超強磁場下中子星殼層的電導率和磁星環(huán)向磁場歐姆衰變*

陳建玲 王輝 賈煥玉 馬紫微 李永宏 譚俊

1) (運城學院物理與電子工程系,運城 044000)

2) (西南交通大學物理科學與技術(shù)學院,成都 610031)

3) (運城學院數(shù)學與信息技術(shù)學院,運城 044000)

1 引 言

中子星是研究致密天體物理的最佳實驗室,它們有很強的磁場.已知的中子星磁場或者是相對穩(wěn)定的、或者隨時間緩慢地變化[1,2].磁場在中子星自旋減慢演化及磁層活動性中發(fā)揮重要作用,因此得到了廣泛的研究[3?7].

磁星是指主要由磁場提供輻射能量的一類脈沖星.對磁星的觀測和理論研究是當前脈沖星領(lǐng)域一個重要的熱點[2,3].磁星大致分為軟伽瑪射線重復爆(soft Gamma-ray repeaters,SGRs)和反常X射線脈沖星(anomalous X-ray pulsars,AXPs),被發(fā)現(xiàn)的磁星及其候選體數(shù)量已經(jīng)增長到約29個.磁星表面偶極磁場可以由轉(zhuǎn)動周期和一階周期導數(shù)來估計,其量級約為1014—1015G (1 G=10–4T)[3?7].磁星表現(xiàn)出一系列廣泛的X射線活動性,包括短暴、長暴、耀斑和準周期振蕩,通常伴隨著一系列有趣的到達時間行為,如增大的自轉(zhuǎn)減慢、周期躍變和反周期躍變[8?13].這些行為一般被解釋為超強磁場的衰變,或者是由于表面磁張壓增加導致磁星殼層破裂,這會加劇磁層的扭曲[14].近年來,國內(nèi)不少專家對中子星(包括磁星)的磁場演化、冷卻及輻射機制做了大量的、深入的研究[15],取得了豐富的成果,但是涉及到磁星的環(huán)向磁場衰變和表面熱輻射方面的研究很少.

我們知道,具有純粹的極向磁場構(gòu)型的中子星是極其不穩(wěn)定的,同樣地,由于泰勒不穩(wěn)定性[16],具有純粹的環(huán)向磁場構(gòu)型的中子星也是不穩(wěn)定的.而一個穩(wěn)定的中子星磁場結(jié)構(gòu)要求在中子星內(nèi)部具有極向磁場和環(huán)向磁場組成的混合磁場,并且殼層磁場表現(xiàn)為偶極磁場(占主導)和高階多極磁場(對殼層磁場貢獻較小)[17].在霍爾漂移(Hall drift)的作用下,一個純粹的極向磁場首先會在星體內(nèi)部產(chǎn)生一個環(huán)向磁場,然后與環(huán)向磁場緊密相關(guān)的極向電流將極向磁場推壓到磁極冠區(qū),從而增大磁偶極矩[18,19].一個新誕生的中子星(原中子星)在殼層形成之前由于對流形成包含多級成分的極向磁場[20].在核塌縮后,由于較差自轉(zhuǎn)極向磁場不斷地被扭曲,因此,中子星磁場可能存在一個很強的環(huán)向成分,極向磁偶極矩在徑向較差自轉(zhuǎn)的作用下會產(chǎn)生環(huán)向的磁四極場[21].

以往關(guān)于中子星磁場的歐姆衰變(又稱歐姆耗散)的研究主要集中于對普通中子星殼層磁場衰變的研究,這包括了對殼層磁場歐姆衰變本征模的計算[22]、星體表面磁場歐姆衰變的自相似解[23]、歐姆耗散方程[24,25]以及由于多極磁場的歐姆衰變導致的磁能湮滅率[26].1994年Geppert和Urpin[27]首次研究了在吸積中子星中也會由于歐姆衰變導致磁場演化.有兩個因素可以減緩磁場的衰減: 引力紅移效應以及空間內(nèi)稟的彎曲幾何[28].由于廣義相對論效應,磁場衰變時標會增加,但將與平直時空中磁場衰變時標保持相同的量級[29?32].最近,王輝、高志福、王娜等[33](以下稱WGW19)在廣義相對論框架下推導出普通中子星磁場歐姆衰變的本征值方程.他們發(fā)現(xiàn): 靠旋轉(zhuǎn)供能的脈沖星PSR J1640-4631內(nèi)部可能發(fā)生環(huán)向磁場的歐姆衰變,但是釋放的磁場能不足以提供持續(xù)的軟X射線光度,并且討論了該源可能的、各向異性的軟X射線輻射機制.

