圖中無圓，心中構(gòu)圓

李昌剛

圓的內(nèi)容是初中數(shù)學(xué)的重要組成部分，學(xué)好這章知識將有助于學(xué)生高中繼續(xù)學(xué)習(xí)橢圓、圓等有關(guān)知識，但在實際課堂教學(xué)中，很多教師不重視這一章的教學(xué)內(nèi)容，沒有去挖掘圓的旋轉(zhuǎn)不變性與對稱性的特征，使學(xué)生在解答中考壓軸題時，不懂得根據(jù)題意巧妙構(gòu)造出輔助圓將一般問題轉(zhuǎn)化成特殊問題加以解決.

其實，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中常常需要借助于圓的性質(zhì)，問題才能得以解決，而我們需要的圓并不存在，這就需要我們利用已知條件，借助圖形把需要的實際存在的圓找出來，化未知為已知，將不熟悉的圖形轉(zhuǎn)化為熟悉圖形，這實際上體現(xiàn)數(shù)學(xué)上轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法，筆者結(jié)合近幾年初三中考數(shù)學(xué)壓軸題的教學(xué)實踐，談幾點構(gòu)造輔助圓的策略，以期拋磚引玉.

1 根據(jù)圓的定義，構(gòu)造圓

根據(jù)定義、定理（或公理），構(gòu)造基本圖形解決問題是添加輔助線最為基本的方法，圓有運動性定義和集合性定義兩種，我們可根據(jù)實際問題從兩種定義的不同特點入手進(jìn)行構(gòu)造.

1.1 根據(jù)運動性定義構(gòu)造圓

圓的運動性定義：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點0旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成的圖形叫做圓，因此若一道問題中出現(xiàn)旋轉(zhuǎn)變化這一條件時，我們就可以考慮構(gòu)造以旋轉(zhuǎn)中心為圓心的圓，將問題轉(zhuǎn)化成與圓有關(guān)問題進(jìn)行研究.

例1 如圖1，已知AABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，點D是BC的中點，作正方形DEFG，使點A， C分別在DG和DE上，連接AE， BG.若BC= DE=m，將正方形DEFG繞點D逆時針方向旋轉(zhuǎn)角度α（0°<α<360°）過程中，當(dāng)AE為最大值時，求AF的值.

分析 將正方形DEFG在繞點D旋轉(zhuǎn)的過程中，E點運動的圖形是以點D為圓心，DE為半徑的圓，將正方形繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)270°，即當(dāng)AE過圓心D時，AE最大，利用勾股定理求出AF即可解決問題，

解 ∵正方形DEFG在繞點D旋轉(zhuǎn)的過程中，E點運動的圖形是以點D為圓心，DE為半徑的圓，則正方形DEFG繞點D逆時針方向旋轉(zhuǎn)270°，即A，D，E在一條直線上時，AE最大時，如圖2.

本題考查點與圓的位置關(guān)系、勾股定理、圓中最長問題等知識，解題關(guān)鍵是根據(jù)條件“旋轉(zhuǎn)360°”確定點E的運動軌跡，學(xué)會求圓內(nèi)一點到圓的最長距離，是中考常見題型.

1.2 依據(jù)圓的集合定義，構(gòu)造圓

圓的集合定義：圓是到定點的距離等于定長的所有點的集合，其中定點為圓心，定長為半徑，由此對于題目中出現(xiàn)一些點與定點的距離都等于定長時，我們就可考慮構(gòu)造一個以定點為圓心定長為半徑的圓，將所要研究的問題轉(zhuǎn)化成圓的問題.

例2 （2017年福州市期末質(zhì)檢）如圖3，C為線段AB上一點，分別以AC， BC為邊在AB的同側(cè)作等邊AHAC與等邊ADCB，連接DH.現(xiàn)將圖中ADCB繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一定角度α（0°<α< 90°），如圖4，點C關(guān)于直線DH的對稱點為E，求證：CE平分∠AEB.

