

1 引言

初中數(shù)學(xué)課堂仍然是廣大學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的主要學(xué)習(xí)環(huán)境之一，而學(xué)生對(duì)于這些知識(shí)的掌握和遷移同樣離不開對(duì)于實(shí)際生活中相關(guān)數(shù)學(xué)概念的理解和應(yīng)用。2017版數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)中提到：義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程應(yīng)當(dāng)培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和推理能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力，為學(xué)生未來生活、工作和學(xué)習(xí)奠定重要的基礎(chǔ)。作為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的補(bǔ)充，恰當(dāng)?shù)剡x擇和使用教具不僅能促進(jìn)學(xué)生理解相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，還能夠體現(xiàn)新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求。

在初中開展博弈思維課程，目的在于培養(yǎng)中學(xué)生的邏輯思維，即用有條理的、前后一致的思維方式思考和解決問題，以及在決策中考慮自身的實(shí)際需要。所以針對(duì)于此的教學(xué)活動(dòng)與教學(xué)評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)，便顯得尤為重要。在初中博弈數(shù)學(xué)課堂中使用相關(guān)的教學(xué)工具，不僅可以幫助學(xué)生深入地理解博弈的相關(guān)概念和應(yīng)用，更能直觀地了解學(xué)生對(duì)于博弈相關(guān)知識(shí)的掌握情況，利于教學(xué)評(píng)價(jià)的量化處理，以期為優(yōu)化初中博弈數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)效果提供指導(dǎo)。同樣，初中階段的學(xué)生正處于活潑好動(dòng)的年齡段，教師應(yīng)該充分考慮學(xué)生的興趣，選擇的教具既要符合教學(xué)要求，也應(yīng)該激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而使教具成為有效的輔助教學(xué)工具[1]。

2 自制教具在初中數(shù)學(xué)課堂中的應(yīng)用現(xiàn)狀

教具是為提高教學(xué)質(zhì)量而采用的教學(xué)輔助工具。傳統(tǒng)教具在初中數(shù)學(xué)課堂的使用較為廣泛，比如簡(jiǎn)單的立方體教具、尺規(guī)教具等，從而幫助學(xué)生直觀地了解該教具所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)。而自制教具則更加注重為某一知識(shí)點(diǎn)或某一學(xué)習(xí)內(nèi)容而進(jìn)行設(shè)計(jì)制作以及使用，如生物學(xué)科中的“生態(tài)瓶”、數(shù)學(xué)學(xué)科中的“四邊形組合”等。

自制教具在初中數(shù)學(xué)課堂中的研究和使用便不盡如人意。首先，自制教具同傳統(tǒng)教具一樣具有一定的局限性：教具只能針對(duì)某一種數(shù)學(xué)概念和知識(shí)給予從抽象到直觀的轉(zhuǎn)化，很難較為全面地涵蓋數(shù)學(xué)知識(shí)。其次，一部分初中教師已經(jīng)逐步忽視使用教具的初衷，只注意課堂學(xué)習(xí)的多樣性，忽視了課堂學(xué)習(xí)的實(shí)效性。所以，自制教具在初中數(shù)學(xué)課堂中的應(yīng)用并不夠廣泛，與其相關(guān)的研究也或多或少地停留在起步階段。

3 “拍賣現(xiàn)場(chǎng)”自制教具的設(shè)計(jì)與制作

拍賣是一種經(jīng)濟(jì)活動(dòng)，是由買方以公開叫價(jià)競(jìng)購(gòu)的方法，將現(xiàn)貨出售給出價(jià)最高的買主的一種買賣方式。拍賣本身是邏輯思維的一種應(yīng)用，具體來說是邏輯思維中的博弈思維應(yīng)用：你的出價(jià)應(yīng)該小于或等于拍賣品對(duì)你的價(jià)值。當(dāng)你的出價(jià)小于拍賣品對(duì)你的價(jià)值時(shí)，便得到相應(yīng)的收益，如何使你的收益最大化，就是你的目標(biāo)。而“拍賣現(xiàn)場(chǎng)”自制教具則通過模擬拍賣的活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生在競(jìng)爭(zhēng)博弈中追求個(gè)體利益最大化的博弈思維，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)博弈數(shù)學(xué)知識(shí)中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣。

“拍賣現(xiàn)場(chǎng)”自制教具的制作靈感和大致構(gòu)造借鑒桌上游戲“達(dá)·芬奇密碼”：在游戲中，每個(gè)玩家持有一定的數(shù)字牌，玩家需隱藏?cái)?shù)字密碼，猜透對(duì)手的密碼，推測(cè)可能的答案，打敗對(duì)手[2]?！芭馁u現(xiàn)場(chǎng)”自制教具除了借鑒“達(dá)·芬奇密碼”的主體結(jié)構(gòu)之外，還需要制作“籌碼幣”，即包括數(shù)字的木質(zhì)圓片，以豐富自制教具的使用方法。