WGW19雖然推導出在廣義相對論框架下旋轉(zhuǎn)供能脈沖星的偶極環(huán)向磁場歐姆衰變本征方程,但是磁場通過歐姆衰變再以焦耳熱的方式釋放熱能這一現(xiàn)象普遍地存在于包括磁星在內(nèi)的年輕的中子星內(nèi)部,WGW19推導出的方程可能同樣地適用于磁星模型,主要的原因分析如下.1)對于包括磁星在內(nèi)的強磁化的中子星,磁場能以歐姆耗散焦耳加熱在其演化的早期非常重要,WGW19推導出的偶極環(huán)向磁場歐姆衰變本征方程是基于極向磁場強度不低于約1013G、溫度不高于約108K的中子星的模型,該模型同樣地適用于磁星.2)相比于依靠旋轉(zhuǎn)供能的脈沖星(簡稱普通中子星),磁星理論上可能具更高的內(nèi)部多極磁場、扭曲的磁層和幾種不同的磁場起源機制[20],但是觀測上沒有證明磁星的磁場結(jié)構(gòu)位型、演化方式與中子星之間存在本質(zhì)上的差別,即磁星和普通中子星應當同樣地具有極向磁場和環(huán)向磁場分量、同樣地擁有類似的邊值條件.3)由于較高的磁能密度貢獻,磁星的物態(tài)方程可能比普通中子星的稍硬、質(zhì)量稍大.這個物態(tài)方程上的理論假設(shè)并沒有得到觀測上的支持.在描述磁星星體結(jié)構(gòu)時,通常認為: 磁星和普通中子星一樣具有等離子體的磁層、固態(tài)的殼層和流體的核,核內(nèi)具有核子超流與質(zhì)子超導.在殼層中,電阻率(電導率)主要是由于電子-聲子和電子-雜質(zhì)散射過程[23?27],導致比在流體內(nèi)部更有效的歐姆耗散.4)按照電動力學,中子星內(nèi)部可能存在的徑向超導電流能產(chǎn)生環(huán)向磁場,由于核內(nèi)超導與外部的真空,磁場能的湮滅最為有效方式是: 在具有電阻的中子星的殼層以歐姆耗散的方式產(chǎn)生焦耳熱,歐姆耗散率由組成物質(zhì)的有限電導率決定[33].磁場能以歐姆耗散的方式產(chǎn)生焦耳熱的情況只會發(fā)生在具有電阻的殼層.5) WGW19以廣義的麥克斯韋方程組為出發(fā)點,采用一個球?qū)ΨQ的中子星模型和時空幾何,并假定一個無力場(force-free)磁場位型,在該模型下磁場被限制在殼層,即核內(nèi)由于超流排斥作用而不存在磁場.本文假定磁星具有無力場磁場位型,并采用球?qū)ΨQ的中子星模型和時空幾何.我們有理由相信,WGW19在廣義相對論下推導出的偶極環(huán)向磁場歐姆衰變本征方程也同樣地用于計算磁星的歐姆衰變率、磁場能釋放率以及軟X射線光度.

觀測表明: 部分寧靜狀態(tài)下的的磁星存在持續(xù)的軟X射線輻射,其光度的典型值LX為1034—1036erg/s (1 erg/s=10–7J/s).磁星在爆發(fā)過程中[34],軟X射線光度急劇增加,可達1038erg/s或更高; 在外爆衰退期,磁星會出現(xiàn)熱斑縮小、射電輻射、X射線譜變軟及脈沖輪廓變得簡單,這些與磁星磁層扭曲程度和磁層電流發(fā)生變化有關(guān).軟X射線光子可能存在熱起源,可以用黑體譜(冪律+黑體 或者雙黑體譜)來擬合,對應的溫度約為2×106—6×106K,這比依靠轉(zhuǎn)動能損提供能量的脈沖星的典型溫度值高很多,這可能是由于磁場衰變提供額外的加熱[30].Kaspi和Beloborodov[9]討論了磁星的磁場歐姆衰變和軟X射線光度之間的關(guān)系,他們認為: 歐姆衰變可以提供磁星軟X射線輻射所需要的熱能,首先,相比于磁星的年齡,磁場的歐姆衰變時標相當?shù)亩?這就要求磁場在一個小尺度范圍內(nèi)發(fā)生變化; 其次,磁場變化幅度δB≈1016G.Beloborodov和Li[31]也認為磁星軟X射線光度可能與磁場的歐姆衰變有關(guān),但他們沒有在超強磁場中進行電導率的計算,也沒有考慮廣義相對論效應對環(huán)形磁場的歐姆衰變的影響.

本文將在第2節(jié)給出廣義相對論下霍爾感應方程和核物質(zhì)狀態(tài)方程; 第3節(jié)計算在超強磁場下殼層的電導率、環(huán)向磁場衰變率及磁能衰變率;第4節(jié)討論磁星的旋轉(zhuǎn)能損率Lrot、環(huán)向磁場衰變磁能釋放率LB及軟X射線光度LX之間的關(guān)系以及軟X-射線可能的各向異性的起源,第5節(jié)進行總結(jié)與討論.

2 廣義相對論下的霍爾感應方程和核物質(zhì)狀態(tài)方程

2.1 霍爾感應方程

為方便起見,我們假設(shè)一個球?qū)ΨQ的中子星模型和時空幾何,考慮到廣義相對論效應,中子星的時空幾何形狀可以由下式描述

其中x0=ct,Vij是空間坐標xi的函數(shù),Φ(r) 是引力勢[32].結(jié)合磁流體動力學平衡與歐姆定律,我們得到廣義相對論下中子星磁場霍爾感應方程

其中s代表導電率,eijk代表完全反對稱的Levi-Civata張量的分量,D表示變量微分算子.在非奇異的、靜態(tài)的、球?qū)ΨQ幾何背景下,(1)式中的空間部分的坐標可以用下式表示:

其中hi=hix1,x2,x3是標度因子,它們分別為

其中m(r)=GM(r)/c2,M(r) 是半徑為r的球體內(nèi)部物質(zhì)總質(zhì)量.消除(2)式中磁場的坐標分量,得到更為簡化的感應方程

其中Z=eΦ≡(1?2M(R)/R)1/2是紅移因子[29,33].

