橢圓參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義辨析與反思

邱星明

[摘? ?要]在剖析例題錯(cuò)解的基礎(chǔ)上，深入辨析橢圓的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義， 并從橢圓的參數(shù)方程、直線的參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程以及普通方程四個(gè)視角給出例題的四種正確解法，讓學(xué)生更好地理解“參數(shù)”，提高學(xué)生的解題能力.

[關(guān)鍵詞]橢圓;參數(shù)方程;幾何意義

[中圖分類號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2019）23-0022-03

“參數(shù)法”是數(shù)學(xué)解題的一種重要方法.通過設(shè)參、用參、消參，化簡(jiǎn)問題，促使問題得以解決.在應(yīng)用參數(shù)解題時(shí)，有兩點(diǎn)必須注意：一是新參數(shù)的取值范圍是否與原變量一樣;二是要注意參數(shù)的幾何意義.就橢圓的參數(shù)方程而言，絕大多數(shù)學(xué)生只會(huì)用它來?yè)Q元，忽略了橢圓參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，一旦遇到如下問題，就會(huì)出錯(cuò)，更有甚者，對(duì)照參考答案，發(fā)現(xiàn)自己的答案錯(cuò)了，但不知道錯(cuò)在哪里？

一、提出問題

【例題】在直角坐標(biāo)系[xOy]中，曲線[C]的參數(shù)方程為[x=2cosφ，y=sinφ.]（[φ]為參數(shù)）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，[x]軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，[A，B]為[C]上兩點(diǎn)，且[OA⊥OB]，設(shè)射線[OA：θ=α]，其中[0<α<π2].

（1）求曲線[C]的極坐標(biāo)方程;（2）求[OA?OB]的最小值.

第（1）小題學(xué)生都能掌握，故主要針對(duì)第（2）小題進(jìn)行研究.

錯(cuò)解：設(shè)[A2cosα，sinα]，因?yàn)閇OA⊥OB]，則[B2cosα±π2 ，sinα±π2]，所以[OA?OB=2cos2α+sin2α2sin2α+cos2α ][=2+14sin22α].因?yàn)閇0<α<π2]，所以[sin2α∈0，1]，故[OA?OB]的最小值是[2].

二、辨析糾錯(cuò)

學(xué)生出現(xiàn)上述錯(cuò)解的原因主要是不理解橢圓參數(shù)方程中參數(shù)[φ]的幾何意義，錯(cuò)把點(diǎn)A的離心角當(dāng)作OA的傾斜角.對(duì)此，筆者以人教版選修4-4? P27-28的內(nèi)容來引導(dǎo)學(xué)生辨析橢圓參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義.

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為[x2a2+y2b2=1a>b>0]，其所對(duì)應(yīng)的一個(gè)參數(shù)方程為[x=acosφ，y=bsinφ.]（[φ]為參數(shù)）其中參數(shù)[φ]的幾何意義是什么？下面，我們來研究橢圓的幾何作圖.

如圖1，以原點(diǎn)O為圓心，分別以[a，b（a>b>0）]為半徑作兩個(gè)同心圓，設(shè)A為大圓上任一點(diǎn)，連接OA交小圓于點(diǎn)B，過點(diǎn)A作AE垂直于x軸，垂足為E，過B作BD⊥AE，垂足為D，設(shè)[∠ xOA=φ]，點(diǎn)D的坐標(biāo)為[x，y]，那么點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為y，由三角函數(shù)的定義有[x=acosφ]，[y=bsinφ].

當(dāng)半徑OA繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，就得到了點(diǎn)D的軌跡，它的參數(shù)方程是[x=acosφ，y=bsinφ.]（[φ]為參數(shù)）這是中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓.

由圖1可以看出，參數(shù)[φ]是點(diǎn)D所對(duì)應(yīng)的圓的半徑OA（或OB）的旋轉(zhuǎn)角（稱為點(diǎn)D的離心角），而不是OD的旋轉(zhuǎn)角.

本例的錯(cuò)解中，設(shè)[A2cosα，sinα]，則在圖2中對(duì)應(yīng)于[∠DOx=α]，由[OA⊥OB]，錯(cuò)把點(diǎn)B設(shè)為[2cosα±π2 ，sinα±π2].為便于說明，我們?cè)O(shè)[B為2cosα+π2 ，sinα+π2]，實(shí)際上是把半徑OD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)[90°]到OG，從圖2可以看出，[∠AOB≠90°]，與條件不符，從而得到錯(cuò)誤的答案.

有鉆研的學(xué)生會(huì)追問：如果本題就用橢圓的參數(shù)方程，應(yīng)如何求解？為了能利用橢圓的參數(shù)方程解決本題，我們先探求參數(shù)[φ]和旋轉(zhuǎn)角[α]的關(guān)系.

如圖1，設(shè)∠xOA=[φ]，∠xOD=[α]，并設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，y），則[x=acosφ，y=bsinφ，]又[x=ODcosα，y=ODsinα，]? 當(dāng)[φ和α]的終邊不在坐標(biāo)軸上時(shí)，可得[sinφcosφ=asinαbcosα]，設(shè)[sinφ=tasinαcosφ=tbcosα]，代入橢圓的參數(shù)方程得[x=tabcosα ，y=tabsinα.]由[sin2φ+cos2φ=1]，得[ t2=1a2sin2α+b2cos2α].在此基礎(chǔ)上可得本例的參數(shù)方程解法.

