多個(gè)耦合星型網(wǎng)絡(luò)的同步優(yōu)化*

舒睿 陳偉 肖井華

(北京郵電大學(xué)理學(xué)院,北京 100876)

1 引 言

自20世紀(jì)末發(fā)現(xiàn)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的小世界和無(wú)標(biāo)度特性后,復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的相關(guān)研究引起了越來(lái)越多學(xué)者的關(guān)注[1?4].自然界中存在許多的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò),例如因特網(wǎng)、人際關(guān)系網(wǎng)、電力網(wǎng)、交通網(wǎng)等.復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)可以作為神經(jīng)科學(xué)[5]、模式識(shí)別[6]、化學(xué)[7]、生物[8]、天氣[9?11]等系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)模型.在無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)提出以前,人們普遍認(rèn)為所有復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)均為隨機(jī)網(wǎng)絡(luò),且其節(jié)點(diǎn)的度分布為泊松分布,而在無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)提出后,人們發(fā)現(xiàn)自然界中的大量網(wǎng)絡(luò)(例如: 科研合作網(wǎng)絡(luò)、蛋白質(zhì)相互作用網(wǎng)絡(luò)、因特網(wǎng)、社交網(wǎng)絡(luò)等)都具有無(wú)標(biāo)度特性,因此無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的特性引起了許多研究人員的興趣.無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)具有較強(qiáng)的異質(zhì)性,各節(jié)點(diǎn)之間的連接具有較強(qiáng)的不均勻性,即網(wǎng)絡(luò)中極少數(shù)的中心節(jié)點(diǎn)擁有極多的連接,而大多數(shù)節(jié)點(diǎn)只有很少量的連接.網(wǎng)絡(luò)中的這些中心節(jié)點(diǎn)對(duì)網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)和功能起著關(guān)鍵性作用.而無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)所具有的較強(qiáng)的異質(zhì)性主要來(lái)源于其星型結(jié)構(gòu)的模體.星型網(wǎng)絡(luò)可以看成是無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)在統(tǒng)計(jì)意義下重整后的理想簡(jiǎn)化模型,但與無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)具有多個(gè)中心節(jié)點(diǎn)不同,星型網(wǎng)絡(luò)只有一個(gè)中心節(jié)點(diǎn),其網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)更加簡(jiǎn)單,易于分析,因此可通過(guò)研究簡(jiǎn)單的星型網(wǎng)絡(luò)的特性來(lái)幫助理解無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的某些特性.

同步現(xiàn)象是指具有相互作用的系統(tǒng)之間形成的步調(diào)一致的運(yùn)動(dòng).其中,在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的同步是指網(wǎng)絡(luò)中的各節(jié)點(diǎn)的動(dòng)態(tài)行為具有一致性[12].同步現(xiàn)象廣泛存在于自然界中,如在物理、生物、化學(xué)及社會(huì)系統(tǒng)中均可觀察到,并具有較為豐富的應(yīng)用,包括Josephson-Junction陣列[13]、半導(dǎo)體激光器陣列[14]、螢火蟲的閃爍[15]、心臟起搏細(xì)胞[16]、帕金森疾病[17]和其他一些應(yīng)用[18,19].耦合相振子模型(Kuramoto模型)[20?22]因能夠簡(jiǎn)單且有效地描述很多物理系統(tǒng)中的同步和相變行為而成為研究同步問(wèn)題的經(jīng)典模型.本文擬以Kuramoto模型研究星型結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)的同步優(yōu)化問(wèn)題.耦合Kuramoto模型中,每個(gè)節(jié)點(diǎn)代表一個(gè)具有不同自然頻率的相振子,在解耦時(shí)以固定的自然頻率做勻速旋轉(zhuǎn).節(jié)點(diǎn)之間通過(guò)相位影響產(chǎn)生耦合作用,星型網(wǎng)絡(luò)上Kuramoto模型動(dòng)力學(xué)方程如下:

其中θh,θj分別表示中心節(jié)點(diǎn)和第j個(gè)葉子節(jié)點(diǎn)相位;ωh,ωj為對(duì)應(yīng)的自然頻率;λ為中心節(jié)點(diǎn)與葉子節(jié)點(diǎn)連接的耦合強(qiáng)度;K為葉子節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù).當(dāng)兩個(gè)節(jié)點(diǎn)平均頻率相等時(shí),可認(rèn)為它們達(dá)到同步.當(dāng)耦合強(qiáng)度超過(guò)某一閾值時(shí),耦合系統(tǒng)中所有節(jié)點(diǎn)的平均頻率均相等并達(dá)到同步,我們稱該閾值為同步臨界耦合強(qiáng)度λc.同步優(yōu)化就是通過(guò)調(diào)整或控制系統(tǒng)的參數(shù)使整個(gè)系統(tǒng)的同步臨界耦合強(qiáng)度達(dá)到最小值,其與實(shí)際生活中的許多應(yīng)用,例如電網(wǎng)的優(yōu)化、通信領(lǐng)域、生物和醫(yī)學(xué)等密切相關(guān).