2.2 磁場的三分量

軸對稱條件下,中子星的磁場B可以分解成極向磁場分量Bp=Brer+Bθeθ與環(huán)形磁場分量Bt=Bφeφ兩個部分,其中er,eθ和eφ分別代表r方向、q方向和φ方向的單位矢量.在廣義相對論下磁場三分量由下式給出:

這里B是中子星磁極冠區(qū)表面處偶極極向磁場(與l=1,m=0相對應);Fl,Tl和Hl是待定函數(shù),Ylm是l階勒讓德多項式.為了簡易起見,我們僅考慮極向磁場的偶極分量,即l=1,m=0,于是得到 dYlm/dθ=?sinθ與 Ym=cosθ,再利用分離分量法[29],很容易得到

以下為了方便表達,我們一律省去了腳標1,于是(6)式簡化為

這里r為無量綱的距離.以下星體半徑表示為RNS→R.為了求解F(r,t) 需要兩個邊界條件: 磁場局限于從殼層表面到殼核邊界處,或是局限于從核半徑Rcore到星體半徑R處.磁場的內(nèi)部邊界條件: 當r→Rcore時,F(r,t)→0.其次,在中子星表面處,殼層與真空中磁場是連續(xù)的,得到磁場的內(nèi)部邊界條件

其中y=R/RS,RS≡2GM/c2是史瓦西半徑.首先,由于中子星的核可能具有超導特性,核內(nèi)磁場存在的可能性非常小,在無力場磁場位型下磁場滿足

其中μ是與磁場曲率有關(guān)的一個參數(shù),被解釋為斯托克斯函數(shù)F(r,t) 的波數(shù),μ的值取決于中子星的核物質(zhì)物態(tài)方程.為了簡單起見,對于(10)式中第一個等式,我們僅考慮μ為常數(shù)的解,這樣第二個等式就會自動地滿足.為了得到(10)式第一等式中內(nèi)部磁場的一個通解,我們選擇限制條件:

保證這個解能滿足B在r和θ方向的兩個分量之間平衡.當B被限制在殼層中調(diào)整μ使r分量在殼-核邊界處消失,得到

其中Rcore表示殼-核邊界處到球心距離.另外還有在兩種中子星磁場位型: TC1與TC2[28],在這兩種磁場結(jié)構(gòu)位型中,環(huán)形磁場都僅僅被限制在中子星殼層內(nèi)部,而在無力場磁場位型下,環(huán)形磁場可以穿越殼層滲透到星體外部.利用勒讓德函數(shù)及球形貝塞爾函數(shù),可以求解在無力場磁場位型下的高階環(huán)形磁場的歐姆衰變本征方程.

2.3 中子星核物質(zhì)狀態(tài)方程

為了得到參數(shù)μ的值,需要采用較為實際的中子星結(jié)構(gòu)參量,即采用較為實際的核物質(zhì)狀態(tài)方程.預計的中子星最大質(zhì)量是依賴于不同模型下的核物質(zhì)狀態(tài)方程[34,35].中子星的最大質(zhì)量與最小質(zhì)量的數(shù)值都具有爭議性.觀測的中子星質(zhì)量約在(1—2)M⊙的范圍內(nèi)(http://www.stellarcollapse.org/).盡管從狀態(tài)方程的角度來看,中子星的質(zhì)量可以小于一倍M⊙,但很難從超新星爆發(fā)的機理來解釋其成因.在外殼層區(qū)域,我們采用Baym-Pethick-Sutherland物態(tài)方程[36]; 在內(nèi)殼層區(qū)域,我們采用可壓縮的液滴模型,即Baym-Bethe-Pethich物態(tài)方程(BBP模型)[37]; 在中子星的核內(nèi),我們采用相對論平均場(relative mean-field,RMF)理論模型,RMF是在具有修正效應的有效耦合常數(shù)的基礎(chǔ)上建立起來的,是研究有限核的一個標準方法.作為對比,我們選用三個具有代表性的RMF模型——NL3[38],GM1[39]和TMA[40,41].