解法1：設(shè)[A2cosφ，sinφ]，由前述探索，可設(shè)[A2tcosα，2tsinα]，則

[OA=2t2cos2α+2t2sin2α=21+sin2α].

因?yàn)閇OA⊥OB]，所以[OB=21+cos2α].

則[OA?OB=][22+14sin22α]，

當(dāng)[α=π4]時(shí)，[OA?OB]取最小值[43].

點(diǎn)評(píng)：從概念辨析的角度來看，應(yīng)讓學(xué)生明確橢圓的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，并會(huì)用它來解此類問題，但這種解法并不是解此類題的最好方法.

三、轉(zhuǎn)換角度

我們知道，凡涉及線段長(zhǎng)度問題應(yīng)用直線的參數(shù)方程或曲線的極坐標(biāo)方程都是很好的選擇.下面我們分別用這兩個(gè)工具來解題.

解法2：依題意可設(shè)直線OA的參數(shù)方程為[x=tcosα，y=tsinα.]（[t]為參數(shù)）代入曲線[C]的普通方程得[t2cos2α2+sin2α=1]，設(shè)點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的參數(shù)為[t1]，則[t1=21+sin2α].

設(shè)點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的參數(shù)為[t2]，由已知可得[t2=21+cos2α]，

所以[OA?OB=t1t2=][22+14sin22α].

故當(dāng)[α=π4]時(shí)，[OA?OB]取最小值[43].

解法3：由（1）知曲線[C]的極坐標(biāo)方程為[ρ2=21+sin2θ].根據(jù)題意，射線[OB]的極坐標(biāo)方程為[θ=α±π2].

[OA=ρ1=21+sin2α]，[OB=ρ2=21+cos2α]，

[則OA?OB=ρ1?ρ2][=21+sin2α?1+cos2α≥][21+sin2α+1+cos2α2=43].當(dāng)且僅當(dāng)[α=π4]時(shí)，

[OA?OB]取得最小值[43].

點(diǎn)評(píng)：解法2、3分別應(yīng)用了直線的參數(shù)方程和曲線的極坐標(biāo)方程，從解題角度來看，優(yōu)于應(yīng)用橢圓的參數(shù)方程的解法.在教學(xué)中應(yīng)讓學(xué)生明確直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義和曲線的極坐標(biāo)方程中[ρ，θ]的幾何意義.靈活運(yùn)用它們來解題，有立竿見影的效果.

很多學(xué)生因?yàn)閷?duì)參數(shù)或[ρ]的意義掌握不好，怕用參數(shù)方程或極坐標(biāo)方程解題，越怕就越不會(huì)用.如何利用普通方程求解呢？

解法4：依題意可設(shè)直線OA的方程為[y=kx]，其中[k=tanα>0]，

代入橢圓方程[x22+y2=1]，消去y得[x2=21+2k2]，

所以[OA=x2+y2=21+k21+2k2]，

因?yàn)閇OA⊥OB]，所以直線OB的斜率為[-1k]，可得[OB=2k2+1k2+2]，所以[OA?OB=21+k21+2k2k2+2]，

令[t=1+k2>1]，[OA?OB=2-1t-122+94]，

當(dāng)[t=2]，即[k2=1]時(shí)取得最小值[43]，因?yàn)閇0<α<π2]，此時(shí)[k=1， α=π4].故[OA?OB]的最小值為[43].

四、反思總結(jié)

學(xué)生出現(xiàn)解題錯(cuò)誤，我們第一反應(yīng)就是學(xué)生所學(xué)的知識(shí)沒有掌握好，解題能力有欠缺或者粗心.但是給了參考答案，學(xué)生也不理解.除了上述原因外，還有沒有其他需要我們反思的問題？針對(duì)本案例，筆者進(jìn)行了思考，提出以下的三條建議.

1.課前要“研”.教師要做研究型的教師，教師研究的內(nèi)容很多，可以有：研方向、研教材、研試題、研教法、研學(xué)法.若教師平時(shí)不研究，也不備課，憑經(jīng)驗(yàn)去上課，必然目標(biāo)不明，錯(cuò)漏百出，訓(xùn)練不到位，教學(xué)效率低下.

2.課中要“活”.課堂上，應(yīng)該學(xué)生學(xué)得主動(dòng)，教師講解生動(dòng)，師生良序互動(dòng)，思維碰撞靈動(dòng).教師教法靈活，解法靈活，一題多解，一題多變，一題多用.要讓學(xué)生敢于質(zhì)疑，師生共同糾錯(cuò).應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)，糾錯(cuò)是提高課堂教學(xué)有效性，特別是講評(píng)課教學(xué)有效性的重要手段.本文從學(xué)生考試中的錯(cuò)解出發(fā)，通過回歸課本，應(yīng)用橢圓的幾何圖形，讓學(xué)生正確理解橢圓的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，對(duì)參數(shù)[φ]和OA的旋轉(zhuǎn)角[α]進(jìn)行了深入辨析.本文還從橢圓的參數(shù)方程、直線的參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程以及普通方程四個(gè)視角給出了四種正確解法，不單是辨析了概念，還通過一題多解，啟迪學(xué)生思維，拓展學(xué)生思維的廣度與深度，提高學(xué)生的解題能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).

3.課后要“實(shí)”.考試、作業(yè)、批改、輔導(dǎo)、反思、錯(cuò)題訂正、關(guān)愛學(xué)生、與學(xué)生結(jié)對(duì)子等都需要落到實(shí)處，這是提高教學(xué)有效性的必經(jīng)之路.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）