有關(guān)于相關(guān)軟件的安裝步驟和熟悉操作，本文不在此贅述。

1）使用3D One相關(guān)軟件進(jìn)行“拍賣現(xiàn)場(chǎng)”自制教具的設(shè)計(jì)。目前，大部分二維以及三維立體自制教具的開發(fā)和設(shè)計(jì)都采用3D One相關(guān)軟件，而3D One相關(guān)軟件與其他軟件相比，確實(shí)具有操作簡(jiǎn)單、界面直觀、功能全面等優(yōu)點(diǎn)。3D打印機(jī)制作的教具也使學(xué)習(xí)情境更接近于真實(shí)情境[3]。據(jù)此，“拍賣現(xiàn)場(chǎng)”自制教具采用3D One相關(guān)軟件進(jìn)行開發(fā)和設(shè)計(jì)。

①使用3D One軟件設(shè)計(jì)教具主體——“數(shù)字牌”。首先雙擊打開3D One軟件，單擊草圖繪制“矩形”，制作一個(gè)邊長(zhǎng)為50 mm*30 mm的長(zhǎng)方形;然后以該長(zhǎng)方形的中心為參考點(diǎn)，再畫一個(gè)較小的長(zhǎng)方形;單擊特征造型“拉伸”，對(duì)大的長(zhǎng)方形進(jìn)行加運(yùn)算拉伸，然后選中較小的長(zhǎng)方形進(jìn)行減運(yùn)算拉伸，完成四角環(huán)的設(shè)計(jì)。

然后以四角環(huán)的中心為參考點(diǎn)，制作一個(gè)與小長(zhǎng)方形底面相同的立方體，將其移動(dòng)至四角環(huán)中心，并通過旋轉(zhuǎn)傾斜一定的角度。在四角環(huán)的側(cè)邊畫一個(gè)三角形，進(jìn)行減運(yùn)算拉伸，以保證“數(shù)字牌”在制作出來后能夠立在水平面上。而后在平面的中心位置輸入數(shù)字，并進(jìn)行拉伸操作。制作完成的“數(shù)字牌”軟件模型如圖1所示。

有關(guān)于“拍賣現(xiàn)場(chǎng)”自制教具中“拍賣品”的設(shè)計(jì)步驟不再進(jìn)行贅述。

②使用3D One Cut軟件設(shè)計(jì)“籌碼幣”。首先雙擊打開3D One Cut軟件，單擊草圖繪制“圓形”，制作一個(gè)直徑為10 mm的圓;然后在該圓形的中心輸入不同的數(shù)字即

可。為了方便操作，可以通過單擊基本編輯“陣列”，采用陣列的方式依次更改所需要的數(shù)字即可。制作完成的“籌碼幣”軟件模型如圖2所示。

2）使用電腦軟件和相關(guān)硬件進(jìn)行“拍賣現(xiàn)場(chǎng)”自制教具的制作。而后便是將設(shè)計(jì)好的自制教具制作成實(shí)物。該教具分別利用3D打印機(jī)和激光切割機(jī)來完成“數(shù)字牌”和“籌碼幣”的制作。

①使用3D打印機(jī)制作“數(shù)字牌”。將剛才在3D One軟件中設(shè)計(jì)好的“數(shù)字牌”以“.stl”的文件名后綴形式保存。本文采用的三維成品打印軟件為UP Studio。打開該軟件，將剛才保存好的文件拖入U(xiǎn)P Studio的主界面，然后進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，如圖3所示。

初始化打印機(jī)完成后，單擊打印，等待成品制作成功。取出后上色即可。

②使用激光切割機(jī)制作“籌碼幣”。將剛才在3D One Cut軟件中設(shè)計(jì)好的“籌碼幣”以“.dwg”的文件名后綴形式保存。本文采用的激光切割軟件為L(zhǎng)aser CAD。打開該軟件，將剛才保存好的文件拖入主界面，然后對(duì)其參數(shù)進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，如圖4所示。