最近,星型網(wǎng)絡(luò)上的同步有許多相關(guān)研究.Bergner等[23]在星型網(wǎng)絡(luò)中發(fā)現(xiàn)了一種新的同步機(jī)制,即遠(yuǎn)程同步,具體表現(xiàn)為星型網(wǎng)絡(luò)中的中心節(jié)點(diǎn)與葉子節(jié)點(diǎn)不同步的情況下,葉子節(jié)點(diǎn)之間可以實(shí)現(xiàn)同步.Schmidt等[24]研究發(fā)現(xiàn)在人類大腦神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中,中心節(jié)點(diǎn)對(duì)大腦模塊之間的同步聚合發(fā)揮著關(guān)鍵性作用.這些對(duì)單個(gè)星型網(wǎng)絡(luò)的研究讓人們?cè)诩冃切途W(wǎng)絡(luò)上的同步方面有了更深的認(rèn)識(shí).而在無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中,有多個(gè)中心節(jié)點(diǎn)并存且有可能存在相互作用,中心節(jié)點(diǎn)與葉子節(jié)點(diǎn)的異質(zhì)性使得無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的同步能力低于小世界網(wǎng)絡(luò)[25].Zhang等[26]發(fā)現(xiàn)多層耦合網(wǎng)絡(luò)中,可以很好地實(shí)現(xiàn)爆發(fā)式同步.通過(guò)引入星型網(wǎng)絡(luò)模型,在無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中引入與度相關(guān)的頻率分布后,系統(tǒng)分析了實(shí)現(xiàn)爆發(fā)式同步和分層同步的產(chǎn)生機(jī)制[27].Xu等[28]分析了兩個(gè)星型網(wǎng)絡(luò)耦合情況下的同步相變問(wèn)題.在上述星型網(wǎng)絡(luò)的研究中,葉子節(jié)點(diǎn)的自然頻率通常被設(shè)置成相等或是只存在較小的頻率失配.然而,現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)中這種理想假設(shè)條件常常無(wú)法達(dá)到,因而有必要討論具有隨機(jī)頻率分布情形下,耦合系統(tǒng)的同步問(wèn)題.

本文在葉子節(jié)點(diǎn)頻率隨機(jī)分布的情況下,討論耦合星型網(wǎng)絡(luò)的同步優(yōu)化問(wèn)題,以理論推導(dǎo)的同步臨界耦合強(qiáng)度為基礎(chǔ),通過(guò)調(diào)節(jié)耦合系統(tǒng)的參數(shù),獲取最小同步臨界耦合強(qiáng)度,從而實(shí)現(xiàn)對(duì)耦合系統(tǒng)的同步優(yōu)化.第2節(jié)從單個(gè)星型結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)著手分析同步優(yōu)化問(wèn)題,結(jié)果表明其同步臨界耦合強(qiáng)度與中心振子頻率之間具有分段線性關(guān)系,在分段點(diǎn)處取得最優(yōu)值.第3節(jié)討論兩個(gè)星型結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)相互耦合的情形,發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的同步臨界耦合強(qiáng)度與兩中心振子的頻率之和間具有分段線性關(guān)系,且中心振子頻率之和取在某一定值上時(shí)可使同步臨界耦合強(qiáng)度達(dá)到最小值.當(dāng)中心振子的頻率不同時(shí),系統(tǒng)具有不同的同步過(guò)程.當(dāng)系統(tǒng)走向同步的過(guò)程中只有一個(gè)同步集團(tuán)時(shí),整個(gè)系統(tǒng)的同步臨界耦合強(qiáng)度較小,而當(dāng)系統(tǒng)中產(chǎn)生多個(gè)同步集團(tuán)時(shí),整個(gè)系統(tǒng)的同步臨界耦合強(qiáng)度較大.第4節(jié)分析了多個(gè)星型結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)耦合的情況,結(jié)果表明系統(tǒng)的同步臨界耦合強(qiáng)度與所有中心振子的自然頻率之和間存在分段線性關(guān)系.