分析本題由對稱性得到HC= HE，進(jìn)而得出A，C E三點到H距離都相等，從而構(gòu)造以H為圓心，HA為半徑的圓（如圖5），根據(jù)圓的性質(zhì)得到∠AEC=1/2∠A∥C=30°，同理可得∠BEC=1/2∠ BDC=30°（兩次構(gòu)造圓也是本題的一大難點），最后得出EC平分∠AEB.

此題的關(guān)鍵是作輔助圓，將分散的條件集中，然后靈活應(yīng)用圓周角定理及等邊三角形等知識來解答，兩次構(gòu)造圓是本題的一大難點.

2 依據(jù)圓的有關(guān)性質(zhì)，構(gòu)造圓

圓的性質(zhì)主要集中在圓心（或周）角、弧、弦（或直徑）等對象之間的相互關(guān)系上，因此在解決有關(guān)角、線之間的問題時，我們可考慮添加輔助圓，把問題轉(zhuǎn)化為圓的問題，借助圓的性質(zhì)來解決.

2.1 依據(jù)圓周角動而不變性質(zhì)，構(gòu)造圓

定理一條弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半;同弧所對的圓周角相等.

這些角具有其大小不變，頂點位置改變的性質(zhì)，根據(jù)這一特性，我們可以用來構(gòu)造相等角.

分析 此題要進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，構(gòu)造△ABC的外接圓，根據(jù)圓周角定理可知：拋物線對稱軸與OE的交點就是題目要求的點P，那么只需求出圓心E的坐標(biāo)和圓的半徑即可得到點P的坐標(biāo)，由對稱軸及點A，B的坐標(biāo)可確定點F的坐標(biāo)及AF的長，由此可確定該中垂線的解析式，而弦BC的垂直平分線過點E，進(jìn)一步可確定點E的坐標(biāo);最后由勾股定理得AE長，最后求出點P的坐標(biāo).

分析 （1）將原點坐標(biāo)代入解析式求得m的值;

（2）此題根據(jù)直徑所對的圓周角為直角，構(gòu)造以AB為直徑的圓，通過直線與圓的交點確定b的取值范圍，當(dāng)直線與圓在第一象限相切時，此時b的值

本題考查直線與圓的位置關(guān)系，圓周角定理的推論，銳角三角形函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是由直角聯(lián)想到構(gòu)造輔助圓.

2.3 依據(jù)四點共圓情況構(gòu)造圓

在平面幾何問題中有著四點共圓的條件大約有4種情況：第一種，若四個點到同一點的距離相等，則這四點共圓;第二種，兩個直角三角形共斜邊，則這兩個直角三角形的各頂點在同一個圓上（如圖8）;第三種：若兩個三角形有一條公共邊，且它們所對的角在這條邊的同側(cè)且相等，則這兩個三角形共圓（如圖9）;第四種，若四邊形的對角互補或者它的任意一個外角都等于它的內(nèi)對角，則這四點共圓（如圖10）.如果能夠發(fā)現(xiàn)以上4種情況構(gòu)造圓，則可幫助我們把直線型問題轉(zhuǎn)化為圓的問題，利用圓的有關(guān)性質(zhì)，得到些新思路與解法.

本題的關(guān)鍵是構(gòu)造輔助圓，將分散的條件集中，把角進(jìn)行合理轉(zhuǎn)換，然后結(jié)合矩形及相似三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行分析解答.

總之，在平時的教學(xué)中，我們要做到“圖中無圓，心中有圓”，認(rèn)真分析題意找出題目中所隱含著圓的旋轉(zhuǎn)不變性與對稱性的特征，巧妙地構(gòu)造符合題意特征的輔助圓，再利用圓的有關(guān)性質(zhì)來解決問題，往往能起到化隱為顯、化難為易的解題效果！從而達(dá)到高效解題的目的.

參考文獻(xiàn)

[1]羅增儒.中學(xué)數(shù)學(xué)解題的理論與實踐[M].南寧：廣西教育出版社， 2008

[2]王國兵.巧作輔助圓解題[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2013 （15）：13—15

[3]孫衛(wèi)榮.例談中考試題中的輔助圓[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2016 （1）：32-34