表1中r0表示飽和核密度;E0,K0,m*,K′,J,分別表示對稱核物質(zhì)飽和密度下的結(jié)合能、不可壓縮系數(shù)、無量綱的有效核子質(zhì)量、偏斜系數(shù)、對稱能、對稱能的坡度、對稱能曲率、對稱能偏斜系數(shù)和與體積相關(guān)的同位旋不可壓縮系數(shù).TMA模型在高密度下的物態(tài)方程與Dirac-Brueckner-Hartree-Fock 理論所預測的行為一致,因此TMA是當前最為成功的RMF參數(shù)組之一.從表1可以看出,相比于GM1和NL3模型,TMA模型具有較軟的對稱能,因此給定中子星最大質(zhì)量值也較小.圖1所示為在NL3,GM1和TMA模型中中子星的質(zhì)量和半徑的關(guān)系.NL3 模型給出中子星最大質(zhì)量Mmax=2.78M⊙,GM1 模型給出中子星最大質(zhì)量Mmax=2.45M⊙,而TMA模型給出最大質(zhì)量Mmax=2.032M⊙,這個值非常接近目前觀測到的中子星的最大質(zhì)量[42],因此,TMA模型較為實際和可靠.在以下計算中,我們將一律采用TMA模型的物態(tài)方程.采用由文獻[7]中更為恰當?shù)腗-R-I關(guān)系近似表達式,

表1 在NL3,GM1和TMA模型下飽和核物質(zhì)特性.Table 1.Saturation properties of nuclear matter in the parameterizations for NL3,GM1 and TMA models.

圖1 在NL3,GM1和TMA模型下中子星的質(zhì)量和半徑的關(guān)系Fig.1.Relationships between mass and radius of neutron stars in NL3,GM1 and TMA model.

圖2 在TMA模型中磁星的轉(zhuǎn)動慣量I隨質(zhì)量m和半徑R的關(guān)系Fig.2.Relationship of moment of inertial I to mass M and radius R for magnetars in TMA models.

將內(nèi)殼層的厚度近似地看成為中子星總的殼層厚度Rc=0.97 km (BBP模型),結(jié)合TMA模型和(9),(10)式,可以計算在TMA模型中對應任意最大質(zhì)量的磁星的μ和I的值,并將計算結(jié)果列于表2.盡管磁星的I隨質(zhì)量的增加而增大,但是μ的值比較穩(wěn)定(μ=1.67—1.68).為了比較在無力磁場結(jié)構(gòu)位型下彎曲時空中磁場三分量之間的關(guān)系,我們選擇一個典型質(zhì)量M=1.45M⊙的磁星,TMA模型中,對應μ=1.676及x=r/R=0.917—1.0.利用(8)—(13)式,得到歸一化的磁場三分量:Br/(Bcosθ) ,Bθ/(Bsinθ) 及B?/(Bsin?)隨x的變化,其中B為在中子星磁極表面處(x=1)極向偶極磁場.如圖3所示,Br與Bj都隨x的增加而增大,但是后者增加比前者快得多; 在星體表面處,B?/(Bsin?) 達到極大值,這時Bj的強度高于Br約一個量級.

表2 在TMA模型中磁星的m,R,Rcore/R,μ和I的部分值Table 2.Partial values of m,R,Rcore/R,μ and I for magnetars in TMA model.

圖3 在無力磁場結(jié)構(gòu)位型下殼層歸一化磁場分量Br/(Bcosθ)(紅線),Bθ/(Bsinθ) (藍線),及B?/(Bsin?)(黃線)與歸一化徑向坐標x的關(guān)系(選取μ=1.676,對應在TMA模型下的M=1.45M⊙,R=11.77 km及I=1.45×1045 g·cm2)Fig.3.Normalized magnetic field components of the crustal confined for the force-free field: Br/(Bcosθ) (red line),Bθ/(Bsinθ)(blue line),and B?/(Bsin?) (yellow line) vs.normalized radial coordinate x.Here we assume the parameter μ=1.676,corresponding to M=1.45M⊙,R=11.77 km and I=1.45×1045 g·cm2 in the TMA model.

3 磁星環(huán)向磁場歐姆衰變

3.1 環(huán)向磁場的本征方程

WGW19為了研究旋轉(zhuǎn)供能脈沖星PSR J1640-4631殼層磁場演化,推導出在廣義相對論框架下偶極環(huán)向磁場歐姆衰變本征方程,引入一個矢量因此,(5)式中B的j分量可以寫為

對于任意一個矢量A,它的旋度服從以下規(guī)律

于是得到K的旋度在j,q和r方向的分量,并利用分離變量法,得到.

通過比較(16)式與文獻[29]中(3.9)式,WGW19發(fā)現(xiàn)H(r,t) 與F(r,t) 有相同的演化方式.結(jié)合(8),(10)和(11)式,得到

由(17)式可知,在廣義相對論框架下,磁場三分量均可以由標量的斯特克斯函數(shù)F(r,t) 來表示.磁場在φ方向和r方向上的強度之比值關(guān)系為

這里R是無量綱的中子星半徑.通過耦合愛因斯坦方程與流體的能量-動量-張量,得到關(guān)于m(r) 和Φ(r)的微分方程以及流體靜力學的方程P(r)[29].將m(r) ,Φ(r)和P(r) 代入文獻[29]中方程(3.9),得到

(19)式必須需要滿足相對論的斯托克斯流函數(shù)F(t,r).為了解出方程(19),將F(t,r) 展開成多項式形式

其中n=1,2,···,x=r/R; ∑是對與所有本征模 求和;Xn(x) 滿足邊值條件

L表示本征算符[29].通過引入一階球形貝塞爾函數(shù),得到

和彎曲時空下環(huán)向磁場本征方程

作為對比,文獻[28]忽略了廣義相對論效應,通過引入標量函數(shù)在平直空間將磁場的三分量表示如下:

由以上分析可知,在無力磁場位型下,由于磁場在 (r,θ) 方向必須滿足相同的平衡條件和在(r,φ)方向滿足相同的限制條件,在平直空間和彎曲空間中,磁場的三個分量都可以由一個分量函數(shù)來表示,并且環(huán)向磁場和極向磁場的強度之比、磁能密度之比是相同的.盡管如此,由于廣義相對論效應,平直空間中的(x,t) 和彎曲空間中的F(r,t) 表達形式和演化并不相同.為了探索出磁場的演化形式,必須要確定電導率s的限制范圍.

