數(shù)學教學為什么需要“教思考、教體驗、教表達”
——“三教”教學理念與實踐的再探析

唐海軍，呂傳漢

（1.四川文理學院數(shù)學學院，四川 達州 635000；2.貴州師范大學數(shù)學科學學院，貴州 貴陽 550001）

一、引言

自2000 年起，經(jīng)濟合作與發(fā)展組織（OECD）每三年組織一次成員國15歲中學生閱讀、數(shù)學與科學素養(yǎng)現(xiàn)狀的評估測試(PISA)，評估學生已經(jīng)完成或即將完成義務教育之后，是否掌握能夠參與社會所需的知識與技能。2018 年，OECD 發(fā)布的《OECD 學習框架2030》指出未來的學生將需要在未知的和不斷變化的環(huán)境中應用他們的知識。面對這個不確定的、復雜的世界，今天的學生需要掌握什么樣的知識、技能、態(tài)度和價值觀才能塑造和繁榮他們未來要面對的世界？[1]如何在當今的學校數(shù)學教學行動中，通過核心素養(yǎng)的培養(yǎng)來體現(xiàn)出教育測評變革的理念，培育滿足21世紀技能需求的人才是很多研究者與學科教師一直在探索的問題。

隨著教育發(fā)展，傳統(tǒng)的“授課—作業(yè)—考試”的教育樣式與學生核心素養(yǎng)的培育要求不相適應，教學方式也需要加以反思和探索。貴州師范大學呂傳漢教授針對基礎教育領域中學數(shù)學教學中存在的應試化現(xiàn)象，結合國際上中學生能力測評變革的背景，于2014 年1 月提出數(shù)學教學重在“教思考、教體驗、教表達”（簡稱“三教”）的觀點，并在貴州、四川、重慶等省市的中小學教師培訓與課堂教學中進行實踐，取得了一定的效果。2015 年，又將“三教”推廣到語文、英語、物理、化學等其他學科的教學中，其目的：一方面是嘗試回應國際數(shù)學教育形勢變化帶來的問題，即數(shù)學素養(yǎng)如何從國際的測評走向中國的中小學課堂；另一方面探索用“三教”+“情境與問題”的學科教學模式來促進創(chuàng)新型人才的成長。部分教師在應用“三教”觀點指導教學的實踐中也產(chǎn)生了一些困惑，如為什么需要“三教”，“三教”與教師專業(yè)成長有何關系，如何評價“三教”，民族地區(qū)的農(nóng)村中小學課堂如何實施“三教”等帶有反思性的疑問。為回應理念是否符合基礎教育“適切性”的問題，針對數(shù)學教學中，為什么需要“三教”的疑問，既需要從理論上明析“三教”各個要素的緣起（為什么），又需要結合案例來說明“三教”的現(xiàn)實存在性，為實現(xiàn)數(shù)學學科核心素養(yǎng)落地生根提供邏輯支撐。

二、“三教”的內(nèi)涵

所謂“三教”是基于創(chuàng)新型人才培養(yǎng)，在學科教學中教學生積極思考、自主體驗、善于表達，以此促進學生長見識、悟道理的一種教育理念?！叭獭奔仁且环N教育的理念，又是一種培育學生學科核心素養(yǎng)的途徑。已有相關研究表明思考、體驗、表達等關鍵的教學行為、策略與學生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)具有密切的關系。從數(shù)學學科角度來看，教思考，讓學生會用數(shù)學的眼光觀察世界，注重數(shù)學抽象和直觀想象核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。教體驗，讓學生會用數(shù)學的思維分析世界，注重邏輯推理和數(shù)學運算核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。教表達，讓學生會用數(shù)學的語言表達世界，注重數(shù)學建模和數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。作為理念，“三教”指明了數(shù)學課堂教學設計重點突出的方向；作為行動的途徑，“三教”的課堂特征概括為：通過“情境激趣，恰當應用學習情境激活學生學習興趣；問題驅動，引導學生在情境中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題；積淀體驗，解決問題的探究中獲取知識學習體驗；深化思考，引導學生在交流表達中深化學習思考”等四個環(huán)節(jié)來實施教學，達成學生數(shù)學素養(yǎng)培育的目的。

