論單位分?jǐn)?shù)兩項分拆的方法

陳申寶

（浙江工商職業(yè)技術(shù)學(xué)院， 浙江 寧波 315012）

0 引言

把一個單位分?jǐn)?shù)分拆成另外兩個單位分?jǐn)?shù)的和叫單位分?jǐn)?shù)的兩項分拆。 單位分?jǐn)?shù)的兩項分拆的研究已有一些成果，有的給出了單位分?jǐn)?shù)的所有兩項分拆組數(shù)的計算公式[1]，有的給出了單位分?jǐn)?shù)的兩項分拆的三種方法：搜索法、平方因數(shù)法和互素因數(shù)法[2]，并給出了單位分?jǐn)?shù)所有兩項分拆組數(shù)的計算公式，即若則單位分?jǐn)?shù)所有兩項分拆組數(shù)為。

互素因數(shù)法明顯縮小了搜索范圍，故當(dāng)很大時優(yōu)于搜索法和平方因數(shù)法， 但仍有不足， 當(dāng)n 或ej較大時，n 的互素因數(shù)較多，容易遺漏或重復(fù)且計算量仍較大，所以仍需加以改進(jìn)。 為此，本文提出單位分?jǐn)?shù)的兩項分拆的新方法——對偶因數(shù)法。

1 對偶因數(shù)法

為敘述方便，先對“兩項分拆”、 “對偶因數(shù)”等給以數(shù)學(xué)定義，并設(shè)置一些記號.文中出現(xiàn)的字母都是整數(shù)，p 代表素數(shù)，直接引用整數(shù)論中符號和簡單結(jié)論。

如果m（m≠1）的兩個因數(shù)s0和t0滿足（s0，t0）=1，s0t0=m，則稱s0和t0為m（m≠1）的一組對偶因數(shù)，同樣約定s0＜t0。

定理1 如果n=F（b，a）是n 的一組分拆，則其惟一對應(yīng)n 的某個因數(shù)m（m≠1）的一組對偶因數(shù)s0和t0。 反之也成立。

證明令（a，b）=d，則可設(shè)a=s0d，b=t0d，（s0，t0）=1。再令（n，d）=D，設(shè)n=mD，d=αD，且（m，α）=1。

由于n=F（a，b）是n 的一組分拆，則由

∴m（s0+t0）=αs0t0。下面用反證法證明（s0+t0，s0t0）=1。

若（s0+t0，s0t0）＝d0≠1，則且由得且或d0t0且與d0（s0+t0）矛盾！

由m（s0+t0）=αs0t0、（m，α）=1 及（s0+t0，s0t0）=1 得m=s0t0，α=s0+t0。

所以n 的一組分拆惟一對應(yīng)n 的某個因數(shù)m（m≠1）的一組對偶因數(shù)s0和t0。 此時α=s0d=s0·αD=。

反之，若s0和t0是n 的某個因數(shù)m（m≠1）一組對偶因數(shù)，則（s0，t0）=1 且s0t0=m。 顯然s0和t0都是n的因數(shù)， 令則a 和b 都是正整數(shù)，且有故s0和t0惟一對應(yīng)n 的一組分拆。

定理1 說明：n 的某個因數(shù)m（m≠1）的一組對偶因數(shù)s0和t0與的一組分拆之間存在一一對應(yīng)關(guān)系。

記n 的全部分拆的組數(shù)為Ω（n），它的某個因數(shù)m（m≠1）的所有對偶因數(shù)組數(shù)記為ω（m）.顯然，Ω（n）≥ω（m）＞0，Ω（n）＜+∞，Ω（p）=ω（p）=1。

所以ω（m）=2r-1。

2 舉例證明

例1 求由30=F（32，480）所對應(yīng)的對偶因數(shù)s0和t0和所對應(yīng)的30 的因數(shù)。

解由30=F（32，480），可得方程組：

此時m=s0t0=15 為30 的因數(shù)。

例2 用搜索法、 互素因數(shù)法和對偶因數(shù)法，分別計算36 的分拆。

解一搜索法：

令36=F（36+k，b），從這k=1，2，…，35 這35 個數(shù)中，搜索出能使是整數(shù)的k，即求得全部分拆。 計算結(jié)果如下表：

?

解二互素因數(shù)法：

36 的因數(shù)是1，2，3，4，6，9，12，18，36， 從中選出互素因數(shù)s 和t，再令即可求得36 的全部分拆F（a，b）。 計算結(jié)果如下表：

?

解三對偶因數(shù)法：

（1）Ω（36）=Ω（22×32）=（5×5-1）=12；

（2）36 的第一類因數(shù)為m=2，3，22，32，每個因數(shù)都有一組對偶因數(shù)，各因數(shù)的對偶因數(shù)和它們所對應(yīng)的36 的分拆如下表：

?

（3）36 的第二類因數(shù)為m=2×3，22×3，2×32，22×32，每個因數(shù)都有兩組對偶因數(shù)，各因數(shù)的對偶因數(shù)和它們所對應(yīng)的36 的8 組分拆如下表：

?