微積分學(xué)概念溯源例談

王繼強(qiáng)　范甜

摘 要：微積分學(xué)中有許多概念看似尋常，但其背后往往都有著或有趣或厚重的淵源。作者在長期教學(xué)和科研經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，從歷史和現(xiàn)實(shí)兩個角度對微積分學(xué)中一些典型概念的來源進(jìn)行了追溯，以求達(dá)到解疑釋惑、正本清源之目的。

關(guān)鍵詞：函數(shù);極限;導(dǎo)數(shù);微分;積分

中圖分類號：N09;O13文獻(xiàn)標(biāo)識碼：ADOI：10.3969/j.issn.1673-8578.2019.04.014

Discussion on the Origin of Some Concepts in Calculus//WANG Jiqiang， FAN Tian

Abstract：Many concepts in calculus seem to be ordinary， but they usually have interesting origin. Based on long-term teaching and research experiences， the authors retrospect the origin of some classic concepts in calculus from the angle of history and reality， in order to eliminate the doubts and trace the origin.

Keywords：function; limit; derivative; differential; integral

引 言

17世紀(jì)末，英國數(shù)學(xué)家牛頓（Newton）和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨（Leibniz）分別創(chuàng)立了微積分學(xué)說[1-2]。微積分作為初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的“分水嶺”，在現(xiàn)代科學(xué)中起著極其重要的作用，堪稱人類智慧的結(jié)晶。筆者在大學(xué)里從事數(shù)學(xué)教學(xué)與研究多年，講授微積分課程多遍，發(fā)現(xiàn)微積分學(xué)中有很多概念、術(shù)語、符號的由來都不同尋常。因此，本文試圖揭開微積分學(xué)中一些典型概念的前世今生，與知音共賞。

一 概念溯源

1.元

在微積分學(xué)中，“元”特指函數(shù)的自變量、方程（組）的未知數(shù)等。

元朝末年數(shù)學(xué)家李冶提出了“天元術(shù)”，即“立天元一為某某”，相當(dāng)于現(xiàn)代的“設(shè)x為某某”。李冶的“天元”為“一元”，比其時代稍晚的朱世杰則提出了“四元術(shù)”，即用“天、地、人、物”四元來表示四個未知數(shù)，比西方早了500多年[3]。

這種用“元”代表未知數(shù)的方法流傳至今，如通常所說的“二元函數(shù)”“一元二次方程”等?！霸钡氖褂檬s了用文字表達(dá)數(shù)學(xué)關(guān)系的麻煩，大大促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。

值得一提的是，1989年中國創(chuàng)立的“數(shù)學(xué)天元基金”的名稱就是取自“天元術(shù)”。

2.函數(shù)

函數(shù)的定義形式之一為：給定數(shù)集D和Z，若有一個對應(yīng)法則f，使得任取x∈D，都有唯一的y∈Z與之對應(yīng)，則稱y為x的函數(shù)，記作y=f（x）。

萊布尼茨最早提出了“函數(shù)”的概念，他稱“與變動的量x同時變動的變數(shù)為x的函數(shù)”，名曰functio，后演變?yōu)橛⑽脑~function。后來，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（Euler）首次取首字母f將變量x的函數(shù)記作f（x），沿用至今。

1859年，清代數(shù)學(xué)家李善蘭在與英國傳教士偉烈亞力（Alexande Wylie）合譯的《代微積拾級》中首次將function譯為“函數(shù)”，并給出定義：“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)，則此為彼之函數(shù)?！边@里，“函”同“含”，在《說文解字》中意為“容也”[1]。試想，當(dāng)變量y中含有變量x，y自然就是x的函數(shù)了，甚是貼切。

此外，代數(shù)（algebra）、常數(shù)（constant）、變數(shù)（variable）、未知數(shù)（unknown number）、系數(shù)（coefficient）、級數(shù)（series）、橫軸（horizontal axis）、縱軸（vertical axis）、曲線（curve）、方程（equation）、根（root）、切線（tangent）、法線（normal）、漸近線（asymptote）等微積分學(xué)常用詞匯也都是李善蘭首譯的。

3.方程

“方程”一詞最早見于1世紀(jì)的中國算學(xué)名著《九章算術(shù)》，不過當(dāng)時的“方程”指的是含有多個未知數(shù)的一次方程組，即現(xiàn)在大學(xué)線性代數(shù)課程講的線性方程組。該書第八章“方程”介紹了世界上最早的線性方程組的表示方法（分離系數(shù)法，即今矩陣法）和解法（直除法，即今初等行變換法）。

魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中有言：“程，課程也。群物總雜，各列有數(shù)，總言其實(shí)。令每行為率，二物者再程，三物者三程，皆如物數(shù)程之，并列為行，故謂之方程?！盵2]意思是說，有幾個“物”就列幾個“程”（式子），這些“程”“并列為行”，構(gòu)成了一個方陣，是為“方程”。

4.極限

極限是微積分學(xué)的基礎(chǔ)概念和研究主線，其英文詞limit本來就是“最大的限度”“無限趨近的一個固定的狀態(tài)”之意，與函數(shù)極限“l(fā)imx→x0f（x）=a”的含義完全一致。

春秋時期墨家學(xué)派經(jīng)典著作《墨經(jīng)》中有“體，若二之一，尺之端也”的記載，蘊(yùn)含著“點(diǎn)是線段無限分割的極限”的思想萌芽。《莊子》中“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，劉徽割圓術(shù)中“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”更是傳神地刻畫了極限含義的精髓。

5.無窮大、無窮小

微積分學(xué)中的無窮思想在《墨經(jīng)》中早有定義：“窮：或不容尺，有窮;莫不容尺，無窮也。”

無窮分為無窮大和無窮小。《莊子》記載：“至大無外謂之大一，至小無內(nèi)謂之小一?！币馑际钦f，“至大”是沒有邊界的，就叫無窮大;“至小”是沒有內(nèi)部的，就叫無窮小。