三、“三教”的緣起

（一）“教思考”及實踐

1.為什么需要“教思考”

思考，是思維的一種探索活動，源于主體對意向信息的加工?！墩撜Z》中有“學而不思則罔”，凸顯學習中思考的重要性。

數(shù)學思考是人類的理性思維形式之一。美國數(shù)學史家、數(shù)學教育家M·克萊因曾說：“為力圖改善我們的物質(zhì)生活，我們被迫擴展關于外部世界的知識。這樣我們必然將感官用到極限。不幸的是，對我們來說，感官不僅是有限的而且具有欺騙性。只相信感官甚至可導致災難。”[2]因為人的感覺器官和大腦的復雜性，導致感官容易出現(xiàn)錯覺；而“至于直覺，實際上是經(jīng)驗、感官印象和粗略猜想的結合，至多能說是濃縮的經(jīng)驗，直覺只是根植于心理惰性的習慣力量”[3]。為避免錯誤的感覺與直覺，人們在面對新事物、新問題、新現(xiàn)象時，需要持有一種批判性的精神，綜合歸納、類比推理、質(zhì)疑反思，從而獲得對事物與規(guī)律的理性認識。所以，數(shù)學思考是人類十分重要的理性思維。恩格斯指出，數(shù)學是人類悟性的自由創(chuàng)造物。因此，數(shù)學的創(chuàng)造本性賦予了數(shù)學教育重在培育學生創(chuàng)新意識，而創(chuàng)新意識的培養(yǎng)又貴在教思考。

數(shù)學學習與思考是密切相關的。蘇霍姆林斯基認為：“如果你想教你的‘頭腦遲鈍’的學生學會思考，那就請你把他們領到思維的源泉那兒去，那里會展示出現(xiàn)象的鏈條，一事物的結果成為另一事物的原因。在各種現(xiàn)象的鏈條中，要一個接一個地進行發(fā)現(xiàn)，好比在兒童面前點燃起思考的火花，它們會刺激思維過程活躍起來”[4]。只要用數(shù)學思考來點燃這種火花，兒童就想知道更多的數(shù)學知識，就想更深入地思考新的數(shù)學現(xiàn)象。日本數(shù)學教育家米山國藏認為，“在學校學的數(shù)學知識，畢業(yè)后若沒什么機會去用，一兩年后，很快就忘掉了。然而，不管他們從事什么工作，唯有深深銘刻在心中的數(shù)學的精神、數(shù)學的思維方法、研究方法、推理方法和看問題的著眼點等，卻隨時隨地發(fā)生作用，使他們終生受益。”數(shù)學的精神、思維、方法和思想的獲得，無疑都與數(shù)學的思考活動是密切聯(lián)系的。

從課程標準呈現(xiàn)的目標來看，對數(shù)學思考也提出了明確的要求。國內(nèi)的《義務教育數(shù)學課程標準（2011 年版）》將“數(shù)學思考”列為數(shù)學課程四大目標之一。學生通過學習“會獨立思考問題，表達自己的想法”，同時要求教師“引導學生獨立思考、主動探究、合作交流”。《普通高中數(shù)學課程標準（2017 年版）》的課程目標也提出“通過高中數(shù)學課程的學習，學生能夠樹立敢于質(zhì)疑、善于思考、嚴謹求實的科學精神”。數(shù)學的思考性是數(shù)學的靈魂。數(shù)學的抽象、建模、推理、計算、統(tǒng)計等都離不開思考[5]。在平時的教學中，數(shù)學教師要有意識地引導學生去思考，數(shù)學教學，也重在教思考。