2 單個(gè)星型網(wǎng)絡(luò)

首先討論單個(gè)星型網(wǎng)絡(luò)的情況,網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖1(a)所示.Wang等[29]研究并從理論上確定了單個(gè)星型網(wǎng)絡(luò)的同步條件.當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到同步時(shí),系統(tǒng)所有節(jié)點(diǎn)的平均頻率都相等,設(shè)為W,(1)式可以轉(zhuǎn)化為

圖1 耦合星型網(wǎng)絡(luò)示意圖 (a)單個(gè)星型網(wǎng)絡(luò); (b)兩個(gè)耦合星型網(wǎng)絡(luò); (c)多個(gè)耦合星型網(wǎng)絡(luò)Fig.1.Coupled star networks: (a) Single star network; (b) two coupled networks; (c) multiple coupled networks.

合并(2a)和(2b)式可以得到

當(dāng)系統(tǒng)同步時(shí),葉子節(jié)點(diǎn)滿足(2b)式,則

由于正弦函數(shù)的有界性得

將(3)式代入(4)式得到臨界耦合強(qiáng)度:

時(shí),(1)式對(duì)應(yīng)雅克比矩陣的特征值全部小于0.實(shí)際計(jì)算結(jié)果表明,λ≥λc時(shí),對(duì)于任意的初始相位,耦合系統(tǒng)都會(huì)同步到(6)式的通解上.因此,λ≥λc時(shí)系統(tǒng)能達(dá)到同步,說(shuō)明使用正弦函數(shù)的有界性得到的結(jié)果是可靠的.

從(4)和(5)式可知,臨界耦合強(qiáng)度為所有節(jié)點(diǎn)的頻率與最大(小)頻率的差的平均值,即:

ωm為與平均頻率差值最大的葉子節(jié)點(diǎn)的頻率.由(4)式可知ωm與?差距越大,則所需的同步臨界耦合強(qiáng)度越大.由(5)式可知,當(dāng)節(jié)點(diǎn)頻率變化時(shí),同步臨界耦合強(qiáng)度也相應(yīng)地發(fā)生變化,相較于其他葉子節(jié)點(diǎn),改變?chǔ)豰對(duì)臨界耦合強(qiáng)度的影響較大.λc=mjax|??ωj|隨著?的變化可以寫成如下分段函數(shù)形式:

對(duì)于單個(gè)星型網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng),由(7)式可知同步臨界耦合強(qiáng)度與中心振子頻率之間具有分段線性關(guān)系.當(dāng)所有葉子節(jié)點(diǎn)頻率確定時(shí),由(9)式可得實(shí)現(xiàn)最優(yōu)同步(最小同步臨界耦合強(qiáng)度)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)中心振子頻率.即當(dāng)整個(gè)系統(tǒng)的平均頻率等于葉子節(jié)點(diǎn)頻率最大值與最小值的中點(diǎn)時(shí),星型網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的同步臨界耦合強(qiáng)度有最小值.

3 兩個(gè)相互耦合的星型網(wǎng)絡(luò)

其中θh1,θh2,θj1,θj2和ωh1,ωh2,ωj1,ωj2分別是S1和S2的中心節(jié)點(diǎn)和葉子節(jié)點(diǎn)的相位、自然頻率;K1,K2和λ1,λ2是S1和S2中葉子節(jié)點(diǎn)的數(shù)目、葉子節(jié)點(diǎn)和中心節(jié)點(diǎn)間的耦合強(qiáng)度;λ0是S1和S2中兩個(gè)中心節(jié)點(diǎn)之間的耦合強(qiáng)度.