單擊打印，在激光切割機(jī)上進(jìn)行相關(guān)操作，待切割完成后取出成品即可。

“拍賣現(xiàn)場(chǎng)”自制教具的實(shí)物模型如圖5～圖7所示。

4 “拍賣現(xiàn)場(chǎng)”自制教具在初中博弈數(shù)學(xué)課堂中的應(yīng)用

“拍賣現(xiàn)場(chǎng)”自制教具已在北京某所初中進(jìn)行過實(shí)踐，以三人進(jìn)行游戲最佳：一人作為裁判，兩人作為游戲中的博弈雙方。游戲的總體思路是：兩人通過競(jìng)價(jià)的方式獲取游戲中的“拍賣品”，競(jìng)價(jià)成功的一方獲得“拍賣品”，并向“銀行”支付相應(yīng)的費(fèi)用;當(dāng)“拍賣品”全部被拍賣成功后，贏得最多價(jià)值拍賣品金額的一方獲勝。

“拍賣現(xiàn)場(chǎng)”自制教具的游戲方法

1）游戲準(zhǔn)備階段。

①裁判向博弈雙方分配數(shù)量相等的“數(shù)字牌”，之后取出標(biāo)有“7”和“5”的“數(shù)字牌”，擺出“75”的組合作為初始資金，以用于購(gòu)買其中的“拍賣品”;當(dāng)一方成功購(gòu)買“拍賣品”時(shí)，在支付相應(yīng)的拍賣品價(jià)格的同時(shí)，需重新擺放初始資金的數(shù)額?，F(xiàn)有資金=初始資金-購(gòu)買資金，現(xiàn)有資金需要一直明示給另一方。

②由裁判選取六個(gè)數(shù)字接近15的“籌碼幣”倒置在“拍賣品”旁，作為這六個(gè)“拍賣品”各自的起拍價(jià)格;再分別在博弈雙方的面前依照“拍賣品”的順序倒置六個(gè)大于15的“籌碼幣”，此籌碼幣即為所對(duì)應(yīng)“拍賣品”對(duì)于自身的價(jià)值，如圖8所示。

2）游戲開始階段。裁判翻開第一個(gè)“拍賣品”對(duì)應(yīng)的“籌碼幣”，兩人依次競(jìng)價(jià)，漲幅為1，由年齡大的一方開始競(jìng)價(jià)。競(jìng)價(jià)過程中當(dāng)一方宣布棄權(quán)時(shí)，另一方獲得“拍賣品”，并向“銀行”支付相應(yīng)的費(fèi)用，并在己方的余額上進(jìn)行調(diào)整。一方對(duì)“拍賣品”的購(gòu)買資金不能超過自身當(dāng)前的現(xiàn)有資金。重復(fù)上述步驟，競(jìng)價(jià)開始順序相互替換，直至全部“拍賣品”拍賣完畢。

游戲獲勝條件：當(dāng)六個(gè)“拍賣品”全部完成拍賣后，分別計(jì)算每個(gè)玩家所購(gòu)買的拍賣物對(duì)應(yīng)自身“籌碼幣”的金額總和，總和金額大的一方獲勝，如圖9所示。若金額相等，則宣布平局。

“拍賣現(xiàn)場(chǎng)”自制教具的規(guī)則分析? “拍賣現(xiàn)場(chǎng)”自制教具的游戲規(guī)則遵循拍賣規(guī)則中的英式拍賣和荷蘭式拍賣：英格蘭式拍賣，也叫“增價(jià)拍賣”或“低估價(jià)拍賣”，是指在拍賣過程中，拍賣人宣布拍賣標(biāo)的起叫價(jià)及最低增幅，競(jìng)買人以起叫價(jià)為起點(diǎn)，由低至高競(jìng)相應(yīng)價(jià)，最后最高競(jìng)買者獲得拍賣品[4]，簡(jiǎn)單來說就是價(jià)高者得;荷蘭式拍賣則與英式拍賣相反，拍賣人宣布起叫價(jià)及最低降幅，價(jià)低者得。

在一般情況下，玩家的初始資金會(huì)低于“拍賣品”對(duì)于自身的價(jià)值的總和，也就是說會(huì)用較高的價(jià)格買到自己想要的“拍賣品”，從而對(duì)于其他的“拍賣品”在競(jìng)價(jià)時(shí)有所保留，這也與生活常識(shí)相一致。當(dāng)然也存在大于或等于的情況，比如低價(jià)買到自己想要得到的“拍賣品”時(shí)。同樣，在拍賣過程中，博弈雙方也可以根據(jù)對(duì)手出價(jià)的方式推測(cè)出該“拍賣品”對(duì)于對(duì)方的重要程度。“拍賣現(xiàn)場(chǎng)”游戲所蘊(yùn)含的一個(gè)簡(jiǎn)單的拍賣思想是：拍賣品對(duì)你的價(jià)值是多高，你就出多高的價(jià)格。這也是博弈思維在實(shí)際生活中的精髓所在。