2.案例分析

課題：一元微積分

微積分在高中新課程標準中的選修課程部分出現(xiàn)，分布在A類、B類和E類課程，其中B類是供有志于學習經(jīng)濟、社會類和部分理工類學生選擇的課程，E 類課程中的大學先修課程也包含微積分內(nèi)容。對于有志于今后從事社會管理類（如大學的行政管理、思政管理、酒店管理等）的高中生（也包括職高生），如何學習這些選修課程，教師又該如何教學？由于微積分等具體知識很少顯而易見地直接用到今后人文社科類的專業(yè)課程學習上，教師更應該引導選修這些課程的高中生在數(shù)學學習中要敢于思考、學會思考，思考學習內(nèi)容涉及哪些數(shù)學思想、形成何種的數(shù)學思維、如何提升思辨的能力，從宏觀的視野來考慮數(shù)學中的基本思想對今后專業(yè)的發(fā)展有何啟示與幫助。

事實上，表面看來毫無聯(lián)系的事物，其實是有深刻的內(nèi)在聯(lián)系。比如一元微積分這部分內(nèi)容，對于選修B 類課程的學生，以后在處理很多涉及管理問題的時候也要借助微積分的思想。比如，國家的法律體系建設、醫(yī)療衛(wèi)生體制改革、精準攻堅扶貧、鄉(xiāng)村發(fā)展戰(zhàn)略等都是具體而復雜的工程。中央層面先對這些工程制定大的框架，進行任務序列的分解，每個部委（地方）再制定一個指導性的解決方案，合起來就得到了整個工程的處理思路，最后針對基層因地制宜實施過程在出現(xiàn)的小問題進行微調(diào)，逐漸去接近大家期望的完美結果。這正是數(shù)學定積分中“分割取近似，求和取極限”思想在工作中的體現(xiàn)。高中生學習經(jīng)歷這樣一個“整體與局部”、“近似與精確”辯證融合，科學認識與數(shù)學方法相統(tǒng)一的過程，才有利于理解并將其應用于人文社科領域，這才是學生去選修學習微積分的核心思想和意義所在。

（二）“教體驗”及實踐

1.為什么需要“教體驗”

體驗一詞過去常常出現(xiàn)在實踐類、藝術課程的學習中。比如藝術家把長期對于生活的感受、觀察和思考，來形成藝術創(chuàng)作的基礎和前提，乃至觸發(fā)不可遏制的創(chuàng)作欲望。 依據(jù)“體驗”的心理學與哲學的釋義，所謂“數(shù)學體驗是主體對其數(shù)學活動情境產(chǎn)生的心理感應，從而形成數(shù)學的發(fā)現(xiàn)、認知和情感”[6]。學習體驗，可以理解為學生從經(jīng)歷的學習活動過程中獲得的感受、體會、領悟以及由此獲得的相關知識、技能、情感與觀念等內(nèi)容有機組合的個性內(nèi)化經(jīng)驗。為什么對于學生需要“教體驗”？

數(shù)學學習過程就是一個體驗的過程。學習本身就是有機體適應環(huán)境的手段，有機體為了生存與適應必須不斷地改變自己的行為。要做到學習的有效性，學習主體必須參與學習過程，體驗數(shù)學知識在創(chuàng)造過程中的萌芽、成長。唯有經(jīng)歷了過程體驗的學習者才能從根本上獲得持久而有意義的數(shù)學知識。大衛(wèi)·庫伯（David Kolb，1984）所開發(fā)的體驗學習模型，將學習的過程分為具體體驗、反思性觀察、抽象概念化和主動嘗試等四個循環(huán)往復的環(huán)節(jié)[7]。他認為所有這些階段都是學習必須經(jīng)歷的。世界衛(wèi)生組織指出，基于體驗學習模式的科學學習促進了學生對科學知識的指導，提高了科學觀點產(chǎn)生的流暢性和靈活性?！皩W習者在學校里的學習可以看作是由社會知識向個人知識轉化的過程”[8]，要找到社會知識當初所發(fā)生的情境或類似情境才可以理解其意義。這就是體驗的必要之所在。

