探究解決與彈簧相關(guān)的多運(yùn)動(dòng)過(guò)程
——2018年高考全國(guó)Ⅰ卷第15題

展宗程

(甘肅省靖遠(yuǎn)縣第三中學(xué),甘肅 靖遠(yuǎn) 730699)

2017版普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)提出學(xué)科核心素養(yǎng),注重學(xué)科育人價(jià)值．以彈簧模型命題的高考試題在歷年高考中頻頻出現(xiàn),這類問(wèn)題綜合性很強(qiáng),是高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)．縱觀歷年高考物理試題,與彈簧有關(guān)的考題占相當(dāng)大的比例．對(duì)于彈簧問(wèn)題,從力的角度看,彈力是變力,從能量的角度看,彈簧是儲(chǔ)存能量的裝置,彈簧類問(wèn)題能很好的考查學(xué)生的綜合分析能力,所以一直備受高考命題老師的青睞．彈簧模型總是跟其他物體直接或間接地連接在一起,通過(guò)物塊的運(yùn)動(dòng)帶到彈簧的長(zhǎng)度發(fā)生變化,在物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中與之連接的物體受力、加速度、動(dòng)能和能量等發(fā)生變化,并且牽扯的過(guò)程較多,這一點(diǎn)在近幾年的高考中也得到了充分的體現(xiàn)．本文從物理學(xué)科核心素養(yǎng)的視角分析2018年全國(guó)Ⅰ卷物理的第15題,并對(duì)試題進(jìn)行變形,探究解決此類問(wèn)題的思路和方法．

1 典例分析

圖1

(2018年高考物理全國(guó)卷Ⅰ第15題)如圖1,輕彈簧的下端固定在水平桌面上,上端放有物塊P,系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài),現(xiàn)用一豎直向上的力F作用在P上,使其向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng),以x表示P離開(kāi)靜止位置的位移,在彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)前,下列表示F和x之間關(guān)系的圖像可能正確的是

從物理思維的角度分析,對(duì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程構(gòu)建物理模型如圖2所示,本題涉及運(yùn)動(dòng)過(guò)程模型的建立、輕彈簧模型建立;根據(jù)彈簧彈力公式結(jié)合本題條件明確初始位置與位移x的關(guān)系,正確寫(xiě)出彈力表達(dá)式;依據(jù)受力分析根據(jù)牛頓第二定律寫(xiě)出力與運(yùn)動(dòng)的規(guī)律表達(dá)式,結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)判定F和x之間關(guān)系的圖像．

圖2

本題易錯(cuò)分析:部分學(xué)生死記硬背彈簧彈力的公式F=kx,誤解公式中x就是彈簧的長(zhǎng)度或是模糊不清,只要是x就直接代入計(jì)算．于是依據(jù)受力分析根據(jù)牛頓第二定律得到F+kx-mg=ma,推導(dǎo)得出F=m(g+a)-kx,F與x之間應(yīng)該是線性一次函數(shù)，且斜率為負(fù),結(jié)果沒(méi)有符合答案的圖像．分析原因就是沒(méi)有把概念公式記清楚,缺乏物理思維核心素養(yǎng),沒(méi)有構(gòu)建物理模型．

解析:以物塊P為研究對(duì)象,彈簧的原長(zhǎng)位置在O處,物塊靜止時(shí)彈簧被壓縮處于A位置,設(shè)彈簧的壓縮量為x0,物塊P的質(zhì)量為m,彈簧的勁度系數(shù)為k,在A位置物塊處于靜止?fàn)顟B(tài),對(duì)其受力分析,由平衡條件得

kx0=mg.