當(dāng)然，“拍賣現(xiàn)場(chǎng)”自制教具也可以通過改變其中的一些規(guī)則從而更改玩法，如更改初始金額，更改“拍賣物”的數(shù)量，明示雙方面前的“籌碼幣”，等等，或是用來模擬諸如騎虎難下博弈、懦夫博弈等場(chǎng)景。

5 自制教具在初中數(shù)學(xué)課堂中的應(yīng)用意義

要使傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教具在課堂教學(xué)中真正發(fā)揮作用，必須結(jié)合教學(xué)實(shí)際，準(zhǔn)確把握學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，合理選擇，適時(shí)運(yùn)用[5]。以“拍賣現(xiàn)場(chǎng)”為例，“博弈”屬于數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，旨在研究具有斗爭(zhēng)或競(jìng)爭(zhēng)性質(zhì)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)理論和方法，所以學(xué)習(xí)博弈數(shù)學(xué)可以通過創(chuàng)設(shè)相關(guān)的具有競(jìng)爭(zhēng)局勢(shì)的情境，在游戲中領(lǐng)悟相關(guān)的博弈知識(shí)。而拍賣又是博弈中的經(jīng)典應(yīng)用之一，按照一定的章程和規(guī)則公開叫價(jià)競(jìng)購(gòu)，最后出價(jià)最高的買主獲得被拍賣品。使用自制教具最重要的目的便是讓每一個(gè)學(xué)生都能夠?qū)W習(xí)到該教具背后相關(guān)的數(shù)學(xué)原理，在學(xué)習(xí)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

提高課堂教學(xué)的實(shí)效性? 借助教學(xué)工具，教師可以將抽象的概念轉(zhuǎn)化為直觀的模型呈現(xiàn)給學(xué)生，學(xué)生也可以通過具體的教學(xué)工具理解抽象的概念。這就意味著教師要善于引導(dǎo)學(xué)生借助教具進(jìn)行動(dòng)手操作，在數(shù)學(xué)動(dòng)手操作的過程中進(jìn)行自主化的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)[6]。對(duì)于“拍賣現(xiàn)場(chǎng)”游戲的規(guī)則講解，其實(shí)就是講述博弈論中“拍賣”基本概念的過程，而規(guī)則的運(yùn)用便是對(duì)拍賣中博弈方法的應(yīng)用。學(xué)生參與使用教具的過程，本身就是課堂教學(xué)的一種策略，而這樣的教學(xué)策略從學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和遷移來看，遠(yuǎn)比講授更具有實(shí)效性。

“拍賣現(xiàn)場(chǎng)”自制教具也可以通過改變相應(yīng)的規(guī)則，深入講解相關(guān)的拍賣知識(shí)。如“第一密封拍賣”，用教具來呈現(xiàn)就是游戲雙方需同時(shí)明示出價(jià)金額，出價(jià)高的即獲得拍賣品。同時(shí)，學(xué)生也可以對(duì)該游戲的規(guī)則進(jìn)行創(chuàng)新，在創(chuàng)新中可能會(huì)發(fā)現(xiàn)拍賣博弈中的共性。教師也可以根據(jù)這些共性作為之后博弈數(shù)學(xué)課堂中的課前導(dǎo)入環(huán)節(jié)，促進(jìn)課堂教學(xué)中知識(shí)迭代的形成。

培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維? 邏輯思維是指借助于概念、判斷和推理認(rèn)識(shí)事物的思維形式，包括分析、綜合、比較、抽象、概括和具體化等過程[7]。自制教具中的邏輯思維，主要體現(xiàn)在其規(guī)則設(shè)計(jì)和實(shí)際操作上。一方面，教師通過規(guī)則設(shè)計(jì)創(chuàng)設(shè)相關(guān)的情境，引導(dǎo)學(xué)生使用邏輯思維解決問題;另一方面，學(xué)生通過實(shí)際操作掌握教具的使用方法，并理解邏輯思維如何解決與其相關(guān)以及相似的問題。邏輯思維的應(yīng)用還體現(xiàn)在學(xué)生能將所學(xué)知識(shí)遷移到解決實(shí)際生活中。

如從“拍賣現(xiàn)場(chǎng)”自制教具來看，無論是簡(jiǎn)單的猜數(shù)字，或是稍微有些難度的拍賣，抑或復(fù)雜的懦夫博弈，都可以算作博弈思維的一種訓(xùn)練。博弈的核心在于根據(jù)對(duì)方的策略選擇自己的最優(yōu)策略，而為了能夠?qū)崿F(xiàn)自己的最優(yōu)策略，則需要在博弈過程中善用邏輯思維。社會(huì)實(shí)踐是邏輯思維形成和發(fā)展的基礎(chǔ)，而通過游戲?qū)嵺`領(lǐng)悟到“拍賣”這一實(shí)際問題的思考方法和經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而應(yīng)用到實(shí)際生活中，本身就是一種邏輯思維的培養(yǎng)。

