加權(quán)平均值在高中物理中的應(yīng)用

葉銀

摘 要：本文介紹了加權(quán)平均值與一般算術(shù)平均值的區(qū)別，區(qū)分對時間的平均值和對位移的平均值，明確常用的平均速度其實是速度對時間的加權(quán)平均值，利用平均速度可以快速求解常見的安培力沖量，巧解洛倫茲力沖量.

關(guān)鍵詞：加權(quán)平均值;平均速度;變力沖量

文章編號：1008-4134（2019）17-0060中圖分類號：G633.7文獻標識碼：B

初中階段學(xué)生已經(jīng)掌握求勻速直線運動的位移、求恒力做功、求恒定電流的電荷量等問題的方法，那么又如何解決變速直線運動的位移、求變力做功、求變力的沖量等問題呢？用微分累積化“變”為“不變”可以很好地解決這類問題，但是在中學(xué)階段學(xué)生還未系統(tǒng)地學(xué)習(xí)微積分和微元法，對微分思想的認識還不夠深入，在處理實際問題時，應(yīng)該盡量回避用微分思想解決問題.平均值是學(xué)生已經(jīng)掌握的概念，求某個變化的物理量的平均值，實際上是找一個恒定的物理量，讓它的效果與該變化的物理量相同，實現(xiàn)“等效替代”.在物理學(xué)中涉及的平均值大多是加權(quán)平均值，由于學(xué)生對加權(quán)平均值的概念理解不夠，尤其是不能很好地區(qū)分對時間的平均和對位移的平均，在解決實際問題時經(jīng)常容易混淆.

1 發(fā)現(xiàn)問題

例1 如圖1所示，水平放置的光滑平行導(dǎo)軌，固定在桌面上，導(dǎo)軌間距為L，處在豎直向下的磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場當中.桌子離開地面的高度為H.初始時刻，質(zhì)量為m的M桿與導(dǎo)軌垂直且處于靜止，距離導(dǎo)軌邊緣為d.質(zhì)量同為m的P桿與軌道垂直，以初速度v0進入磁場區(qū)域.最終兩桿先后落在地面上.已知兩桿的電阻均為R，導(dǎo)軌電阻不計，兩桿落地點之間距離為s.求M桿射出時，P桿運動的距離.

錯誤解法：根據(jù)題干條件可知，最終M桿的速度一定小于P桿.

設(shè)M桿平拋的水平距離為x，則P桿拋出的水平位移為x+s，根據(jù)平拋運動的規(guī)律和動量守恒定律有

H=12gt2

x=vMt

x+s=vPt

mv0=mvp+mvM

解得：vp=12（v0+sg2H），vM=12（v0-sg2H）

設(shè)M桿射出時，P桿運動的距離為xP，由于P桿和M桿所受的安培力大小始終相等，設(shè)安培力的平均值為安，對M桿應(yīng)用動能定理有

安d=12mv2M

對P桿用動能定理有

-安xp=12mv2P-12mv20

兩式聯(lián)立，解得xP=4v20d-dv0+sg2H2v0-sg2H2

粗略一看，先用平拋運動的規(guī)律求出P桿和M桿拋出時的速度，再對P、M桿分別用動能定理，思路非常清晰.但經(jīng)過深入分析，發(fā)現(xiàn)這里對安培力的平均值安的定義是模糊的.P桿和M桿所受的安培力時刻都相等，那么安培力的平均值是不是就一定相等呢？要搞清楚這個問題，就要先弄明白什么是平均值.

2 算術(shù)平均值和加權(quán)平均值

最簡單的平均值是算術(shù)平均值，是指一組數(shù)中所有數(shù)據(jù)求和再除以數(shù)據(jù)的個數(shù).即

= x1+ x2+ x3+…+ xn n

比如有5個學(xué)生參加考試，得分分別是82、78、88、64、93，其平均分是

82+78+88+64+935=81

什么是加權(quán)平均值呢？舉個例子：某校有5個班級，編號為1班至5班，人數(shù)分別是32人、35人、32人、45人和30人.在某次考試中，1班至5班的平均分分別是82分、78分、88分、64分和93分，那么這5個班級的總平均分是82+78+88+64+935=81嗎？顯然不是，因為在用每個班的平均分之和再除以班級總數(shù)的時候，每個平均分對應(yīng)的班級人數(shù)是不同的，因此，每個平均分所占的比重應(yīng)該不同.平均分為64分的4班有45人，人數(shù)最多，顯然應(yīng)該占有更多的比重，平均分為93分的5班有30人，人數(shù)最少，顯然應(yīng)該占有較小的比重.

我們可以這樣來求所有學(xué)生的總平均分：

=32×82+35×78+32×88+45×64+30×9332+35+32+45+30

=79.54

物理量x的加權(quán)平均值一般表達式可以寫成

= w1 x1+ w2 x2+ w3 x3+ … + wn xn w1+ w2+ w3+ … + wn= ∑n1wi xi ∑n1wi

其中wi∑n1wi 代表xi所占的權(quán)重比.