(1)

以向上為正方向,設(shè)物塊P在力F的作用下從A點(diǎn)向上移動(dòng)到B位置,從靜止向上移動(dòng)的距離為x,彈力為

Fk=k(x0-x),

(2)

由牛頓第二定律得

F+Fk-mg=ma,

(3)

由以上各式得F=kx+ma．由于物塊向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng),加速度a恒定不變,即ma恒定．可知F與x是線性的一次函數(shù)關(guān)系,且F隨著x的增大而增大,故(A)正確,(B)、(C)、(D)錯(cuò)誤．

點(diǎn)評(píng):解答本題的關(guān)鍵是先分析靜止時(shí)P的受力情況,由于彈簧彈力在變,物體做勻加速運(yùn)動(dòng),所以拉力F是一個(gè)變力,從物理思維的角度來(lái)看,此題考查了學(xué)生物理建模思維和運(yùn)動(dòng)過(guò)程綜合分析能力．在審題時(shí)應(yīng)抓住題目的關(guān)鍵信息,如“靜止?fàn)顟B(tài)”、“勻加速直線運(yùn)動(dòng)”、“離開(kāi)靜止位置的位移”和“彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)前”等,把握主要因素,簡(jiǎn)化運(yùn)動(dòng)過(guò)程,建立運(yùn)動(dòng)過(guò)程的物理模型．

圖3

2 一題多變,思維拓展

變式1.水平地面上有一直立的輕質(zhì)彈簧,下端固定,上端與物體A相連接,整個(gè)系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)．現(xiàn)用一豎直向下的力F作用在物體A上,使A向下做一小段勻加速直線動(dòng)(彈簧一直處在彈性限度內(nèi))如圖所示.在此過(guò)程中力F的大小與物體向下運(yùn)動(dòng)的距離x間的關(guān)系圖像正確的是

從物理思維的角度分析:對(duì)整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程建立模型如圖4所示,本題與典例的不同之處在于將力F變?yōu)橄蛳?在力F的作用下使物塊向下做勻加速直線運(yùn)動(dòng),主要涉及運(yùn)動(dòng)模型構(gòu)建和分析,剛開(kāi)始物體處于靜止?fàn)顟B(tài),對(duì)物塊受力分析,可求彈簧彈力和壓縮量x0,然后在力F作用下物塊向下勻加速運(yùn)動(dòng),根據(jù)牛頓第二定律寫(xiě)出力F與物體向下運(yùn)動(dòng)的距離x間的關(guān)系,其中Fk=kΔx=k(x0+x),其中Δx是學(xué)生最容易出現(xiàn)錯(cuò)誤的地方,有了物體運(yùn)動(dòng)模型分析圖學(xué)生理解就比較容易,最終可以找到這兩個(gè)物理量之間所對(duì)應(yīng)的圖像．

圖4

解析:設(shè)彈簧的原長(zhǎng)位置為O處,將物塊A放在彈簧上整個(gè)系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài),此時(shí)物塊處于B位置,由平衡條件得

mg=kx0.

(1)

施加F后,物塊向下從B到C做勻加速直線運(yùn)動(dòng),由牛頓第二定律得

F+mg-Fk=ma,

(2)

Fk=kΔx=k(x0+x),

(3)

由以上3式解得F=ma+kx,ma是定值,所以可知F-x圖像是(D)選項(xiàng)．

點(diǎn)評(píng):本題將力F的方向發(fā)生變化,而其它條件不變,探究F與向下運(yùn)動(dòng)的距離x間的關(guān)系,是對(duì)受力分析和牛頓運(yùn)動(dòng)定律的綜合運(yùn)用的考查,通過(guò)典型題的變型,考查學(xué)生是否真正掌握此類問(wèn)題分析處理方法和技巧．

圖5

變式2.如圖5所示,輕彈簧的下端固定在水平面上,上端疊放有質(zhì)量相等的物塊P、Q,系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)．現(xiàn)用豎直向上的力作用在P上,使其向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)．以x表示Q離開(kāi)靜止位置的位移,F表示物塊P對(duì)Q的壓力大小,在P、Q分離之前,下列表示F和x之間關(guān)系的圖像可能正確的是

圖6

從物理思維的角度分析:對(duì)整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程物理模型建立如圖6所示,主要涉及運(yùn)動(dòng)過(guò)程建模,結(jié)合運(yùn)動(dòng)對(duì)物塊受力分析,剛開(kāi)始在拉力F0的作用下使PQ一起向上做勻加速運(yùn)動(dòng),對(duì)PQ整體受力分析,明確x0與x之間的關(guān)系,根據(jù)牛頓第二定律寫(xiě)出力F與x的關(guān)系表達(dá)式,從而找到P對(duì)Q的壓力大小F與x之間關(guān)系的圖像．

解析:剛開(kāi)始系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài),對(duì)P、Q整體受力分析可得

Fk=2mg=kx0.