以K1=3,K2=4 為例,令耦合強(qiáng)度λ0=λ1=λ2=λ,基于四階Runge-Kutta法計(jì)算(10)式,獲得不同中心節(jié)點(diǎn)頻率ωh1,ωh2下,節(jié)點(diǎn)的平均頻率隨耦合強(qiáng)度λ的變化,如圖2(a)—(e)所示.對(duì)任意給定的ωh1,ωh2,都可以計(jì)算出對(duì)應(yīng)的同步臨界耦合強(qiáng)度λc.圖2(f)給出了系統(tǒng)的同步臨界耦合強(qiáng)度λc隨ωh1,ωh2的變化關(guān)系.可知,同步臨界耦合強(qiáng)度在不同的參數(shù)區(qū)域呈現(xiàn)不同的變化趨勢(shì).在遠(yuǎn)離對(duì)角線的左上和右下區(qū)域,同步臨界耦合強(qiáng)度沿對(duì)角線方向基本不變,而在沿對(duì)角線的垂線方向發(fā)生改變.越接近對(duì)角線,同步臨界耦合強(qiáng)度越小;在對(duì)角線附近區(qū)域,同步臨界耦合強(qiáng)度在對(duì)角線的垂線方向基本不變,而在沿對(duì)角線方向發(fā)生變化,并在中間某處取得最小值.圖2(a)—(e)給出了在圖2(f)中的五個(gè)黑點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)下的平均頻率隨耦合強(qiáng)度變化關(guān)系.圖2(a)和圖2(e)是遠(yuǎn)離對(duì)角線的情形,隨著耦合強(qiáng)度的增大,耦合系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)會(huì)先形成兩個(gè)同步子集團(tuán),再通過(guò)兩個(gè)同步子集團(tuán)合并而達(dá)到同步.圖2(b)—(d)是靠近對(duì)角線的情形,隨著耦合強(qiáng)度的增大,耦合系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)會(huì)直接先形成一個(gè)規(guī)模較大同步集團(tuán)并通過(guò)不斷吸引其他節(jié)點(diǎn)加入而走向整體同步.與通過(guò)大集團(tuán)與小個(gè)體競(jìng)爭(zhēng)走向同步相比,兩個(gè)規(guī)模相當(dāng)?shù)耐郊瘓F(tuán)相互競(jìng)爭(zhēng)走向同步的難度明顯要大,因此要使系統(tǒng)更容易達(dá)到同步,應(yīng)該盡量避免使系統(tǒng)產(chǎn)生多個(gè)同步子集團(tuán).

下面討論耦合星型網(wǎng)絡(luò)中,節(jié)點(diǎn)的頻率值對(duì)系統(tǒng)同步臨界耦合強(qiáng)度的影響.當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到同步時(shí),所有節(jié)點(diǎn)的平均頻率相等,可將(10)式合并并消去耦合項(xiàng)得到系統(tǒng)的同步平均頻率為

圖2 ωj1=[0.31,0.42,0.5],ωj2=[0.58,0.53,0.57,0.33?]情況下的數(shù)值計(jì)算結(jié)果 (a)?(e)不同中心節(jié)點(diǎn)頻率情況下的節(jié)點(diǎn)平均頻率隨耦合強(qiáng)度的變化,其中紅線和藍(lán)線分別表示(a)(e)不同中心節(jié)點(diǎn)頻率情況下的節(jié)點(diǎn)平均頻率隨耦合強(qiáng)度的變化,其中紅線和藍(lán)線分別表示S1和S2的節(jié)點(diǎn),粗線和細(xì)線分別表示中心節(jié)點(diǎn)和葉子節(jié)點(diǎn); (f)系統(tǒng)臨界耦合強(qiáng)度 λc 隨 ωh1,ωh2 值的變化,越靠近冷色調(diào)表示臨界耦合強(qiáng)度越小Fig.2.Numerical results for ωj1=[0.31,0.42,0.5],ωj2=[0.58,0.53,0.57,0.33].(a)?(e) Average frequency versus coupling strength for two coupled star networks S1 (red) and S2 (blue).The thick and thin lines respectively represent the center nodes and leaf nodes.(f) The critical coupling strength λc versus ωh1,ωh2.The value of λc is shown according to the colorbar.

根據(jù)同步條件,(10b)和(10d)式中S1和S2的葉子節(jié)點(diǎn)滿足:

由正弦函數(shù)的有界性得

由(12)式可得

將其代入(14)式得

由正弦函數(shù)的有界性得

(16)式是通過(guò)S1的中心節(jié)點(diǎn)的(10a)式得到的,通過(guò)S2的中心節(jié)點(diǎn)的(10c)式同樣可得以上結(jié)果.