3.2 強磁場下中子星殼層的電導率

殼層內(nèi)導電率分別來源于電子-聲子散射與電子-雜質(zhì)散射對電導率的貢獻.電導率大小非常依賴溫度T與密度r,后者跨越6個或6個以上數(shù)量級.決定導電率s的第三個參量是介質(zhì)的不純凈度,由于在低密度的外殼層區(qū)域電導率非常低,磁場歐姆衰變時標特別短(τOhm≈ 10—102a),因此外殼層將不再考慮.根據(jù)BBP模型,內(nèi)殼層密度范圍約為: 從中子滴出密度ρ～4.66×1011g·cm?3到殼-核邊界ρ～1.30×1014g·cm?3,由于隨著核子數(shù)Z與質(zhì)量數(shù)A單調(diào)而任意地增加,BBP模型的物態(tài)方程在較高密度ρ≥1.72×1014g·cm?3遭到Shapiro和Teukolsky[43]的質(zhì)疑,我們將停止在相應的較高密度區(qū)的計算.在超強磁場下,殼層中重子數(shù)密度nB可以被看成是一個不變的量,電子豐度Ye=ZnN/nB,其中nN是原子核數(shù)密度,則電子數(shù)密度ne=nBYe=ZnN.本文將利用由文獻[44]開發(fā)的、較為實際的電導率的程序(公開下載的網(wǎng)頁為http://www.ioffe.ru/astro/conduct),并且結(jié)合BBP模型,來計算磁星殼層的電導率.由于文獻[44]考慮到強磁場因素,較之以往的計算電導率程序,這個程序提供的結(jié)果更能反映中子星殼層電導率的真實情形.

我們計算出在BBP模型中不同的T和Q下磁星殼層電導率,部分計算結(jié)果列于表3.表3上半部分對應Bp=5.0×1014G,表3下半部分對應Bp=3.0×1015G.可以看出,在給定T,Q和Bp的情況下,s隨著r增加而增大; 在給定T,r和Bp的情況下,s隨著Q增加而減小; 在給定Q,r和Bp的情況下,s隨著T增加而減小; 在給定Q,r和T的情況下,s隨著Bp增加而增大,磁場在低密度區(qū)域?qū)的影響比在高密度區(qū)影響大,在低密度區(qū)域,s相對增加率 ?σ/σ?5% ; 在高密度區(qū)域,由于 ?σ/σ?10?3,磁場對s的影響忽略不計.為了簡單起見,在表3中我們假定不純凈度參數(shù)Q是一個不變的量,這與中子星殼層的實際情形可能相差很大,必須給出一個合理的Q值范圍.

我們知道,在較高的溫度和較低的密度下,晶格聲子限制了電子的運動,因此熱和電荷的輸運由電子-聲子散射(碰撞)主導,而在高密度環(huán)境下,熱和電荷的輸運由電子-雜質(zhì)散射主導.文獻[16]對于以電子-聲子散射主導電荷輸運的低密度層進行研究,給出一個小的Q值范圍:Q～ 0.001—0.1;最近,對于以電子-雜質(zhì)散射主導的更深的高密度層的研究預示不純凈度參數(shù)更高:Q> 1.通過對中子星磁熱演化的研究,文獻[45]給出更高不純凈度參數(shù):Q> 1.通過對中子星磁熱演化的研究,文獻[46]給出中子星內(nèi)殼層不純凈度的范圍:Q～1—100; 磁星內(nèi)殼層溫度比星體表面溫度高出1—2個量級,但是最高溫度不能超過各異性中子超流的臨界溫度,我們選取一個比表3更為合理的磁星殼層溫度范圍T～5.0×107— 2.0×108K ,在較低密度層ρ～4.66×1011— 1.0×1013g·cm?3對應Q～ 0.001—0.1; 在高密度層ρ～1.0×1013—1.30×1014g·cm?3對應Q～ 1—25; 選取一個典型超強磁場Bp=5.0×1015G,給出在一定磁場下電導率隨溫度和不純凈度的變化關(guān)系圖,如圖4所示.由于r,T及Q來決定s的值確實存在很大的不確定性,為了方便計算,我們給出合理的參數(shù)范圍: 對于低密度層電導率由電子-聲子散射主導,選取Q～ 0.1,對于較高密度層ρ～1.0×1013—5.0×1013g·cm?3電導率由電子-雜質(zhì)散射主導,選取Q～ 1,對于更高密度層電導率仍由電子-雜質(zhì)散射主導,Q值可能增大,選取Q～ 2; 對應殼層溫度稍低的磁星,T=6.0×107K,得到殼層s的變化范圍s～ 8.65×1023—8.75×1024s–1; 對應殼層溫度稍高的磁星,T=2.0×108K,得到殼層s的變化范圍s～ 1.09×1023—2.52×1024s–1.