如在面對(duì)騎虎難下博弈時(shí)，由于誰也不愿意自己支付成本而讓對(duì)方得到好處，而盡早擺脫這樣的博弈對(duì)局可以讓自己可能的損失盡可能小，因此，最好的策略便是盡早退出該博弈。

再如懦夫博弈，假定博弈一方是魯莽者，另一方是理性者，那么魯莽者將會(huì)是該博弈的勝出者。如果多次進(jìn)行懦夫博弈，則魯莽者將更有信心在未來采取這樣的策略，他也很可能會(huì)通過這種魯莽的形象使得對(duì)手在未來的對(duì)局中選擇妥協(xié)，從而獲得好處。

關(guān)注師生與社會(huì)發(fā)展的對(duì)話? 在數(shù)學(xué)課堂中，“教”與“學(xué)”是不可分割的整體，教師需要與學(xué)生進(jìn)行溝通與合作，學(xué)生也需要對(duì)教師提供反饋和認(rèn)同。教師與學(xué)生雖然不是知識(shí)平等的主體，卻是人格平等的主體，這就要求學(xué)生與教師間能夠明確自身對(duì)于社會(huì)發(fā)展的需求與展望。隨著學(xué)生成長(zhǎng)伴隨著的生活環(huán)境的擴(kuò)大，他們對(duì)于社會(huì)交往能力的需要，也是適應(yīng)未來生活的需要。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的任務(wù)之一，便是讓學(xué)生在步入社會(huì)環(huán)境時(shí)能更好地進(jìn)行適應(yīng)。

通過“拍賣現(xiàn)場(chǎng)”游戲，學(xué)生可以了解到除課堂環(huán)境以外，在面對(duì)實(shí)際生活會(huì)用到的一些基本經(jīng)濟(jì)規(guī)律，例如：在游戲中引入對(duì)“拍賣”這一經(jīng)濟(jì)術(shù)語的深入講解，強(qiáng)調(diào)理財(cái)對(duì)于自身經(jīng)濟(jì)需求的重要性;嘗試在網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)完成一次拍賣活動(dòng)，分享網(wǎng)絡(luò)拍賣與使用教具的不同之處;相互探討拍賣中“知己知彼，百戰(zhàn)不殆”的博弈思想在實(shí)際生活中的相關(guān)應(yīng)用。教師也可以了解到學(xué)生對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的理解程度，在教學(xué)活動(dòng)過程中共同加深對(duì)拍賣知識(shí)以及與生活相關(guān)經(jīng)濟(jì)概念的理解。數(shù)學(xué)是面向現(xiàn)實(shí)的，學(xué)生與教師通過具體情境學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，然后把所學(xué)知識(shí)應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)中去，體現(xiàn)了教具在數(shù)學(xué)課堂中的現(xiàn)實(shí)意義。所以，師生間的對(duì)話與交流必不可少，師生共同面對(duì)社會(huì)環(huán)境的交流同樣必不可少。

6 結(jié)語

應(yīng)該注意到，在整個(gè)初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中應(yīng)始終秉持傳統(tǒng)教具的輔助性原則，將其作為傳授數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的輔助手段，而不是課堂教學(xué)的本身[8]。當(dāng)然，自制教具也會(huì)讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)產(chǎn)生親近感，學(xué)生在游戲過程中也可以鍛煉合作能力，等等。一部分中學(xué)生在面對(duì)全新的數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，很難理解抽象的定義及概念。而通過教學(xué)工具，可以將抽象的知識(shí)具體化、形象化，為學(xué)生記憶、理解以及遷移知識(shí)創(chuàng)造了條件，促進(jìn)學(xué)生具體感知與抽象思維的結(jié)合，幫助其形成明確的概念，發(fā)展其邏輯推理能力和觀察能力等。

不可否認(rèn)，數(shù)學(xué)類教具在一定程度上能夠讓課堂教學(xué)更具實(shí)效，可以有效地培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手操作技巧，在增強(qiáng)學(xué)生好奇心的同時(shí)激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)新能力。所以，在初中數(shù)學(xué)課堂運(yùn)用具體模型和直觀教具仍然是十分重要的，對(duì)于中學(xué)生的課堂教學(xué)大有裨益?！?/p>

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