令

系統(tǒng)最優(yōu)同步臨界耦合強(qiáng)度處于圖3(d)中的白線所在參數(shù)區(qū)域,此時(shí)隨之和的變化情況如圖4所示,臨界耦合強(qiáng)度與中心振子頻率之和滿足分段線性關(guān)系,如(19)式,并在分段點(diǎn)處取得最小值.圖中兩條線的交點(diǎn)c處橫坐標(biāo)滿足的線性關(guān)系為圖3(d)中(1),(2)部分的分割線.在c點(diǎn)附近小于與,此時(shí)由或決定.在c點(diǎn)處,取合適的范圍(圖3(d)中為小于與,此時(shí)同步臨界耦合強(qiáng)度具有最小值.下面理論導(dǎo)出最優(yōu)的使同步臨界耦合強(qiáng)度取最小值.

圖3 (a)?(c)分別表示值的變化情況; (d) 隨值的變化情況參數(shù)平面被分為不同的區(qū)域,兩條紅線表示與相等的區(qū)域,兩條黑線表示與相等的區(qū)域,白線表示與相等的區(qū)域Fig.3.(a)?(c)versusversuswhere the parameter space can be divided into different regions according to the value of ; the red lines denotethe black lines denotethe white lines denote

圖4 系統(tǒng)的臨界耦合強(qiáng)度隨 ωh+ωh 值的變化情況12Fig.4.Relationship betweenand ωh+ωh.12

將(11)式?值代入上式可得耦合系統(tǒng)取得最優(yōu)同步臨界耦合強(qiáng)度λc的條件如下:

當(dāng)λ0,λ1,λ2不相等時(shí),分別固定λ0或者λ1,改變剩下的兩個(gè)耦合強(qiáng)度得到系統(tǒng)的同步情況,對(duì)于每一組固定的耦合強(qiáng)度,計(jì)算系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)節(jié)點(diǎn)的平均頻率,進(jìn)而得到這些節(jié)點(diǎn)平均頻率的方差的對(duì)數(shù)值,如圖5所示.只有當(dāng)三個(gè)耦合強(qiáng)度均大于系統(tǒng)的同步臨界耦合強(qiáng)度時(shí),系統(tǒng)才能達(dá)到同步.數(shù)值計(jì)算結(jié)果如下: 圖5(a)中當(dāng)時(shí),S1中的中心節(jié)點(diǎn)無(wú)法與S2中的中心節(jié)點(diǎn)同步,圖5(a)中(1)部分中S1中上所有葉子節(jié)點(diǎn)和中心節(jié)點(diǎn)能同步,而S2的無(wú)法達(dá)到同步,圖5(a)中(2)部分則與中的節(jié)點(diǎn)均各自無(wú)法同步,圖5(a)中(3)部分的所有葉子節(jié)點(diǎn)和中心節(jié)點(diǎn)同步,的所有葉子節(jié)點(diǎn)和中心節(jié)點(diǎn)同步,但和未同步,圖5(a)中(4)部分的所有葉子節(jié)點(diǎn)和中心節(jié)點(diǎn)同步,未同步.圖5(b)與圖5(a)類似,但此時(shí)和的中心節(jié)點(diǎn)同步,圖5(b)中(3)部分中系統(tǒng)達(dá)到完全同步.圖5(c)中數(shù)值結(jié)果發(fā)現(xiàn)始終不能同步,而在圖5(d)中圖5(d)中(3)部分時(shí),系統(tǒng)達(dá)到完全同步.

圖5 ωh=0.4,ωh=0.8 時(shí),不同耦合強(qiáng)度參數(shù)區(qū)間下,節(jié)點(diǎn)平均頻率的方差的對(duì)數(shù)值 (a) λ0<; (b) λ0>;12(c) λ1<; (d) λ1>λ1c ,顏色越靠近冷色調(diào)表示系統(tǒng)的同步程度越高,黑線、白線、綠線分別表示理論推導(dǎo)出的,,Fig.5.Logarithmic variance of average frequency in parameter space of coupling strength for ωh1=0.4,ωh2=0.8 : (a) λ0<;(b) λ0>; (c) λ1<λ1 c ; (d) λ1>.The smaller logarithmic variance of average frequency indicates better synchronization.Black line,white line and green line represent the theoretical critical coupling strength for synchroniation ,,,respectively.