3.3 超強磁場下的磁能釋放率

選擇典型質(zhì)量為M=1.45M⊙的磁星,并且采用BBP 和TMA物態(tài)方程,對應R=11.77 km及μ=1.676.將(22)和(23)式進行求導,得到環(huán)向磁場和極向磁場的變化率:

表3 在不同溫度和不同純凈度參數(shù)下磁星殼層電導率的部分值(采用BBP模型)Table 3.Partial values of electrical conductivity for different temperatures and impurity parameters in the crust of magnetars.Here we use the equation of station (EOS) of BBP model.

圖4 磁星殼層電導率隨密度、溫度及不純凈度參數(shù)的變化 (a)電導率由電子-聲子散射主導; (b)電導率由電子-雜質(zhì)散射主導; 物態(tài)方程一律采用BBP 模型Fig.4.Relationship of s to r,Τ and Q in the inner crust for magnetar: (a) The conductivity due to electron-phonon scattering; (b) the conductivity due to electron-impurity scattering.The EOS of BBP model is used.

磁場能釋放率也是時間的函數(shù),可以用下式來進行估算:

其中dV=4πr2dr,Rc=0.98 km.磁能釋放率主要是由環(huán)向磁場所主導:

選擇一個典型的強磁場Bp(0)=2.0×1015G,計算了磁場的衰變率和磁能釋放率,部分結(jié)果列在表4中.

將σ=8.75×1024s?1和σ=2.52×1024s?1分別代入方程組(22),(23),(26),(27)中,用數(shù)值模擬方法得到在Bp(0)=3.0×1015G和Bp(0)=5.0×1014G兩種情況下Bp,dBp/dt,Lp,Bt,dBt/dt,Lt和LB隨時間的變化,如圖5所示.由圖5可以看出,Bp和Bt都同樣地經(jīng)歷緩慢衰變和快速衰變的過程.

4 與磁星的觀測對比

4.1 磁星旋轉(zhuǎn)能損率和軟X射線光度

從McGill磁星數(shù)據(jù)網(wǎng)站(http://www.physics.mcgill.ca/~pulsar/magnetar/main.html)上,可以看到有29顆磁星及其候選體,其中22顆源:CXOU J164710.2–455216 (縮寫CXOU J164710),CXOU J0100430.1–721134 (縮寫CXOU J01004),1RXS J170849.0–400910 (縮寫1RXS J170849),1E 2259+586,1E 1048.1–5937,1E 1841–045,4U 0142+61,SGR 0418+5729,SGR 0526–66,SGR 1900+14,SGR 1806–20,1E 1547.0–5408,XTE J1810–197,CXOU J171405.7–381031 (縮寫CXOU J171405),SGR 1627–41,Swift J1822–1606,Swift J1834.9–0864,SGR J1745–2900,PSRJ1622–4950,PSR J1846–025,暫變源AX J1845.0–0258及3XMM J185246.6+003377 (縮寫3XMM J185246),它們具有軟X射線光子.周期約為7 s的X射線的源AX J1845.0–0300,與超新星遺跡G29.6+0.1成協(xié),X射線亮度較低,光譜較軟,表明它可能是制動的X射線脈沖星[47].然而,由于缺乏精確穩(wěn)定的周期導數(shù)值,人們無法對其旋轉(zhuǎn)能量損失率進行評估.因此AX J1845.0–0258的磁場衰變、旋轉(zhuǎn)能損率與軟X-射線光度的關(guān)系將不再被考慮.3XMM J185246的旋轉(zhuǎn)周期P=11.5587 s,周期導數(shù)的上限假定一個經(jīng)典的偶極制動模型,給出偶極磁場的上限1013G及旋轉(zhuǎn)能損率上限Lrot< 4.75×1030erg/s,該源與超新星遺跡Kes 73成協(xié),超新星遺跡(supernova remnant,SNR)年齡4.7 ka,寧靜狀態(tài)下的軟X射線光度上限為:初始磁場可以選取與SGR 0418–5729相同,因為它和SGR 0418–5729一樣,屬于低偶極磁場、低光度、暫變的X射線源(X射線流量仍然在緩慢下降,沒有得到相對穩(wěn)定的值).在表5中,名稱依次為: 源名、自轉(zhuǎn)周期(P)、自轉(zhuǎn)周期導數(shù)特征年齡真實年齡估計、可能成協(xié)的物體(如SNR、大質(zhì)量分子云、大質(zhì)量星團、氫II區(qū)、大、小麥哲倫云、銀河系中心)、實際年齡確定方法、軟X射線光度、旋轉(zhuǎn)能損率.動力學年齡是指磁星從最初位置(如星團)移動到現(xiàn)在所處位置的時間,通過測量SNR的年齡、自行年齡或特征年齡來估算.有關(guān)與超新星遺跡的距離和年齡信息請參考SNR網(wǎng)站http://www.physics.umanitoba.ca/snr/SNRcat/.被觀測到的磁星軟X射線光度是指經(jīng)過引力紅移的、各向同性的軟X射線光度,由下式進行估算:

表4 當Bp(0)=2.0×1015 G時Bp,dBp/dt,Lp,Bt,dBt/dt,Lt和LB的部分值(假定一個中等質(zhì)量的磁星M=1.45M⊙,R=11.77 km,Rc=0.98 km,對應著I=1.47I45和 μ=1.676 ; 表格上和下半部分分別對應著σ=8.75×1024s?1和 σ=2.52×1024s?1)Table 4.Partial values of Bp,dBp/dt,Lp,Bt,dBt/dt,Lt and LB when Bp(0)=2.0×1015 G.Here we assume a mediummass magnetar M=1.45M⊙,R=11.77 km,Rc=0.97 km,corresponding to I=1.47I45 and μ=1.676 ,respectively.The top and bottom parts correspond to σ=8.75×1024s?1 and σ=2.52×1024s?1 ,respectively.