教學要為學生的體驗學習服務。數(shù)學課堂的最高境界是真、善、美，基于審美要求的教學則追求著引導學習者在經(jīng)驗積累的基礎上對生命的體驗?！耙驗榻逃罡镜哪康木褪桥囵B(yǎng)人不斷地領悟世界的意義和人本身存在的意義。體驗就是人對生命意義的把握，……體驗是以認識為基礎，對認識的一種升華和超越?！盵9]孫俊三教授認為，在經(jīng)典的教學理論中,大家將教學理解成一個特殊的認識過程,過分關注教學過程的認知特征（間接性、簡捷性和引導性）,而忽視了教學的體驗特征（親歷性、過程性和自主性）。荷蘭數(shù)學教育家弗賴登塔爾認為，數(shù)學是人的一種活動，如同游泳一樣，要在游泳中學會游泳，我們必須在做數(shù)學中學習數(shù)學[10]。因此，教師的教學要為學生提供經(jīng)歷“再創(chuàng)造”數(shù)學的體驗學習機會。

從數(shù)學課程標準來看，國內(nèi)外都重視數(shù)學學習的體驗?；隗w驗的課標理念為聯(lián)系課堂活動和現(xiàn)實世界提供了指導?！栋拇罄麃唽W校數(shù)學國家聲明書》（Australian Education Council,1990）中提出了學校數(shù)學教育的六個培養(yǎng)目標之一便是“培養(yǎng)學生體驗數(shù)學發(fā)展的過程”。中國《義務教育數(shù)學課程標準（2011 年版）》提出要讓“學生在積極參與教學活動的過程中，通過參與、經(jīng)歷、實踐、活動、思考、探索、操作、交流等，逐步積累數(shù)學活動經(jīng)驗、感悟數(shù)學思想”。而近年國內(nèi)興起的STEM 教育理念或者STEAM 理念都強調(diào)了，教師要成為課程的組織者與合作者，通過創(chuàng)設問題情境提供具體的載體，鼓勵學生大膽質(zhì)疑、積極實踐，形成科學探究的良好品質(zhì)，在一系列學習體驗中學會思考，勇于糾錯，不斷反思改進，最終形成獨創(chuàng)性的研究成果[11]。

2.案例分析

課題：對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（人教版）

從初中升入高一的學生，仍保留著初中生許多學習特點，能力發(fā)展正處于形象思維向抽象思維轉折階段，且更注重形象思維。由于初中函數(shù)教學要求的降低，初中生運算能力的下降，以及高中函數(shù)概念的抽象，學生對指數(shù)運算、對數(shù)運算感覺陌生，這增加了對數(shù)函數(shù)教學的難度。針對這兩方面問題，教師必須認識到，教學中要控制學習難度被人為拔高的情況，關注學習過程。

從教體驗的角度，本節(jié)課的教學圍繞著“對數(shù)函數(shù)的由來——對數(shù)函數(shù)的定義——對數(shù)函數(shù)的圖像——對數(shù)函數(shù)的特征（性質(zhì)）——對數(shù)函數(shù)的應用”展開，引導學生經(jīng)歷“為什么學、對數(shù)函數(shù)是什么、怎么學、圖像是什么、有什么用、學得怎么樣？”等完整的認知體驗與情感交融的過程。具體而言：

（1）函數(shù)概念形成的體驗，從情境（碳14 含量P 與生物死亡時間t）—提取數(shù)學信息—探究P 與t的關系，形成概念，達到初步理解對數(shù)函數(shù)概念的目標。

（2）函數(shù)性質(zhì)理解的體驗，借助數(shù)形結合思想、類比指數(shù)函數(shù)研究的策略，學生經(jīng)歷了“作圖—觀察—比較—歸納”的數(shù)學思維學習的過程，達到初步理解對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的目標。