4 多個(gè)星型相互耦合網(wǎng)絡(luò)

考慮n個(gè)星型網(wǎng)絡(luò)耦合的情況,引入一個(gè)中心連接節(jié)點(diǎn)h0,n個(gè)星型網(wǎng)絡(luò)的中心節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)h0相互耦合,將第i個(gè)星型網(wǎng)絡(luò)稱為Si,網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖1(c)所示.該耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為

方程中的θhi,θji和ωhi,ωji是Si中的中心和葉子節(jié)點(diǎn)的相位、自然頻率;Ki是Si中的葉子節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù);λ0是Si中的中心節(jié)點(diǎn)與中心連接節(jié)點(diǎn)h0間的耦合強(qiáng)度.當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到同步時(shí),所有節(jié)點(diǎn)的平均頻率

由(21b)式和同步條件可得

將(21a)和(21b)式合并得

由(23)和(24a)式可得

令

一定有解,即在ωhi的和為某一定值時(shí),都可以找到一組ωhi使得=0.當(dāng)取耦合強(qiáng)度相等即λ0=λ1=λ2=λ時(shí),系統(tǒng)的同步臨界耦{合強(qiáng)}度為(27)和(28)式的最大值,即λc=max,.以K1=3,K2=5,K3=4為例,對(duì)于所有不同的可得到使=0 的ωhi,并以此振子頻率為參數(shù)通過(guò)數(shù)值計(jì)算獲得系統(tǒng)的同步臨界耦合強(qiáng)度,如圖6(a)中的圓圈所示,此結(jié)果與理論推導(dǎo)的結(jié)果一致,如圖6(a)所示.

固定λ1=0.41≥,λ2=0.5≥,改變?chǔ)?,λ0時(shí),計(jì)算所有節(jié)點(diǎn)平均頻率的方差的對(duì)數(shù),如圖6(b)所示,其中綠線和白線分別是由理論得到的,.結(jié)果表明理論推導(dǎo)的同步臨界耦合強(qiáng)度與數(shù)值計(jì)算結(jié)果一致.圖6(b)中(1)部分λ0>,λ3>,所有中心節(jié)點(diǎn)與連接節(jié)點(diǎn)同步,S3未同步; (2)部分λ0>,λ3>,中心節(jié)點(diǎn)未與連接節(jié)點(diǎn)同步,S3未同步; (3)部分所有λ0>,λ3>,系統(tǒng)完全同步; (4)部分≥,≥,S3的所有葉子節(jié)點(diǎn)和中心節(jié)點(diǎn)同步,各中心節(jié)點(diǎn)未同步.同樣地,對(duì)于不同的Ki,理論結(jié)果與數(shù)值計(jì)算結(jié)果依然符合.

圖6 參數(shù)為ωj1=[0.27,0.05,0.10],ωj2=[0.69,0.31,0.84,0.95,0.03],ωj3=[0.77,0.80,0.19,0.49]時(shí)的數(shù)值計(jì)算結(jié)果(a)控制所有耦合強(qiáng)度相等時(shí),系統(tǒng)的同步臨界耦合強(qiáng)度隨 ωhi 的和的關(guān)系圖,數(shù)值計(jì)算結(jié)果如圓圈所示,理論推導(dǎo)結(jié)果如實(shí)線所示; (b)當(dāng)固定 λ1=0.41,λ2=0.5 ,改變參數(shù) λ3,λ0 時(shí),所有節(jié)點(diǎn)平均頻率的方差的對(duì)數(shù)結(jié)果,綠線和白線分別是理論得到的,Fig.6.Numerical results and theoretical results for ωj1=[0.27,0.05,0.10],ωj2=[0.69,0.31,0.84,0.95,0.03],ωj3=[0.77,0.80,0.19,0.49]: (a) The critical coupling strength for synchronization versus the summation of central node frequencies; the numerical results are shown in the circle and the theoretical ones are shown in the solid lines; (b) the logarithmic variance of average frequency in parameter space of λ3,λ0 for given λ1=0.41,λ2=0.5.

5 結(jié) 論

本文討論了具有非全同葉子節(jié)點(diǎn)的多個(gè)耦合星型網(wǎng)絡(luò)的同步優(yōu)化問(wèn)題.單個(gè)星型網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)頻率對(duì)系統(tǒng)同步臨界耦合強(qiáng)度的影響結(jié)果表明,同步臨界耦合強(qiáng)度與中心節(jié)點(diǎn)的頻率滿足分段線性關(guān)系,在分段點(diǎn)處具有使同步臨界耦合強(qiáng)度達(dá)到最優(yōu)的頻率.