其中D是源到地球的距離是指觀測到的軟X射線譜流,即在10–19J)范圍內(nèi)沒有被星際介質(zhì)吸收軟X射線譜流).中子星旋轉(zhuǎn)能量損失率被定義為

其中W是角速度是W的導數(shù),n=W/2π是自轉(zhuǎn)頻率.本文采用TMA參數(shù)組,取中等質(zhì)量的中子星M=1.45M⊙,對應I=1.45(2)×1045g·cm2.

圖5 磁星磁場歐姆衰變的數(shù)值模擬 (a) 在x=1處極向磁場Bp隨時間t的變化; (b) 在x=1處極向磁場Bt隨時間t的變化;(c) 在x=1處極向磁場衰減率dBp/dt,隨時間t的變化; (d) 在x=1處環(huán)向磁場衰減率?dBt/dt,隨時間t的變化; (e) 極化磁場的能量衰減率Lp隨時間t的變化; (e) 環(huán)向磁場的能量衰減率Lt隨時間t的變化; 在(a)(f)圖中紅色和藍顏色的線分別表示σ=2.52×1024s?1和σ=8.75×1024s?1Fig.5.Numerical fitting of Ohmic decay for magnetars: (a) The poloidal magnetic field,Bp,as a function of t at x=1; (b) the toroidal magnetic field,Bt,as a function of t when at x=1; (c) the poloidal magnetic field decay rate,dBp/dt,as a function of t when at x=1; (d) the toroidal field decay rate,dBt/dt,as a function of t when at x=1; (e) the poloidal field energy decay rate,Lp,as a function of t; (f) the toroidal filed energy decay rate,Lt,as a function of t.The red and blue lines in (a)?(f) indicate σ=2.52×1024s?1 and σ=8.75×1024s?1 ,respectively.

在圖6中,Radio PSR 表示160顆普通的射電脈沖星[89]; HB表示15顆強磁場脈沖星; XINS表示7顆X射線的孤立中子星[90,91]; CCO表示8顆中心致密天體[92]; 實線是利用文獻[89]給出的公式進行擬合得到的圖線.點劃線是利用文獻[88]給出的經(jīng)驗公式

表5 具有軟X射線輻射的22顆磁星的到達時間及其輻射特性Table 5.The persistent timing,ages and emission characteristics for 22 magnetars with observed soft X-ray flux.

同樣地,對于10顆滿足情況2)的磁星,得到擬合公式:

卡方/自由度(χ2/df)的比值反映擬合的準確度,理論上χ2/df的值越接近1越好.對于(32)和(33)式,χ2/df的值分別為8.51/7 和7.98/9,這說明擬合的表達式和數(shù)據(jù)非常吻合.隨著磁星樣本的增加,我們會修正擬合的表達式.

圖6 在各向同性加熱模型下磁星及相關(guān)致密天體 -的關(guān)系圖Fig.6.The -plot for our magnetars and selected objects in isotropic heating models.

圖7 在各向同性加熱模型下擬合得到的磁星的旋轉(zhuǎn)能損率與軟X射線光度的關(guān)系Fig.7.Fitting relationship between the soft X-ray luminosity and rotational energy loss rate of magnetars in the isotropic heating model.

4.2 磁星X射線輻射和環(huán)向磁場的歐姆衰變

本節(jié)只考慮12顆旋轉(zhuǎn)能損率遠小于軟X射線光度的磁星.假定內(nèi)部環(huán)向磁場的歐姆衰變可以提供磁星各向同性的軟X射線輻射.為了估計這12顆磁星的Bp(0)值,我們引用Viganò等[46]的工作:

1)通過引入最先進的動力學系數(shù),并且考慮到霍爾漂移項的重要影響,Viganò等[46]給出中子星磁-熱演化二維模擬最新結(jié)果,并與包括17顆磁星在內(nèi)的40個源的觀測進行比較.結(jié)果發(fā)現(xiàn),僅靠改變初始磁場、質(zhì)量和包層成分,在該理論模型下,磁星、高磁場射電脈沖星、孤立暗中子星等觀測多樣性可以得到很好地解釋.

2)通過比較具有磁場Bp(0)=1015G的鐵殼層中子星的冷卻曲線,推斷8顆磁星(CXOU J171405,SGR 1900+14,1E 1048.1–5937,SGR 0526–66,CXOU J010043,1RXS J170849,1E 1841–045,SGR 1806–20)能自誕生時就具有量級為幾個1015G的磁場,磁場能提供硬X射線輻射,總的光度~1036erg·s–1[46].