(1)

施加拉力F使其向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng),在P、Q沒(méi)有分離前,P、Q一起加速直線運(yùn)動(dòng),仍將P、Q看作一個(gè)整體受力分析

F0+kΔx-2mg=2ma，

(2)

其中Δx為彈簧的形變量,Δx=(x0-x),然后對(duì)P隔離受力分析,由牛頓第二定律得

F0+F-mg=ma.

(3)

由(1)～(3)式得

F和x關(guān)系圖像的斜率為負(fù),所以(C)選項(xiàng)正確．

點(diǎn)評(píng):本題在典例的基礎(chǔ)上再次進(jìn)行變形,將原來(lái)的一個(gè)物塊變?yōu)閮蓚€(gè)物塊,而其它條件不變,探究拉力F0與Q離開(kāi)靜止位置的位移x的關(guān)系,其目的在于通過(guò)一題多變、一題多練,讓學(xué)生掌握利用物理建模與過(guò)程分析處理此類問(wèn)題的方法．

圖7

變式3.如圖7所示,一勁度系數(shù)為k=800 N/m的輕彈簧兩端各焊接著兩個(gè)質(zhì)量均為m=12 kg的物體A、B．物體A、B和輕彈簧豎立靜止在水平地面上,現(xiàn)要加一豎直向上的力F在上面物體A上,使物體A開(kāi)始向上做勻加速運(yùn)動(dòng),經(jīng)0.4 s物體B剛要離開(kāi)地面,設(shè)整個(gè)過(guò)程中彈簧都處于彈性限度內(nèi),取g=10 m/s2,求:

(1) 此過(guò)程中所加外力F的最大值和最小值．

(2) 此過(guò)程中外力F所做的功．

圖8

從物理思維的角度分析:對(duì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程構(gòu)建物理模型如圖8所示,此題在變式2的基礎(chǔ)上又進(jìn)行變形,將兩個(gè)物塊分別固定在彈簧的兩端,在外力F作用于A物體上,使物體A開(kāi)始向上做勻加速運(yùn)動(dòng),當(dāng)A開(kāi)始做勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí),物體A受重力、彈簧彈力和拉力,由于彈簧的形變量最大,彈力最大,所以此時(shí)拉力F最小,同理可知當(dāng)B剛要離開(kāi)地面時(shí),拉力F最大．

解析: (1) 剛開(kāi)始沒(méi)有拉力作用下A處于靜止?fàn)顟B(tài),由平衡條件得

kx1=mg.

(1)

當(dāng)A開(kāi)始做勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí),物體A受重力、彈簧彈力和拉力,由于彈簧的形變量最大,彈力最大,所以此時(shí)拉力F最小,設(shè)拉力為F1,由牛頓第二定律得

F1+kx1-mg=ma.

(2)

同理可知當(dāng)B剛要離開(kāi)地面時(shí),對(duì)B由平衡條件得

kx2=mg.

(3)

拉力F最大,設(shè)拉力為F2,對(duì)A有由牛頓第二定律得

F2-kx2-mg=ma.

(4)

物體A向上做勻加速運(yùn)動(dòng)有

(5)

由(1)～(5)式得

a=3.75 m/s2,F1=45 N,F2=285 N.

點(diǎn)評(píng):本題在變式3的基礎(chǔ)上再次進(jìn)行變形,將兩個(gè)物塊固定在彈簧的兩端,力F的作用下,使物體A開(kāi)始向上做勻加速運(yùn)動(dòng),最終使B物塊剛好離開(kāi)地面,探究拉力所加外力F的最大值和最小值,該題主要考查應(yīng)用牛頓第二定律分析運(yùn)動(dòng)過(guò)程,要求同學(xué)們能正確分析物體的受力情況,通過(guò)變形讓學(xué)生掌握利用物理建模與過(guò)程分析處理此類問(wèn)題的方法．