（3）對數(shù)函數(shù)應用的體驗，學生在求解定義域、比較對數(shù)大小，匯報、爭辯、質(zhì)疑、補充對話的過程中完成求解，體會函數(shù)模型思想，達到應用的目標。

（三）“教表達”的有效實踐

1.為什么需要“教表達”

表達是指在個人方面將內(nèi)心之情感、情緒、意念或觀念的意義用語言、文字、符號、行動或藝術作品表現(xiàn)出來。威爾金森（Louise Wilkinson，2018）認為，數(shù)學表達既涉及學生使用語言的多種表達方式，如說話、傾聽、閱讀、書寫等，同時又包括使用到的一系列特定的數(shù)學詞匯，如直徑、斜邊、垂直等，同時它的語法也比較復雜[12]。表達看似人人都運用自如的基本生存技能，為什么還需要對學生的數(shù)學表達進行專門的教學指導？

數(shù)學表達是數(shù)學交流的前提。弗賴登塔爾(1973)認為數(shù)學學習的過程就是要通過數(shù)學語言，用它特定的符號、詞匯、句法去交流，去認識世界。教師的主要目標是為學生創(chuàng)造有意義的學習情境，然后將其引入數(shù)學表達，這些問題情境為學生提供數(shù)學化經(jīng)驗和建構數(shù)學知識的機會[13]。“學生的數(shù)學思考具有內(nèi)隱性，讓學生的思維看得見摸得著的一種重要方法就是數(shù)學表達——學生和老師可以積極討論他們是如何著手處理各種問題的以及為什么這樣做，可以幫助課堂上的每個學生理解某一特定的概念或方法”[14]。因此，數(shù)學表達是數(shù)學和數(shù)學教育中非常關鍵的一部分，通過交流能澄清困惑和分享數(shù)學觀點。教學活動本身就是一種師生間相互交往交融的過程，交往的前提是參與者要有一定的表達能力。

數(shù)學問題解決過程實質(zhì)是一個數(shù)學表達的過程。溫特（Heinrich Winter，1995）談到數(shù)學教育應該帶來三種基本的普遍經(jīng)驗：了解自然、社會和文化中的本質(zhì)現(xiàn)象；理解以語言、符號、圖形和公式表示的數(shù)學對象和關系；提高參與問題解決的能力[15]。數(shù)學表達的經(jīng)驗是提高問題解決能力的前提。從數(shù)學問題解決過程看，學生首先需要通過閱讀來理解有待于解決的問題；其次，需要使用數(shù)學表征以及操縱符號表達式（包括一些形式化操作）[16]，才能給出答案，并進行解釋。在正式測驗中，看似簡單的問題情境，在語言理解方面對部分學生來說是具有一定的難度，比如在“計算2+2=?，并給出你使用的方法”這樣的題目中，學生不僅需要給出答案，而且還要使用數(shù)學表達闡述其完整的思考路徑[17]。

從數(shù)學課程標準來看，教表達是課程標準的應然要求。因為在問題解決過程中有交流、傾聽、爭執(zhí)、協(xié)調(diào)以及答案的確定，所以處處都需要語言表達。鄭毓信教授2004 年就提出將熟練掌握數(shù)學語言，幫助學生學會數(shù)學地表達、數(shù)學地理解（包括批判地傾聽）作為數(shù)學教育的一個基本目標[18]。美國《學校數(shù)學教育的原則與標準》（2000 年）要求K12的學生都能夠產(chǎn)生并使用合理的表達方法去組織、記錄和交流思想；選擇、使用和轉換各種數(shù)學表達方法解決問題；使用合理的表達方法去模擬和解釋物質(zhì)的、社會的和數(shù)學自身的現(xiàn)象。最近幾年的美國私立高中聯(lián)盟在學生綜合素質(zhì)評價模式中，將口頭和書面表達等復雜溝通能力作為評價學生學習的八個指標之一[19]。中國澳門2017 年6 月頒布的《高中教育數(shù)學基本學力要求》將“培養(yǎng)學生數(shù)學表達和交流能力”作為五條核心課程目標之一；中國《義務教育數(shù)學課程標準（2011 年版）》要求學生通過數(shù)學學習在數(shù)感方面能夠表述具體情境中的數(shù)量關系，在符號意識方面能夠理解并且運用符號表示數(shù)、數(shù)量關系和變化規(guī)律，……理解符號的使用是數(shù)學表達和進行數(shù)學思考的重要形式。