3)通過比較具有磁場Bp~1—5×1014G 的中子星群的冷卻曲線,得到啟示: 9顆磁星(1E 1547.0–5408,SGR 1627–41,SGR 0501+4516,XTE J1810–197,CXOU J164710,1E 2259+586,4U 0142+61,Swift 1822.3–1606,SGR 0418+5729)可能具有初始磁場Bp(0)=3×1014G,這樣的磁場能夠解釋觀測的到達時間特性和持續(xù)的軟X射線光度.

結(jié)合文獻[25]和當前的磁星觀測(軟X射線光度、表面熱溫度和實際年齡等),我們給出12顆磁星(>Lrot)的初始磁場和相關(guān)參數(shù),列舉在表6中.在中子星內(nèi)部可能存在著超流渦絲爬行、放射性同位素化學元素衰變[94]、最小冷卻等各向同性加熱機制,但是這些加熱機制熱能產(chǎn)生率與磁星高值的X射線光度相比忽略不計[33].我們假定各向同性的軟X-射線輻射來自星體表面,給定磁星初始偶極磁場的估計值和實際年齡,計算出在兩個典型電導率情況下磁場能釋放率,計算結(jié)果列于表6中.

表6 12顆旋轉(zhuǎn)能損率遠小于軟X射線光度的磁星的輻射特性及磁場能衰變率Table 6.The X-ray emission characteristics and magnetic field energy decay rates of 12 magnetars with rotational energy loss rates less than their soft X-ray luminosities.

從表6可以看到,磁星內(nèi)部磁場由于歐姆衰變,磁場能釋放率普遍地高于其軟X射線光度1—2個數(shù)量級,主導磁能釋放率的環(huán)向磁場衰變足夠提供磁星寧靜狀態(tài)下持續(xù)的X射線輻射,表6中LB的計算結(jié)果支持了本文的理論模型.客觀上講,我們對LB的理論計算與磁星內(nèi)部磁場歐姆衰變實際情形還存在一定的差異.這是由于對磁星初始磁場、實際年齡和內(nèi)殼層厚度的估算還存在一定的不確定性,另外,由于星際介質(zhì)對X射線的吸收以及磁星距離估計的不確定性,由磁星網(wǎng)站所給出的的值(表5中第8列)也存在一定的不確定性.隨著對磁星觀測手段、觀測設(shè)備、觀測方法的改進,以及理論方面的深入研究,本文模型也會得到進一步改進,理論結(jié)果將更好地符合磁星的高能觀測.

由于歐姆衰變過程釋放的熱能,絕大部分由熱中微子帶走,還有一部分被星體物質(zhì)吸收維持熱平衡,因此,只有很少部分的湮滅的磁場能轉(zhuǎn)換為熱X射線光子.我們定義磁星的軟X射線的轉(zhuǎn)換系數(shù)為

對于每顆磁星來說,其軟X射線的轉(zhuǎn)換系數(shù)的大小存在一定的差異,我們利用(34)式算出在兩種電導率下軟X射線的轉(zhuǎn)換系數(shù)的值,分別列于表6中第8和第10列中,發(fā)現(xiàn)12顆磁星的η分布范圍為10–2—10–1.從理論上講,一旦確定磁星的η和LB的值,通過下式來估計表面有效溫度TS,

這里σS為Stefan-Boltzmann常數(shù).由于引力紅移,觀測的磁星表面溫度小于表面有效溫度TS,兩者關(guān)系:=TS(1?rg/R)1/2,其中rg=GM/c2為史瓦西半徑.

5 總結(jié)與討論

磁星的活動性和輻射特征歸因于內(nèi)部可能存在的超強磁場.在WGW19的工作基礎(chǔ)上[33],我們計算了超強磁場下的中子星殼層電導率、由于歐姆衰變內(nèi)部磁場衰變率和磁場能釋放率.我們重新研究了22顆具有軟X射線輻射的磁星的LX-Lrot關(guān)系,得到了新的擬合公式.我們發(fā)現(xiàn),對于LXLrot的磁星,內(nèi)部環(huán)向磁場的歐姆衰變可以提供其高光度的軟X射線輻射并維持較高的表面熱溫度.

關(guān)于磁星初始偶極磁場,我們主要參考了文獻[43],因為文獻[43]首次提出了中子星磁熱演化模型,這個模型可以成功地解釋年輕的中子星(包括磁星以及高磁場脈沖星在內(nèi))X射線的輻射機制和冷卻機制.

我們還討論了磁星軟X射線其他可能的各向異性的起源機制,例如磁斑點、熱塑性流波加熱等.盡管這些加熱機制與歐姆衰變不同,但是這些加熱機制都要求磁星內(nèi)部必須存在超強的環(huán)向磁場,各向異性的加熱機制要求磁星內(nèi)部存在更高的磁多極場(如磁八極場),并且涉及到復雜的霍爾漂移,這些將成為我們未來關(guān)注的焦點.隨著對磁星觀測手段、觀測設(shè)備、觀測方法的改進,以及理論方面的深入研究,本文模型也會得到進一步的改進,理論結(jié)果將更好地符合磁星的軟X射線輻射和表面熱溫度的觀測.