變式4.(2005年全國(guó)卷Ⅲ)如圖9所示,在傾角為θ的光滑斜面上有兩個(gè)用輕質(zhì)彈簧相連接的物塊A、B,它們的質(zhì)量分別為mA、mB,彈簧的勁度系數(shù)為k,C為一固定擋板．系統(tǒng)處一靜止?fàn)顟B(tài),現(xiàn)開(kāi)始用一恒力F沿斜面方向拉物塊A使之向上運(yùn)動(dòng),求物塊B剛要離開(kāi)C時(shí)物塊A的加速度a和從開(kāi)始到此時(shí)物塊A的位移d,重力加速度為g．

圖10

從物理思維的角度分析:對(duì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程構(gòu)建物理模型如圖10所示,本題就是在變式3模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行變化,將兩個(gè)物塊放在斜面上,運(yùn)動(dòng)過(guò)程相類似,求解此題關(guān)鍵要對(duì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程建立模型及分析A、B在整個(gè)過(guò)程中的受力情況,剛開(kāi)始時(shí)A、B處于靜止,對(duì)A受力分析可知道剛開(kāi)始時(shí)彈簧的壓縮量x1,當(dāng)分離瞬時(shí)B與擋板之間相互作用的彈力為0,對(duì)B受力分析可知彈簧的伸長(zhǎng)量x2,通過(guò)運(yùn)動(dòng)過(guò)程圖像可知道A的位移d與x1和x2的關(guān)系．

解析:設(shè)未施加拉力F時(shí)彈簧的壓縮量為x1,對(duì)物塊A受力分析,由平衡條件可知

mAgsinθ=kx1.

(1)

當(dāng)B剛要離開(kāi)擋板C時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量為x2,對(duì)B受力分析,由平衡條件可知

kx2=mBgsinθ.

(2)

對(duì)A受力分析,由牛頓第二定律得

F-mAgsinθ-kx2=mAa.

(3)

從開(kāi)始到此時(shí)物塊A的位移為

d=x1+x2.

聯(lián)立(1)、(2)式可得

點(diǎn)評(píng):求解此題的關(guān)鍵在于畫(huà)運(yùn)動(dòng)過(guò)程圖像和對(duì)物塊正確受力分析,根據(jù)平衡條件確定彈簧的壓縮量、伸長(zhǎng)量,通過(guò)過(guò)程模型和分離條件確定物塊A向上運(yùn)動(dòng)的位移d與壓縮量、伸長(zhǎng)量的關(guān)系．在教學(xué)時(shí)要分析物塊A向沿斜面向上為什么不是勻加速直線運(yùn)動(dòng)的原因．

圖11

(1) 彈簧的勁度系數(shù);

(2) 物塊b加速度的大小;

(3) 在物塊a、b分離前,外力大小隨時(shí)間變化的關(guān)系式．

圖12

從物理思維的角度分析:對(duì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程構(gòu)建物理模型如圖12所示,此高考題是在上一題的基礎(chǔ)上將兩個(gè)物塊疊放在一起進(jìn)行變形,求解此題時(shí)應(yīng)弄清楚整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程及a、b運(yùn)動(dòng)的位移時(shí)間關(guān)系,所以必須畫(huà)出運(yùn)動(dòng)過(guò)程模型圖,方便學(xué)生理解過(guò)程,找到對(duì)應(yīng)物理量;同時(shí)要知道物塊a、b分離時(shí)的臨界條件:分離瞬時(shí)ab之間相互作用的彈力為0,a、b的加速度相等．

解析:(1) 物塊a、b靜止在斜面上,對(duì)ab整體受力分析,由平衡條件可知

(1)

(2)

(2) 設(shè)物塊b勻加速運(yùn)動(dòng)的加速度為a,物塊a、b分離時(shí)b的位移為x1,相等時(shí)間為t,由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得

(3)

(4)

a、b分離時(shí)a、b之間相互作用的彈力為0,a、b的加速度相等,彈簧仍然處于壓縮狀態(tài),分離瞬時(shí)對(duì)a受力分析,由牛頓第二定律可知

k(x0-x1)-mgsinθ=ma.