兩個(gè)耦合星型網(wǎng)絡(luò)中,理論導(dǎo)出了每個(gè)子星型網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部實(shí)現(xiàn)同步所需的臨界耦合強(qiáng)度,以及兩個(gè)星型網(wǎng)絡(luò)之間實(shí)現(xiàn)同步所需的臨界耦合強(qiáng)度.當(dāng)系統(tǒng)所有耦合強(qiáng)度相同時(shí),系統(tǒng)的同步臨界耦合強(qiáng)度λc=max{,,} ,改變兩個(gè)中心節(jié)點(diǎn)的自然頻率會(huì)影響同步臨界耦合強(qiáng)度,的值,從而影響系統(tǒng)的同步臨界耦合強(qiáng)度λc的值.在最優(yōu)點(diǎn)附近同步臨界耦合強(qiáng)度與兩個(gè)中心節(jié)點(diǎn)自然頻率之和滿足分段線性關(guān)系.中心節(jié)點(diǎn)的自然頻率的參數(shù)平面會(huì)分成不同的區(qū)域,在每一個(gè)區(qū)域內(nèi)臨界耦合強(qiáng)度由相應(yīng)的或者決定.在由決定的區(qū)域里:≥,≥,兩個(gè)星型網(wǎng)絡(luò)先各自內(nèi)部實(shí)現(xiàn)同步而形成兩個(gè)同步子集團(tuán),最后系統(tǒng)達(dá)到同步所需的同步臨界耦合強(qiáng)度較大.在由決定的區(qū)域里:≥,≥,隨著耦合強(qiáng)度的增大,只會(huì)產(chǎn)生一個(gè)同步集團(tuán),子網(wǎng)絡(luò)S1中葉子逐漸加入到同步集團(tuán),系統(tǒng)達(dá)到同步所需的臨界耦合強(qiáng)度較小.由決定的區(qū)域里的情況與決定的區(qū)域的情況一樣,在這兩個(gè)區(qū)域相交的部分:=≥,隨著耦合強(qiáng)度的增大,系統(tǒng)先產(chǎn)生一個(gè)同步集團(tuán),然后不斷有葉子節(jié)點(diǎn)并入到同步集團(tuán),直到兩個(gè)子網(wǎng)絡(luò)S1,S2的所有葉子并入同步集團(tuán),系統(tǒng)達(dá)到完全同步,系統(tǒng)的同步臨界耦合強(qiáng)度最小,此時(shí)兩個(gè)中心節(jié)點(diǎn)自然頻率的和為一固定值.當(dāng)各子網(wǎng)絡(luò)間的耦合強(qiáng)度不相等時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)各子網(wǎng)絡(luò)的耦合強(qiáng)度均大于等于相應(yīng)的同步臨界耦合強(qiáng)度,時(shí),系統(tǒng)才能達(dá)到同步.如果某一部分不滿足條件,該部分對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)就不能同步.

多個(gè)耦合星型網(wǎng)絡(luò)中,通過(guò)理論推導(dǎo)得出了每個(gè)子星型網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部同步的臨界耦合強(qiáng)度,以及子星型網(wǎng)絡(luò)之間同步的臨界耦合強(qiáng)度.當(dāng)系統(tǒng)所有耦合{強(qiáng)度相}同時(shí),系統(tǒng)的臨界耦合強(qiáng)度λc=max,.當(dāng)中心連接節(jié)點(diǎn)和中心節(jié)點(diǎn)的頻率之和為任意定值時(shí),調(diào)節(jié)中心連接節(jié)點(diǎn)和中心節(jié)點(diǎn)的頻率可以使較小,系統(tǒng)臨界耦合強(qiáng)度λc由決定,此時(shí)λc與中心連接節(jié)點(diǎn)和中心節(jié)點(diǎn)的頻率和成分段線性關(guān)系,在分段點(diǎn)處取得最小值.在最優(yōu)的情況下,隨著耦合強(qiáng)度的增大,只會(huì)產(chǎn)生一個(gè)同步集團(tuán).

總之,隨著耦合強(qiáng)度的增大,當(dāng)系統(tǒng)產(chǎn)生多個(gè)同步集團(tuán)時(shí),臨界耦合強(qiáng)度較大,而只產(chǎn)生一個(gè)同步集團(tuán)時(shí)臨界耦合強(qiáng)度較小,因此為了優(yōu)化同步應(yīng)該盡量避免產(chǎn)生多個(gè)同步集團(tuán),而應(yīng)該是只有一個(gè)大集團(tuán)不斷吸收小個(gè)體的方式.