2.案例分析

課題：用坐標表示平移（人教版）

用坐標表示平移, 是學生在已經(jīng)學習了圖形的平移（從形的角度理解平移），以及平面直角坐標系（研究的工具）之后，需要學習的新內(nèi)容（即從數(shù)的角度刻畫平移）[20]。本節(jié)課的教學重點是引導學生發(fā)現(xiàn)并歸納圖形的平移與坐標變化關系；難點在于讓學生結合圖形，將自己發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用文字語言來描述，再轉化成符號語言，實現(xiàn)三種數(shù)學語言表征的靈活轉化。

教學設計片斷：如圖1，已知A（-2 ,-3），根據(jù)下列條件，在相應的坐標系中分別畫出平移后的點，寫出它們的坐標，并觀察平移前后點的坐標變化。

圖1

（1）將點A 向右平移3 個單位長度，得到點B；將點A向右平移5個單位長度，得到點C；（2）將點A向上平移4 個單位長度,得到點B′；將點A 向上平移5 個單位長度, 得到點C′；（3）將點A 先向上平移3個單位，再向右平移5 個單位長度到點B"；（4）將點A 先向右平移5 個單位長度,再向上平移3 個單位長度到C"，你有什么發(fā)現(xiàn)？

分析：此環(huán)節(jié)主要是引導學生探究點的坐標變化與點的平移規(guī)律。教學過程中注重讓學生明確，將哪個點沿著什么方向，平移幾個單位后，得到的是哪個點。教學設計時，充分考慮到給學生提供表達與交流的機會。比如，通過動畫演示，引導學生發(fā)現(xiàn)問題（1）中點的平移引起點的坐標變化的情況；再放手讓學生自主探究問題（2）、（3）、（4）并總結規(guī)律。在學生探究交流完成后，教師安排部分學生上臺表達（包括學習單展示、黑板上畫點、口頭講述等形式），其他學生提出質(zhì)疑。通過生生、師生互相質(zhì)疑，促進問題再思考，加深體驗，深化知識理解，從而突破教學的難點，即“學生能夠用文字語言、圖形語言、坐標表示三種方式來描述平移現(xiàn)象”。

四、結語

教育不是工業(yè)流水線下的“快餐”式的知識傳授，而是一種慢藝術，是一種期待，一種守望。這是“三教”理念在認識論中的基點，生命觀的起點。數(shù)學教學要重在“教思考、教體驗、教表達”，既是回應教育哲學對人成長的關切，又是回答核心素養(yǎng)如何走進課堂的疑問。無論從理論思辨角度看，“三教”有存在的應然性，還是從教學實踐看，“三教”有存在的實然性。

課堂教學重在提供給學生思考、體驗、表達的機會，創(chuàng)設更多學生能夠提問的機會，給予學生充分的表達思考過程與學習體驗的時間；指導學生數(shù)學思考、表達的策略，才能發(fā)展學生的思維，促進學生的表達能力，培育學生的核心素養(yǎng)。

課堂教學要基于學生的思考與體驗。教師了解學生的現(xiàn)有思維水平與體驗狀態(tài)越深刻，學生能學習到的知識才會越多！如果教師能潛心研究課堂，每一節(jié)課做一點改變與嘗試，如從關心學生、減少控制、澄清主題、適當挑戰(zhàn)、教學激趣等方面入手，學生學習才有從表層理解走向深層和概念性理解的可能，并成長為復雜世界中情感積極、善于表達、深思熟慮的批判性參與者！▲