(5)

聯(lián)立以上各式解得

(6)

(3) 設(shè)外力為F,經(jīng)過(guò)時(shí)間t1彈簧的壓縮量為x,在物塊a、b分離前,對(duì)ab整體受力分析,由牛頓第二定律可得

(7)

(8)

聯(lián)立以上各式解得

點(diǎn)評(píng):根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律可明確分離時(shí)的位移,從而確定對(duì)應(yīng)的形變量,第一過(guò)程,物塊a、b緊貼在一起勻加速直線運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)過(guò)程的臨界狀態(tài),一段時(shí)間后物塊a、b分離瞬間,第二過(guò)程,a、b分離后b繼續(xù)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)．利用整體與隔離相結(jié)合的方式進(jìn)行受力分析和運(yùn)動(dòng)過(guò)程分析,根據(jù)牛頓第二定律列式即可求得拉力隨時(shí)間變化的表達(dá)式．

3 物理教學(xué)建議

3.1 注重力學(xué)基礎(chǔ)教學(xué)——受力分析

在高中物理教學(xué)中,力學(xué)占據(jù)著很重要的地位,要想學(xué)習(xí)好高中物理,基礎(chǔ)是力學(xué),而受力分析是力學(xué)的核心基礎(chǔ),是解決力學(xué)問(wèn)題的鑰匙．所以作為物理教師,在高一受力分析講解時(shí)要注重對(duì)物體受力分析模塊內(nèi)容的講解,教會(huì)讓學(xué)生畫(huà)受力分析示意圖的能力,作為一線的教師常常發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)不會(huì)、學(xué)不懂物理,最主要的原因是力學(xué)沒(méi)有學(xué)好,不會(huì)畫(huà)物體的受力分析圖或畫(huà)錯(cuò)受力分析圖,只有正確的畫(huà)出受力示意圖,才能根據(jù)平衡條件或牛頓第二定律列出相應(yīng)的方程,為下一步分析做功問(wèn)題,能量轉(zhuǎn)化打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ),所以要想學(xué)好高中物理,首先就必須先學(xué)會(huì)、學(xué)好受力分析．

3.2 構(gòu)建物理模型,促進(jìn)學(xué)生分析能力

高中物理試題模型中有許多物理過(guò)程是比較抽象難懂的,學(xué)生不易理解和掌握,在平時(shí)的課堂教學(xué)過(guò)程中,我們應(yīng)有意地進(jìn)行物理模型的構(gòu)建思維教學(xué),將物理模型的構(gòu)建與運(yùn)動(dòng)過(guò)程的分析有機(jī)的結(jié)合起來(lái),讓學(xué)生知道到物理模型的構(gòu)建與運(yùn)動(dòng)過(guò)程的分析是解決力學(xué)問(wèn)題行之有效的方法．通過(guò)對(duì)物理問(wèn)題的分析,重點(diǎn)體現(xiàn)物理模型構(gòu)建思維及分析研究思路的教學(xué),尤其是對(duì)較復(fù)雜物理過(guò)程中通過(guò)物理模型的構(gòu)建,抓住問(wèn)題的本質(zhì)特征,正確運(yùn)用科學(xué)抽象思維的方法構(gòu)建物理模型,還原運(yùn)動(dòng)過(guò)程,有助于學(xué)生物理思維能力提高,有助于學(xué)生去掌握物理學(xué)的研究方法,培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力,從而達(dá)到了我們課堂教學(xué)的目標(biāo)．

3.3 一題多變,思維拓展

對(duì)于高中物理的學(xué)習(xí)很多教師推崇題海訓(xùn)練戰(zhàn)術(shù),但是大量實(shí)踐證明,簡(jiǎn)單機(jī)械的訓(xùn)練對(duì)于物理學(xué)科成績(jī)的提高是低效的,這種方法不利于培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維和探究問(wèn)題的能力．因此建議教師在進(jìn)行課堂教學(xué)前應(yīng)該精選試題,課堂要求精講細(xì)講,一題多解、一題多變、一題多問(wèn)的方式激發(fā)學(xué)生的思考,構(gòu)建物理思維模型,總結(jié)解題的方法和技巧．