3 直線運動中速度對時間的加權(quán)平均值

在求變速直線運動的位移時，高中階段常利用v-t圖象包圍的面積來處理.在處理時，先將整個過程分割成無數(shù)個子過程，每個子過程的時間分別是Δt1、Δt2、…Δtnn→∞.由于每個子過程的時間很短，可以用每個子過程的初速度vi來近似描述該子過程運動的快慢，整個過程速度對時間的加權(quán)平均值為

v-=v1Δt1+v2Δt2+…+vnΔtnΔt1+Δt2+…+Δtn

其中v1Δt1+v2Δt2+…+vnΔtn等于總位移 x，Δt1+Δt2+…+Δtn等于總時間t.根據(jù)平均速度的定義v-=xt可知，速度對時間的加權(quán)平均值其實就是平均速度，而由x=v-t可知，我們可以用速度對時間的加權(quán)平均值（以下簡稱平均速度）乘以時間來求總位移，如圖2所示.由于動生電動勢E=BLvsinθ和洛倫茲力f洛=qvBsinθ中都涉及速度v這個物理量，所以在其他物理量不變的情況下，動生電動勢、洛倫茲力對時間的加權(quán)平均值可以利用平均速度乘以時間來求.

4 區(qū)分對時間的加權(quán)平均值和對位移的加權(quán)平均值

由加權(quán)平均值的概念可知，用力對位移的加權(quán)平均值乘以位移可以求功，W=Fxx，用力對時間的加權(quán)平均值乘以時間可以求沖量，I=tt.但是在求解具體問題時，兩者容易混淆.

例2 質(zhì)量為m=50kg的鐵錘從離木樁h=1.8m高處靜止下落，打到質(zhì)量M=150kg的木樁上，鐵錘碰后不彈起，結(jié)果木樁被打入土中d=20cm深，求此過程中木樁受到土地的平均作用力.（不計空氣阻力，g取10m/s2）

解：從鐵錘開始下落到剛接觸木樁由動能定理有

mgh=12mv2

v=6m/s

鐵錘和木樁碰撞后不分開，根據(jù)動量守恒定律有

mv=m+Mv1

v1=1.5m/s

碰撞后到木樁靜止，由動能定理有

m+Mgd-Fd=0-12m+Mv21

解得：F=1325N.

例3 一鐵球，從靜止狀態(tài)由h=5m高處自由下落，然后陷入泥潭中，從進入泥潭到靜止用時t=0.5s，該鐵球的質(zhì)量m=0.5kg，求泥潭對小球的平均作用力.（不計空氣阻力，g取10m/s2）

解：從鐵球開始下落到剛接觸地面由動能定理有

mgh=12mv2

v=10m/s

從接觸地面到靜止，根據(jù)動量定理有

mgt-Ft=0-mv

得F=15N.

例2和例3中看起來都是求平均作用力，但是例2中運用了動能定理，其中涉及的功是力的空間累積效應(yīng)，所以以此求得的平均作用力是對位移的加權(quán)平均值;而例3中運用的是動量定理，其中涉及的沖量是力的時間累積效應(yīng)，以此求得的平均作用力是對時間的加權(quán)平均值.如果不能很好地區(qū)分到底是對哪個變量的加權(quán)平均值，很容易張冠李戴.

我們再來分析例1：在求得P桿和M桿水平射出的速度后，對兩桿用動能定理時，式中的安應(yīng)該用安培力對于位移的加權(quán)平均值.根據(jù)題意，任意時刻兩桿所受安培力大小始終相等，因此兩桿中的安培力對時間的加權(quán)平均值是一樣的，但是兩桿在任意相同時間內(nèi)的位移不同，導(dǎo)致兩桿的安培力對位移的加權(quán)平均值是不一樣的，因此無法通過兩式消去安.

正確的解法：求得P桿和M桿拋出時的速度后，假設(shè)從開始到M桿射出時，P桿運動的距離為x，對P桿用動量定理有

-安t=mvP-mv0

其中，安為安培力對時間的加權(quán)平均值，由于B、L、R為常數(shù)，所以

安=BL

=2R

=BLv-P-v-M

代入動量定理方程可得

-BBLv-P-v-M2RLt=mvP-mv0

此處v-P和v-M應(yīng)是P桿和M桿速度對時間的加權(quán)平均值，則

v-Pt=x

v-Mt=d

代入可得x=d+RmB2L2v0-sg2H

5 利用平均速度求安培力沖量

在有電磁感應(yīng)的動力學(xué)問題中經(jīng)常需要求安培力的沖量，當安培力是變力的時候，可以用安培力對時間的加權(quán)平均值來求安培力沖量.當其他物理量不變的情況下，可以利用平均速度快速地求出安培力沖量.

例4 如圖3所示，兩根相互平行、間距為d的豎直導(dǎo)軌，下端連接阻值為R的電阻.在豎直導(dǎo)軌間的區(qū)域僅有垂直紙面的勻強磁場B（未畫出）.一根阻值為R1、質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒ab從靜止開始下滑，經(jīng)t時間后下降了h，求此過程產(chǎn)生的焦耳熱.假設(shè)棒始終與導(dǎo)軌垂直，且與導(dǎo)軌接觸良好，不計摩擦阻力和導(dǎo)軌電阻.

解 取豎直向下為正方向，該過程對導(dǎo)體棒用動量定理有