案例分析輔助圓在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

魏瑞賓

（福建省漳州市長泰縣第二中學(xué)，福建漳州 363900）

引 言

初中幾何學(xué)有時(shí)需要使用非常麻煩的解決方案，如使用連續(xù)相似性來獲得長度或角度關(guān)系；添加必要的輔助線解決平面幾何問題等。在通常的問題解決中，畫輔助線是最熟悉和最常用的手段。在某些情況下，教師可以構(gòu)建全等圖形，通過平移、旋轉(zhuǎn)、折疊等方式獲得，這被稱為構(gòu)建輔助圖形。實(shí)際上，教師還可以構(gòu)建輔助圓。許多問題的結(jié)論或證明過程可以通過與圓相關(guān)的一些知識(shí)或?qū)傩灾苯荧@得。但是，此時(shí)的圓并不存在（標(biāo)題中可能存在已知條件）。此時(shí)，教師必須從已知條件開始，利用圖形作出輔助圓。這要求學(xué)生要學(xué)會(huì)全面思考，結(jié)合已知條件并理解圓的知識(shí)。例如，在兩點(diǎn)之間，可以繪制無數(shù)個(gè)圓；通過不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，可以作一個(gè)圓。圓有兩個(gè)定義：圓點(diǎn)與同一個(gè)圓上的點(diǎn)具有相同的距離，以及“三點(diǎn)共圓”。實(shí)際教學(xué)中經(jīng)常將這兩個(gè)定義結(jié)合來解決大多數(shù)問題。

一、距離一個(gè)點(diǎn)相同距離的所有點(diǎn)形成一個(gè)圓

當(dāng)研究該主題的已知條件時(shí)，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)所有固定點(diǎn)的線段是相等的。連接這些點(diǎn)，可以構(gòu)造一個(gè)輔助圓。有些問題看起來似乎和圓毫無關(guān)系，但條件或結(jié)論提供了一些類似于圓的性質(zhì)的信息。此時(shí)，可以構(gòu)建相關(guān)的輔助圓，從而把原始問題轉(zhuǎn)換為與圓相關(guān)的問題[1]。

例1： 如圖1 所示， 在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=DB=p，BC=q。求對(duì)角線AC的長度。

分析：從“AD=DC=DB=p”可以看到，點(diǎn)A，B和C均在半徑為p的⊙D上。AC與p和q的關(guān)系可以通過圓的性質(zhì)找到。

解：如圖1 所示，將CD延長到E點(diǎn)，然后連接AE?？梢悦黠@地看出點(diǎn)A，B和C都在⊙D上。

∵AB∥CD，

在ΔACE中，∠CAE= 90°，CE= 2p，AE=q，

二、在該條件下存在45°的銳角時(shí)，可以考慮構(gòu)建輔助圓

例2：如圖2 所示，在ΔABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，∠BAC= 45°，BD= 3，CD= 2。求ΔABC的面積。

分析：這個(gè)問題可以通過找到△ABC的高AD來解決。利用“∠BAC=45°”這個(gè)條件，可以構(gòu)造一個(gè)以∠BAC為圓周角的輔助圓，根據(jù)圓的相關(guān)知識(shí)可以求得高AD的長度[2]。

解：如圖2 所示，作△ABC的外接圓，OE垂直BC于E點(diǎn)，從∠BAC= 45°可以知道∠BOC=90°，那么△OBE，△OBC是等腰直角三角形, 又因?yàn)镺E=EC=BE=所以ED=CE-CD= 0.5，易證OF⊥AD，則四邊形OEDF為矩形，因此OF=DE= 0.5，DF=OE= 2.5 。在RtΔAOF中，由畢達(dá)哥拉斯定理得AF= 3.5，因此AD=AF+FD= 6，即×6 = 15。

另一種解決方案（建設(shè)相似性）：如圖3 所示，構(gòu)造等腰直角△BDE和等腰直角△CDF所以，點(diǎn)E和點(diǎn)F在AD上。易得DE=DB= 3，DF=CD= 2，所以FE=DE-DF= 1。設(shè)AE=x。 由∠BAD+∠ABE=∠BED= 45 °， ∠BAD+ ∠DAC= ∠BAC= 45 °， 得 ∠ABE=∠DAC，又因?yàn)椤螧EA=∠AFC= 180°-45°=135°，所以△BEA～△AFC。然后利用相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例，得到x= 3（負(fù)根已經(jīng)舍去）。因此，AD=AE+DE= 6。

圖3

三、當(dāng)條件中的角是另一角的兩倍時(shí)，可以考慮構(gòu)建 一個(gè)輔助圓

例3：如圖4 所示，在ΔABP中，PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC和PB相交于點(diǎn)D，若PB= 4，PD= 3，則AD·DC等于（ ）。

A. 6 B. 7 C. 12 D. 16

分析：根據(jù)已知條件可以構(gòu)造以P為圓心，PA為半徑的輔助圓。根據(jù)“∠APB=2 ∠ACB”這個(gè)條件可以得出點(diǎn)C在⊙P上。AD·DC的值可以通過圓的相關(guān)知識(shí)來獲得[3]。

解：如圖4 所示，從交點(diǎn)和弦定理將BP延長到E點(diǎn)，得到AD·DC=DE·DB=（PE+PD）·（PB-PD）=（4 + 3）×（4-3）= 7。因此答案是B。

圖4

四、探索移動(dòng)點(diǎn)作為固定線段角度的輔助圓

例4：如圖5 所示，在Rt △ABC中，AC= 5，BC= 12，∠ACB= 90°，P是AB上的動(dòng)點(diǎn)，Q是BC上的動(dòng)點(diǎn)，已知∠CPQ= 90°，求CQ的取值范圍[4]。

圖5

分析：以CQ作為⊙O的直徑，依據(jù)直徑所對(duì)的圓周角等于90 度。若AB上的動(dòng)點(diǎn)P在圓上，則∠CPQ=90°。當(dāng)⊙O與AB相切時(shí)，直徑CQ為最小值。

由切線長度定理得AP=AC= 5，所以BP= 13-5 = 8。根據(jù)切割線定理得BP2=BQ·BC，所以BQ= 16/3，CQ= 20/3當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，直徑CQ為最大值，即 12。

綜上：20 /3 ≤CQ≤12。

結(jié) 語

綜上所述，案例分析輔助圓在初中數(shù)學(xué)解題過程中有非常重要的作用，學(xué)生如果能夠運(yùn)用自如，那么將在考試或更高層次的學(xué)習(xí)中達(dá)到事半功倍的效果。再者，這個(gè)方法對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是非常有效果的，能夠幫助學(xué)生增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。因此，廣大教學(xué)工作者應(yīng)該積極地將這種方法運(yùn)用到自己的教學(xué)實(shí)踐工作中，以提高廣大學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。